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4. 如图，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，按照这样的规律，第2026幅图中的菱形个数为
4 051
。答案
4. 4 051
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题时先从已知的前三幅图入手，分别统计每幅图的菱形个数，再观察数量和图形序号的对应关系：第1幅对应1，第2幅对应3，第3幅对应5，发现这些数都是连续的奇数，由此可归纳出第n幅图的菱形个数的通用表达式，最后将n=2026代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
观察已知图形可得：
第1幅图中菱形个数：$1 = 2×1 - 1$
第2幅图中菱形个数：$3 = 2×2 - 1$
第3幅图中菱形个数：$5 = 2×3 - 1$
由此可归纳规律：第$n$幅图中的菱形个数为$2n - 1$（$n$为正整数）。
当$n=2026$时，菱形个数为：
$2×2026 - 1 = 4052 - 1 = 4051$
【答案】
4051
【知识点】
图形规律探究，代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题型，核心是通过观察已知的特殊案例归纳出通用规律，再代入对应数值求解，能够培养学生的归纳推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.75
这是一道图形规律探究题，解题时先从已知的前三幅图入手，分别统计每幅图的菱形个数，再观察数量和图形序号的对应关系：第1幅对应1，第2幅对应3，第3幅对应5，发现这些数都是连续的奇数，由此可归纳出第n幅图的菱形个数的通用表达式，最后将n=2026代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
观察已知图形可得：
第1幅图中菱形个数：$1 = 2×1 - 1$
第2幅图中菱形个数：$3 = 2×2 - 1$
第3幅图中菱形个数：$5 = 2×3 - 1$
由此可归纳规律：第$n$幅图中的菱形个数为$2n - 1$（$n$为正整数）。
当$n=2026$时，菱形个数为：
$2×2026 - 1 = 4052 - 1 = 4051$
【答案】
4051
【知识点】
图形规律探究，代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题型，核心是通过观察已知的特殊案例归纳出通用规律，再代入对应数值求解，能够培养学生的归纳推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.75
5. 在某个月历上，用阴影方框任意框出4个数如图所示. 若设阴影方框右下角的数为a.
(1)用含a的式子表示框出的4个数的和；
(2)若框出的4个数之和为68，求a的值.
(1)用含a的式子表示框出的4个数的和；
(2)若框出的4个数之和为68，求a的值.
答案
(1) $a+(a-1)+(a-8)+(a-15)=4a-24$
(2) $a=23$
(2) $a=23$
解析
【分析】
首先明确月历的数字排列规律：月历中每行有7个数，左右相邻两个数相差1，上下相邻两个数相差7。
解决第(1)问时，已知阴影方框右下角的数为a，根据上述规律依次推导出另外三个数的表达式，再将四个数相加化简即可得到四个数的和的表达式；
解决第(2)问时，将四个数的和等于68代入第(1)问得到的代数式，列一元一次方程求解即可得到a的值。
【解析】
(1) 根据月历的数字规律：
阴影方框右下角的数为a，则它左侧相邻的数为$a-1$；
$a-1$上方相邻的数为$(a-1)-7=a-8$；
$a-8$上方相邻的数为$(a-8)-7=a-15$。
因此4个数的和为：
$\begin{aligned}&a+(a-1)+(a-8)+(a-15)\\=&4a-(1+8+15)\\=&4a-24\end{aligned}$
(2) 已知4个数之和为68，代入(1)的结论可得方程：
$4a-24=68$
移项得：$4a=68+24$
计算得：$4a=92$
系数化为1得：$a=23$
【答案】
(1) $4a-24$
(2) $23$
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，日历数字规律
【点评】
本题结合生活中日历的数字排列特点，考查了代数式的列写和一元一次方程的求解，解题的核心是找准日历中相邻数字的差值关系，计算过程难度较低，只要细心推导就能得出正确结果。
【难度系数】
0.8
首先明确月历的数字排列规律：月历中每行有7个数，左右相邻两个数相差1，上下相邻两个数相差7。
解决第(1)问时，已知阴影方框右下角的数为a，根据上述规律依次推导出另外三个数的表达式，再将四个数相加化简即可得到四个数的和的表达式；
解决第(2)问时，将四个数的和等于68代入第(1)问得到的代数式，列一元一次方程求解即可得到a的值。
【解析】
(1) 根据月历的数字规律：
阴影方框右下角的数为a，则它左侧相邻的数为$a-1$；
$a-1$上方相邻的数为$(a-1)-7=a-8$；
$a-8$上方相邻的数为$(a-8)-7=a-15$。
因此4个数的和为：
$\begin{aligned}&a+(a-1)+(a-8)+(a-15)\\=&4a-(1+8+15)\\=&4a-24\end{aligned}$
(2) 已知4个数之和为68，代入(1)的结论可得方程：
$4a-24=68$
移项得：$4a=68+24$
计算得：$4a=92$
系数化为1得：$a=23$
【答案】
(1) $4a-24$
(2) $23$
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，日历数字规律
【点评】
本题结合生活中日历的数字排列特点，考查了代数式的列写和一元一次方程的求解，解题的核心是找准日历中相邻数字的差值关系，计算过程难度较低，只要细心推导就能得出正确结果。
【难度系数】
0.8
6. 若一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为$a$，$b$，$c$，则通常记这个三位数为$\overline{abc}$。我们知道，若$a+b+c$能被3整除，那么$\overline{abc}$就能被3整除。你能说明其中的道理吗？
答案
6. $\overline{abc}=100a+10b+c=99a+9b+a+b+c=9(11a+b)+a+b+c$. 显然9(11a+b)能被3整除，因此，如果$a+b+c$能被3整除，那么$9(11a+b)+a+b+c$就能被3整除，即$\overline{abc}$就能被3整除.
解析
【分析】
要说明该规律的合理性，首先利用位值原理将三位数用含a、b、c的代数式表示，再对代数式进行拆分变形，将其拆分为两部分：一部分是确定能被3整除的整式，另一部分是三个数位的数字和$a+b+c$，即可通过后者的整除性推导整个三位数的整除性。
【解析】
首先根据三位数的位值含义写出其代数形式：
$\overline{abc}=100a+10b+c$
对代数式变形拆分：
$\overline{abc}=99a+9b+a+b+c=9(11a+b)+a+b+c$
其中$9(11a+b)$是9的倍数，必然能被3整除，因此整个式子的整除性由$a+b+c$决定：若$a+b+c$能被3整除，则$9(11a+b)+a+b+c$能被3整除，即$\overline{abc}$能被3整除。
【答案】
$\overline{abc}=100a+10b+c=99a+9b+a+b+c=9(11a+b)+a+b+c$. 显然9(11a+b)能被3整除，因此，如果$a+b+c$能被3整除，那么$9(11a+b)+a+b+c$就能被3整除，即$\overline{abc}$就能被3整除.
【知识点】
位值原理；整式变形；整除的性质
【点评】
本题探究能被3整除的数的特征，考查了多位数的代数式表示、整式拆分与整除性质的应用，需要结合逻辑推理完成推导，有助于提升代数应用与规律探究能力。
【难度系数】
0.6
要说明该规律的合理性，首先利用位值原理将三位数用含a、b、c的代数式表示，再对代数式进行拆分变形，将其拆分为两部分：一部分是确定能被3整除的整式，另一部分是三个数位的数字和$a+b+c$，即可通过后者的整除性推导整个三位数的整除性。
【解析】
首先根据三位数的位值含义写出其代数形式：
$\overline{abc}=100a+10b+c$
对代数式变形拆分：
$\overline{abc}=99a+9b+a+b+c=9(11a+b)+a+b+c$
其中$9(11a+b)$是9的倍数，必然能被3整除，因此整个式子的整除性由$a+b+c$决定：若$a+b+c$能被3整除，则$9(11a+b)+a+b+c$能被3整除，即$\overline{abc}$能被3整除。
【答案】
$\overline{abc}=100a+10b+c=99a+9b+a+b+c=9(11a+b)+a+b+c$. 显然9(11a+b)能被3整除，因此，如果$a+b+c$能被3整除，那么$9(11a+b)+a+b+c$就能被3整除，即$\overline{abc}$就能被3整除.
【知识点】
位值原理；整式变形；整除的性质
【点评】
本题探究能被3整除的数的特征，考查了多位数的代数式表示、整式拆分与整除性质的应用，需要结合逻辑推理完成推导，有助于提升代数应用与规律探究能力。
【难度系数】
0.6
1. 观察下列各项：$1\frac{1}{2}$，$2\frac{1}{4}$，$3\frac{1}{8}$，$4\frac{1}{16}$，…，则第n项是
$n+\dfrac{1}{2^n}$
。答案
1. $n+\dfrac{1}{2^n}$
解析
【分析】
对于找数列第n项的题目，我们可以把带分数拆分为整数部分和分数部分，分别观察两部分的规律再合并即可。首先看整数部分：前4项的整数依次是1、2、3、4，和项数完全一致，所以第n项的整数部分就是n；再看分数部分：前4项的分数依次是$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{8}$、$\frac{1}{16}$，分子都是1，分母依次是$2^1$、$2^2$、$2^3$、$2^4$，即分母是2的项数次方，所以第n项的分数部分为$\frac{1}{2^n}$，两部分相加就得到第n项的表达式。
【解析】
先将已知的前几项拆分为整数加分数的形式：
第1项：$1\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2^1}$
第2项：$2\frac{1}{4}=2+\frac{1}{2^2}$
第3项：$3\frac{1}{8}=3+\frac{1}{2^3}$
第4项：$4\frac{1}{16}=4+\frac{1}{2^4}$
总结规律：
1. 整数部分和项数相等，因此第n项的整数部分为$n$；
2. 分数部分分子恒为1，分母为2的项数次方，因此第n项的分数部分为$\frac{1}{2^n}$。
合并两部分可得第n项为$n+\frac{1}{2^n}$。
【答案】
$n+\dfrac{1}{2^n}$
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方，带分数的认识
【点评】
本题是典型的规律探究类基础题，解题核心是将带分数拆分为两个独立部分分别找规律，降低思考难度，重点考察观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.8
对于找数列第n项的题目，我们可以把带分数拆分为整数部分和分数部分，分别观察两部分的规律再合并即可。首先看整数部分：前4项的整数依次是1、2、3、4，和项数完全一致，所以第n项的整数部分就是n；再看分数部分：前4项的分数依次是$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{8}$、$\frac{1}{16}$，分子都是1，分母依次是$2^1$、$2^2$、$2^3$、$2^4$，即分母是2的项数次方，所以第n项的分数部分为$\frac{1}{2^n}$，两部分相加就得到第n项的表达式。
【解析】
先将已知的前几项拆分为整数加分数的形式：
第1项：$1\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2^1}$
第2项：$2\frac{1}{4}=2+\frac{1}{2^2}$
第3项：$3\frac{1}{8}=3+\frac{1}{2^3}$
第4项：$4\frac{1}{16}=4+\frac{1}{2^4}$
总结规律：
1. 整数部分和项数相等，因此第n项的整数部分为$n$；
2. 分数部分分子恒为1，分母为2的项数次方，因此第n项的分数部分为$\frac{1}{2^n}$。
合并两部分可得第n项为$n+\frac{1}{2^n}$。
【答案】
$n+\dfrac{1}{2^n}$
【知识点】
数字规律探究，有理数乘方，带分数的认识
【点评】
本题是典型的规律探究类基础题，解题核心是将带分数拆分为两个独立部分分别找规律，降低思考难度，重点考察观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.8
2. 已知下列等式：
$1=1^2$，$1+2+1=2^2$，$1+2+3+2+1=3^2$，$···$.
根据以上等式，猜想：对于正整数$n(n≥4)$，
$1+2+···+(n-1)+n+(n-1)+···+2+1=\_\_\_\_\_\_$.
$1=1^2$，$1+2+1=2^2$，$1+2+3+2+1=3^2$，$···$.
根据以上等式，猜想：对于正整数$n(n≥4)$，
$1+2+···+(n-1)+n+(n-1)+···+2+1=\_\_\_\_\_\_$.
答案
$n^2$
解析
【分析】
解题时先观察已知等式的共同特征：每个等式的左边都是从1开始连续递增相加到某个最大数，再连续递减相加回到1，右边都是该最大数的平方。再逐一对应已知等式的最大数和结果的关系：最大数为1时结果是$1^2$，最大数为2时结果是$2^2$，最大数为3时结果是$3^2$，由此可推导出当最大数为正整数$n$时，对应的结果就是$n$的平方。
【解析】
观察给出的等式：
1. 当式子中最大的数是1时，$1=1^2$；
2. 当式子中最大的数是2时，$1+2+1=2^2$；
3. 当式子中最大的数是3时，$1+2+3+2+1=3^2$；
根据以上规律可得，当式子中最大的数是正整数$n$时，$1+2+···+(n-1)+n+(n-1)+···+2+1=n^2$。
【答案】
$n^2$
【知识点】
数字规律探究，乘方的意义
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，需要通过观察已知式子的结构、变量和结果的对应关系总结普遍规律，侧重考查观察归纳能力。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知等式的共同特征：每个等式的左边都是从1开始连续递增相加到某个最大数，再连续递减相加回到1，右边都是该最大数的平方。再逐一对应已知等式的最大数和结果的关系：最大数为1时结果是$1^2$，最大数为2时结果是$2^2$，最大数为3时结果是$3^2$，由此可推导出当最大数为正整数$n$时，对应的结果就是$n$的平方。
【解析】
观察给出的等式：
1. 当式子中最大的数是1时，$1=1^2$；
2. 当式子中最大的数是2时，$1+2+1=2^2$；
3. 当式子中最大的数是3时，$1+2+3+2+1=3^2$；
根据以上规律可得，当式子中最大的数是正整数$n$时，$1+2+···+(n-1)+n+(n-1)+···+2+1=n^2$。
【答案】
$n^2$
【知识点】
数字规律探究，乘方的意义
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，需要通过观察已知式子的结构、变量和结果的对应关系总结普遍规律，侧重考查观察归纳能力。
【难度系数】
0.8
