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2. 如图，这是一块在电脑屏幕上出现的长方形图，它由6个正方形组成. 已知中间最小的一个正方形A的边长为a，设正方形B的边长为x.
(1)试用含有x和a的代数式表示正方形E的边长；
(2)请说明只要a的值确定，则正方形B，C，D，E，F的大小也唯一确定，并求当a=2时这个长方形的面积.
(1)试用含有x和a的代数式表示正方形E的边长；
(2)请说明只要a的值确定，则正方形B，C，D，E，F的大小也唯一确定，并求当a=2时这个长方形的面积.
答案
2. (1)$x-2a$
(2)由题意，可知正方形B，F，E，D，C的边长分别是$x$，$x-a$，$x-2a$，$x-3a$，$x-3a$. 由长方形的对边相等，得$x+x-a=x-2a+x-3a+x-3a$，所以$x=7a$，则正方形F，E，D，C的边长分别$6a$，$5a$，$4a$，$4a$，因此只要$a$的值确定，则正方形B，C，D，E，F的大小也唯一确定. 当$a=2$时，这个长方形的面积为$(7a+6a)(6a+5a)=13a×11a=143×2^2=572.$
(2)由题意，可知正方形B，F，E，D，C的边长分别是$x$，$x-a$，$x-2a$，$x-3a$，$x-3a$. 由长方形的对边相等，得$x+x-a=x-2a+x-3a+x-3a$，所以$x=7a$，则正方形F，E，D，C的边长分别$6a$，$5a$，$4a$，$4a$，因此只要$a$的值确定，则正方形B，C，D，E，F的大小也唯一确定. 当$a=2$时，这个长方形的面积为$(7a+6a)(6a+5a)=13a×11a=143×2^2=572.$
解析
【分析】
(1) 求正方形E的边长，先梳理相邻正方形的边长关系：已知最小正方形A边长为a，正方形B边长为x，观察图形可知正方形F的边长比B小a，而正方形E的边长又比F小a，逐步推导即可得到E的边长表达式。
(2) 先推出C、D的边长：C和D边长相等，比E小a，可表示为x-3a。再利用长方形对边相等的性质，上下两条长的长度相等，列方程求出x与a的关系，即可证明a确定后所有正方形大小唯一；代入a=2求出长方形的长和宽，相乘即可得到面积。
【解析】
(1) 由图形边长关系可得：
正方形F的边长 = 正方形B的边长 - 正方形A的边长 = $x-a$，
正方形E的边长 = 正方形F的边长 - 正方形A的边长 = $(x-a)-a=x-2a$。
(2) ① 推导边长关系：
正方形D、C边长相等，可得其边长 = 正方形E的边长 - 正方形A的边长 = $(x-2a)-a=x-3a$。
长方形上下对边长度相等，上边长为B与F的边长和：$x+(x-a)$，下边长为E、D、C的边长和：$(x-2a)+(x-3a)+(x-3a)$，列方程得：
$\begin{aligned}x+x-a&=x-2a+x-3a+x-3a\\2x-a&=3x-8a\\x&=7a\end{aligned}$
因此正方形B、F、E、D、C的边长可分别表示为$7a、6a、5a、4a、4a$，只要a的值确定，各边长都唯一确定，即对应正方形的大小也唯一确定。
② 当$a=2$时，长方形的长为$7a+6a=13a=13×2=26$，宽为$7a+4a=11a=11×2=22$，
长方形面积 = 长×宽 = $26×22=572$。
【答案】
(1) $\boxed{x-2a}$
(2) 说明见解析，当$a=2$时长方形面积为$\boxed{572}$
【知识点】
列代数式；一元一次方程应用；长方形面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查代数式与方程的实际应用，解题核心是准确观察图形得到不同正方形的边长关系，再利用长方形对边相等的性质列方程求解，需要具备一定的图形观察能力和等量关系梳理能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求正方形E的边长，先梳理相邻正方形的边长关系：已知最小正方形A边长为a，正方形B边长为x，观察图形可知正方形F的边长比B小a，而正方形E的边长又比F小a，逐步推导即可得到E的边长表达式。
(2) 先推出C、D的边长：C和D边长相等，比E小a，可表示为x-3a。再利用长方形对边相等的性质，上下两条长的长度相等，列方程求出x与a的关系，即可证明a确定后所有正方形大小唯一；代入a=2求出长方形的长和宽，相乘即可得到面积。
【解析】
(1) 由图形边长关系可得：
正方形F的边长 = 正方形B的边长 - 正方形A的边长 = $x-a$，
正方形E的边长 = 正方形F的边长 - 正方形A的边长 = $(x-a)-a=x-2a$。
(2) ① 推导边长关系：
正方形D、C边长相等，可得其边长 = 正方形E的边长 - 正方形A的边长 = $(x-2a)-a=x-3a$。
长方形上下对边长度相等，上边长为B与F的边长和：$x+(x-a)$，下边长为E、D、C的边长和：$(x-2a)+(x-3a)+(x-3a)$，列方程得：
$\begin{aligned}x+x-a&=x-2a+x-3a+x-3a\\2x-a&=3x-8a\\x&=7a\end{aligned}$
因此正方形B、F、E、D、C的边长可分别表示为$7a、6a、5a、4a、4a$，只要a的值确定，各边长都唯一确定，即对应正方形的大小也唯一确定。
② 当$a=2$时，长方形的长为$7a+6a=13a=13×2=26$，宽为$7a+4a=11a=11×2=22$，
长方形面积 = 长×宽 = $26×22=572$。
【答案】
(1) $\boxed{x-2a}$
(2) 说明见解析，当$a=2$时长方形面积为$\boxed{572}$
【知识点】
列代数式；一元一次方程应用；长方形面积计算
【点评】
本题结合几何图形考查代数式与方程的实际应用，解题核心是准确观察图形得到不同正方形的边长关系，再利用长方形对边相等的性质列方程求解，需要具备一定的图形观察能力和等量关系梳理能力。
【难度系数】
0.65
3. 已知$ax^3+bx^2+cx+d=(4x-1)^3$，试求：
(1)$a+b+c+d$的值；
(2)$a-b+c-d$的值；
(3)$a-b+c+2024d$的值.
（提示：分别令$x=1$或$x=-1$或$x=0$，并代入条件等式中化简.）
(1)$a+b+c+d$的值；
(2)$a-b+c-d$的值；
(3)$a-b+c+2024d$的值.
（提示：分别令$x=1$或$x=-1$或$x=0$，并代入条件等式中化简.）
答案
3. (1)当$x=1$时，所以$a+b+c+d=(4-1)^3=27.$
(2)当$x=-1$时，$-a+b-c+d=[4×(-1)-1]^3=-125$，所以$a-b+c-d=125.$
(3)当$x=0$时，得$d=-1$. 由(2)得$a-b+c-d=125$，则$a-b+c=124$，所以$a-b+c+2024d=124+2024×(-1)=-1900.$
(2)当$x=-1$时，$-a+b-c+d=[4×(-1)-1]^3=-125$，所以$a-b+c-d=125.$
(3)当$x=0$时，得$d=-1$. 由(2)得$a-b+c-d=125$，则$a-b+c=124$，所以$a-b+c+2024d=124+2024×(-1)=-1900.$
解析
【分析】
本题给出的是关于x的整式恒等式，对任意x的值等式左右两边都成立，因此可以通过代入合适的特殊x值直接得到对应代数式的值，无需展开右侧的立方运算，简化计算过程。(1)要求$a+b+c+d$，观察可知当$x=1$时，左边多项式恰好为$a+b+c+d$，代入即可求解；(2)要求$a-b+c-d$，当$x=-1$时，左边多项式为$-a+b-c+d$，是所求式子的相反数，变形即可得到结果；(3)先代入$x=0$求出d的值，再结合第(2)问的结果求出$a-b+c$的值，最后代入待求式计算即可。
【解析】
(1)令$x=1$，代入等式$ax^3+bx^2+cx+d=(4x-1)^3$，
左边$=a×1^3 + b×1^2 + c×1 + d = a+b+c+d$，
右边$=(4×1 - 1)^3=3^3=27$，
所以$a+b+c+d=27$。
(2)令$x=-1$，代入等式$ax^3+bx^2+cx+d=(4x-1)^3$，
左边$=a×(-1)^3 + b×(-1)^2 + c×(-1) + d = -a + b - c + d$，
右边$=[4×(-1) - 1]^3=(-5)^3=-125$，
即$-a + b - c + d=-125$，
两边同时乘$-1$得：$a - b + c - d=125$。
(3)令$x=0$，代入等式$ax^3+bx^2+cx+d=(4x-1)^3$，
左边$=a×0 + b×0 + c×0 + d=d$，
右边$=(4×0 - 1)^3=(-1)^3=-1$，
所以$d=-1$。
由(2)的结论$a - b + c - d=125$，代入$d=-1$得：
$a - b + c - (-1)=125$，即$a - b + c=124$。
将$a - b + c=124$、$d=-1$代入$a-b+c+2024d$得：
原式$=124 + 2024×(-1)=124 - 2024=-1900$。
【答案】
(1)$27$；(2)$125$；(3)$-1900$
【知识点】
代数式求值；特殊值法；整式恒等式
【点评】
本题解题核心是利用整式恒等式的性质选择合适的特殊值代入计算，避免了展开高次多项式的复杂运算，能够有效简化计算过程，考查对代数式变形的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
本题给出的是关于x的整式恒等式，对任意x的值等式左右两边都成立，因此可以通过代入合适的特殊x值直接得到对应代数式的值，无需展开右侧的立方运算，简化计算过程。(1)要求$a+b+c+d$，观察可知当$x=1$时，左边多项式恰好为$a+b+c+d$，代入即可求解；(2)要求$a-b+c-d$，当$x=-1$时，左边多项式为$-a+b-c+d$，是所求式子的相反数，变形即可得到结果；(3)先代入$x=0$求出d的值，再结合第(2)问的结果求出$a-b+c$的值，最后代入待求式计算即可。
【解析】
(1)令$x=1$，代入等式$ax^3+bx^2+cx+d=(4x-1)^3$，
左边$=a×1^3 + b×1^2 + c×1 + d = a+b+c+d$，
右边$=(4×1 - 1)^3=3^3=27$，
所以$a+b+c+d=27$。
(2)令$x=-1$，代入等式$ax^3+bx^2+cx+d=(4x-1)^3$，
左边$=a×(-1)^3 + b×(-1)^2 + c×(-1) + d = -a + b - c + d$，
右边$=[4×(-1) - 1]^3=(-5)^3=-125$，
即$-a + b - c + d=-125$，
两边同时乘$-1$得：$a - b + c - d=125$。
(3)令$x=0$，代入等式$ax^3+bx^2+cx+d=(4x-1)^3$，
左边$=a×0 + b×0 + c×0 + d=d$，
右边$=(4×0 - 1)^3=(-1)^3=-1$，
所以$d=-1$。
由(2)的结论$a - b + c - d=125$，代入$d=-1$得：
$a - b + c - (-1)=125$，即$a - b + c=124$。
将$a - b + c=124$、$d=-1$代入$a-b+c+2024d$得：
原式$=124 + 2024×(-1)=124 - 2024=-1900$。
【答案】
(1)$27$；(2)$125$；(3)$-1900$
【知识点】
代数式求值；特殊值法；整式恒等式
【点评】
本题解题核心是利用整式恒等式的性质选择合适的特殊值代入计算，避免了展开高次多项式的复杂运算，能够有效简化计算过程，考查对代数式变形的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
1. 观察一列单项式：$-x^2$，$2x^3$，$-3x^4$，$4x^5$，…，根据你发现的规律，则第7个单项式为
$-7x^8$
。答案
1. $-7x^8$
解析
【分析】
要找出这列单项式的规律，我们可以把单项式拆成符号、系数的绝对值、字母x的指数三个部分分别分析：
1. 先看符号：第1个单项式为负，第2个为正，第3个为负，第4个为正，可得规律：奇数项符号为负，偶数项符号为正；
2. 再看系数的绝对值：第1个是1，第2个是2，第3个是3，第4个是4，可得规律：第n个单项式的系数绝对值就是n；
3. 最后看x的指数：第1个是2，第2个是3，第3个是4，第4个是5，可得规律：第n个单项式中x的指数是n+1。
要求第7个单项式，把n=7代入上述三个规律组合即可。
【解析】
我们按拆分的三部分分别计算第7个单项式的对应部分：
1. 符号：7是奇数，所以符号为负；
2. 系数绝对值：n=7，所以系数绝对值是7；
3. x的指数：n=7，所以指数是$7+1=8$。
将三部分组合，得到第7个单项式为$-7x^8$。
【答案】
$-7x^8$
【知识点】
单项式的构成，规律探究
【点评】
本题是典型的单项式规律探究题，解题核心是将单项式拆分为独立的几个部分分别找规律，再将结果合并，是规律类题型的基础考法。
【难度系数】
0.8
要找出这列单项式的规律，我们可以把单项式拆成符号、系数的绝对值、字母x的指数三个部分分别分析：
1. 先看符号：第1个单项式为负，第2个为正，第3个为负，第4个为正，可得规律：奇数项符号为负，偶数项符号为正；
2. 再看系数的绝对值：第1个是1，第2个是2，第3个是3，第4个是4，可得规律：第n个单项式的系数绝对值就是n；
3. 最后看x的指数：第1个是2，第2个是3，第3个是4，第4个是5，可得规律：第n个单项式中x的指数是n+1。
要求第7个单项式，把n=7代入上述三个规律组合即可。
【解析】
我们按拆分的三部分分别计算第7个单项式的对应部分：
1. 符号：7是奇数，所以符号为负；
2. 系数绝对值：n=7，所以系数绝对值是7；
3. x的指数：n=7，所以指数是$7+1=8$。
将三部分组合，得到第7个单项式为$-7x^8$。
【答案】
$-7x^8$
【知识点】
单项式的构成，规律探究
【点评】
本题是典型的单项式规律探究题，解题核心是将单项式拆分为独立的几个部分分别找规律，再将结果合并，是规律类题型的基础考法。
【难度系数】
0.8
2. 探索规律：$3^1=3$；$3^2=9$；$3^3=27$；$3^4=81$；$3^5=243$；$3^6=729$，…，那么$3^{2026}$的个位数字是
9
。答案
2. 9
解析
【分析】
要确定$3^{2026}$的个位数字，无需计算完整的运算结果，只需观察3的幂次的个位数字变化规律即可。首先列出已知的3的幂次的个位数字，会发现个位数字每4个就重复出现一次，存在周期为4的循环规律。接下来计算2026除以周期4的余数，余数是几，对应个位数字就是循环组里的第几个数，就能得到最终结果。
【解析】
观察已知算式的个位数字：
$3^1$的个位数字是3，
$3^2$的个位数字是9，
$3^3$的个位数字是7，
$3^4$的个位数字是1，
$3^5$的个位数字是3，
……
可知3的幂次的个位数字按3、9、7、1的顺序，每4个为一个周期循环出现。
计算$2026÷4=506······2$，即余数为2，说明$3^{2026}$的个位数字对应周期中的第2个数字。
【答案】
9
【知识点】
有理数的乘方；规律探究；周期循环
【点评】
本题是典型的数字规律类题型，解题关键是通过观察前几项的特征找到循环周期，再结合余数定位对应结果，掌握规律探究的基本观察方法就能快速求解。
【难度系数】
0.7
要确定$3^{2026}$的个位数字，无需计算完整的运算结果，只需观察3的幂次的个位数字变化规律即可。首先列出已知的3的幂次的个位数字，会发现个位数字每4个就重复出现一次，存在周期为4的循环规律。接下来计算2026除以周期4的余数，余数是几，对应个位数字就是循环组里的第几个数，就能得到最终结果。
【解析】
观察已知算式的个位数字：
$3^1$的个位数字是3，
$3^2$的个位数字是9，
$3^3$的个位数字是7，
$3^4$的个位数字是1，
$3^5$的个位数字是3，
……
可知3的幂次的个位数字按3、9、7、1的顺序，每4个为一个周期循环出现。
计算$2026÷4=506······2$，即余数为2，说明$3^{2026}$的个位数字对应周期中的第2个数字。
【答案】
9
【知识点】
有理数的乘方；规律探究；周期循环
【点评】
本题是典型的数字规律类题型，解题关键是通过观察前几项的特征找到循环周期，再结合余数定位对应结果，掌握规律探究的基本观察方法就能快速求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图，第1个图形中小黑点的个数为5，第2个图形中小黑点的个数为9，第3个图形中小黑点的个数为13，…，按照这样的规律，第20个图形中小黑点的个数是
81
。答案
3. 81
解析
【分析】
先观察前3个图形的小黑点个数，发现相邻两个图形的小黑点数量差为4，属于固定增量的规律问题。我们可以先推导第n个图形的小黑点数量的通用表达式，再将n=20代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
观察已知图形的小黑点数量：
第1个图形：$5 = 4 × 1 + 1$
第2个图形：$9 = 4 × 2 + 1$
第3个图形：$13 = 4 × 3 + 1$
由此可归纳规律：第$n$个图形中小黑点的个数为$4n+1$。
当$n=20$时，小黑点个数为：
$4 × 20 +1 = 81$
【答案】
81
【知识点】
图形规律探究，代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题型，核心是通过对前几个样本的观察，找到固定变化的增量，总结出通用规律，再代入具体数值求解，主要考察学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
先观察前3个图形的小黑点个数，发现相邻两个图形的小黑点数量差为4，属于固定增量的规律问题。我们可以先推导第n个图形的小黑点数量的通用表达式，再将n=20代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
观察已知图形的小黑点数量：
第1个图形：$5 = 4 × 1 + 1$
第2个图形：$9 = 4 × 2 + 1$
第3个图形：$13 = 4 × 3 + 1$
由此可归纳规律：第$n$个图形中小黑点的个数为$4n+1$。
当$n=20$时，小黑点个数为：
$4 × 20 +1 = 81$
【答案】
81
【知识点】
图形规律探究，代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题型，核心是通过对前几个样本的观察，找到固定变化的增量，总结出通用规律，再代入具体数值求解，主要考察学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
