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3. 如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设长方形地面. 请观察各图形并解答有关问题：
(1)在第n个图形中，每一行有
(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，用(1)中的n表示y是
(3)当n=20时，y的值是
(4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块2元，在(3)中，共需花多少元购买瓷砖？
(1)在第n个图形中，每一行有
$(n+3)$
块瓷砖，每一列有$(n+2)$
块瓷砖；（均用含n的代数式表示）(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，用(1)中的n表示y是
$y=(n+3)(n+2)$
；(3)当n=20时，y的值是
506
；(4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块2元，在(3)中，共需花多少元购买瓷砖？
答案
3. (1) $(n+3)$ $(n+2)$
(2) $y=(n+3)(n+2)$
(3) 506
(4) 白瓷砖有$20×21=420$(块)，黑瓷砖有$506-420=86$(块)，总费用为$420×2+86×4=1\ 184$(元).
(2) $y=(n+3)(n+2)$
(3) 506
(4) 白瓷砖有$20×21=420$(块)，黑瓷砖有$506-420=86$(块)，总费用为$420×2+86×4=1\ 184$(元).
解析
【分析】
解决本题需要逐步观察图形特征归纳规律：
1. 第(1)问：对比n=1、2、3时的每行瓷砖数，n=1时每行4=1+3块，n=2时每行5=2+3块，n=3时每行6=3+3块，可推出每行瓷砖数的表达式；再对比每列瓷砖数，n=1时每列3=1+2块，n=2时每列4=2+2块，n=3时每列5=3+2块，可推出每列瓷砖数的表达式。
2. 第(2)问：总瓷砖数=每行块数×每列块数，代入第(1)问的结论即可得到y的表达式。
3. 第(3)问：直接将n=20代入第(2)问的表达式计算即可。
4. 第(4)问：先找白瓷砖的规律，n=1时白瓷砖2=1×2块，n=2时白瓷砖6=2×3块，n=3时白瓷砖12=3×4块，可推出白瓷砖数量的表达式，再用总块数减去白瓷砖数量得到黑瓷砖数量，最后结合单价计算总费用。
【解析】
(1) 观察已知图形：
n=1时，每行瓷砖数为4=1+3，每列瓷砖数为3=1+2；
n=2时，每行瓷砖数为5=2+3，每列瓷砖数为4=2+2；
n=3时，每行瓷砖数为6=3+3，每列瓷砖数为5=3+2；
因此第n个图形中，每一行有$\boldsymbol{(n+3)}$块瓷砖，每一列有$\boldsymbol{(n+2)}$块瓷砖。
(2) 总瓷砖数为每行块数乘每列块数，因此$y=(n+3)(n+2)$。
(3) 当$n=20$时，代入$y$的表达式计算：
$y=(20+3)×(20+2)=23×22=506$。
(4) 先计算白瓷砖数量：观察可得第n个图形白瓷砖数量为$n(n+1)$块，当$n=20$时：
白瓷砖数量$=20×(20+1)=420$（块）
黑瓷砖数量$=$总块数$-$白瓷砖数量$=506-420=86$（块）
总费用$=$白瓷砖费用$+$黑瓷砖费用$=420×2 + 86×4=840+344=1184$（元）
【答案】
(1) $n+3$，$n+2$
(2) $y=(n+3)(n+2)$
(3) $506$
(4) 共需花1184元购买瓷砖。
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，核心是通过观察已知图形的共性特征归纳出通用的代数式，再结合代数式求值解决实际费用问题，侧重考查观察归纳能力和代数计算能力。
【难度系数】
0.75
解决本题需要逐步观察图形特征归纳规律：
1. 第(1)问：对比n=1、2、3时的每行瓷砖数，n=1时每行4=1+3块，n=2时每行5=2+3块，n=3时每行6=3+3块，可推出每行瓷砖数的表达式；再对比每列瓷砖数，n=1时每列3=1+2块，n=2时每列4=2+2块，n=3时每列5=3+2块，可推出每列瓷砖数的表达式。
2. 第(2)问：总瓷砖数=每行块数×每列块数，代入第(1)问的结论即可得到y的表达式。
3. 第(3)问：直接将n=20代入第(2)问的表达式计算即可。
4. 第(4)问：先找白瓷砖的规律，n=1时白瓷砖2=1×2块，n=2时白瓷砖6=2×3块，n=3时白瓷砖12=3×4块，可推出白瓷砖数量的表达式，再用总块数减去白瓷砖数量得到黑瓷砖数量，最后结合单价计算总费用。
【解析】
(1) 观察已知图形：
n=1时，每行瓷砖数为4=1+3，每列瓷砖数为3=1+2；
n=2时，每行瓷砖数为5=2+3，每列瓷砖数为4=2+2；
n=3时，每行瓷砖数为6=3+3，每列瓷砖数为5=3+2；
因此第n个图形中，每一行有$\boldsymbol{(n+3)}$块瓷砖，每一列有$\boldsymbol{(n+2)}$块瓷砖。
(2) 总瓷砖数为每行块数乘每列块数，因此$y=(n+3)(n+2)$。
(3) 当$n=20$时，代入$y$的表达式计算：
$y=(20+3)×(20+2)=23×22=506$。
(4) 先计算白瓷砖数量：观察可得第n个图形白瓷砖数量为$n(n+1)$块，当$n=20$时：
白瓷砖数量$=20×(20+1)=420$（块）
黑瓷砖数量$=$总块数$-$白瓷砖数量$=506-420=86$（块）
总费用$=$白瓷砖费用$+$黑瓷砖费用$=420×2 + 86×4=840+344=1184$（元）
【答案】
(1) $n+3$，$n+2$
(2) $y=(n+3)(n+2)$
(3) $506$
(4) 共需花1184元购买瓷砖。
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，核心是通过观察已知图形的共性特征归纳出通用的代数式，再结合代数式求值解决实际费用问题，侧重考查观察归纳能力和代数计算能力。
【难度系数】
0.75
4. 将连续的奇数排在如图所示的数表中，回答下列问题：
(1)十字框中的五个数的和与中间的27有什么关系？
(2)若十字框中间的数为a，请用a表示十字框中五个数的和。
(3)十字框中五个数的和能等于295吗？若能，写出这五个数；若不能，请说明理由。
(1)十字框中的五个数的和与中间的27有什么关系？
(2)若十字框中间的数为a，请用a表示十字框中五个数的和。
(3)十字框中五个数的和能等于295吗？若能，写出这五个数；若不能，请说明理由。
答案
4. (1) 十字框中的五个数的和是中间的27的5倍
(2) $5a$
(3) 设十字框中间的数为a. 若$5a=295$，则$a=59$. 但59位于数表的最右边一列，它的右边没有数，所以十字框中五个数的和不能等于295.
(2) $5a$
(3) 设十字框中间的数为a. 若$5a=295$，则$a=59$. 但59位于数表的最右边一列，它的右边没有数，所以十字框中五个数的和不能等于295.
解析
【分析】
(1) 要判断五个数的和与27的关系，先找出十字框中的5个数，计算出它们的和，再除以中间数27即可得到倍数关系。
(2) 观察数表排列规律：每行有5个连续奇数，相邻两个奇数差2，上下同一位置的数相差10（下一行比上一行大10），因此可分别表示出十字框中上下左右四个数与中间数a的关系，相加化简即可得到五个数的和。
(3) 先假设和能等于295，根据第二问的结论列方程求出中间数a，再判断a在数表中的位置：若a在第一列或最后一列，就无法作为十字框的中间数（左右没有对应的数），据此判断是否成立。
【解析】
(1) 十字框中的五个数分别是17、25、27、29、37，计算和：
$17+25+27+29+37=135$
$135÷27=5$
因此十字框中五个数的和是中间数27的5倍。
(2) 观察数表规律：
中间数为a时，它上方的数比它小10，即$a-10$；
它下方的数比它大10，即$a+10$；
它左边的数比它小2，即$a-2$；
它右边的数比它大2，即$a+2$；
五个数的和为：
$(a-10)+(a-2)+a+(a+2)+(a+10)=5a$
(3) 假设十字框五个数的和能等于295，根据(2)的结论列方程：
$5a=295$
解得$a=59$
观察数表最右列的数：9、19、29、39……规律为$10n-1$（n为行数），$59=10×6-1$，说明59在第6行的最右列，它的右侧没有数字，无法组成十字框，因此五个数的和不能等于295。
【答案】
(1) 十字框中的五个数的和是中间的27的5倍
(2) $5a$
(3) 不能，理由：若$5a=295$，则$a=59$，但59位于数表的最右边一列，它的右边没有数，所以十字框中五个数的和不能等于295。
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用，奇数的性质
【点评】
本题属于数字规律类题型，解题的核心是先找到十字框内各数与中间数的数量关系，同时要注意数表的排列限制，验证所求中间数是否符合十字框的构成条件，避免只计算数值忽略位置要求出错。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断五个数的和与27的关系，先找出十字框中的5个数，计算出它们的和，再除以中间数27即可得到倍数关系。
(2) 观察数表排列规律：每行有5个连续奇数，相邻两个奇数差2，上下同一位置的数相差10（下一行比上一行大10），因此可分别表示出十字框中上下左右四个数与中间数a的关系，相加化简即可得到五个数的和。
(3) 先假设和能等于295，根据第二问的结论列方程求出中间数a，再判断a在数表中的位置：若a在第一列或最后一列，就无法作为十字框的中间数（左右没有对应的数），据此判断是否成立。
【解析】
(1) 十字框中的五个数分别是17、25、27、29、37，计算和：
$17+25+27+29+37=135$
$135÷27=5$
因此十字框中五个数的和是中间数27的5倍。
(2) 观察数表规律：
中间数为a时，它上方的数比它小10，即$a-10$；
它下方的数比它大10，即$a+10$；
它左边的数比它小2，即$a-2$；
它右边的数比它大2，即$a+2$；
五个数的和为：
$(a-10)+(a-2)+a+(a+2)+(a+10)=5a$
(3) 假设十字框五个数的和能等于295，根据(2)的结论列方程：
$5a=295$
解得$a=59$
观察数表最右列的数：9、19、29、39……规律为$10n-1$（n为行数），$59=10×6-1$，说明59在第6行的最右列，它的右侧没有数字，无法组成十字框，因此五个数的和不能等于295。
【答案】
(1) 十字框中的五个数的和是中间的27的5倍
(2) $5a$
(3) 不能，理由：若$5a=295$，则$a=59$，但59位于数表的最右边一列，它的右边没有数，所以十字框中五个数的和不能等于295。
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用，奇数的性质
【点评】
本题属于数字规律类题型，解题的核心是先找到十字框内各数与中间数的数量关系，同时要注意数表的排列限制，验证所求中间数是否符合十字框的构成条件，避免只计算数值忽略位置要求出错。
【难度系数】
0.7
