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4. 如图，要建一个长方形苗圃，其中一边靠长度足够的墙，另外三边用竹篱笆围成. 已知长方形的长为$(6m-2n+24)m$，宽为$(n-3m+3)m$.
(1)这块苗圃的长比宽多多少米？
(2)若竹篱笆的单价为每米7元，请你通过计算，说明该苗圃的建造总价是否随$m$，$n$的取值而变化. 若变化，请说明理由；若不变，请求出该苗圃的建造总价.
(1)这块苗圃的长比宽多多少米？
(2)若竹篱笆的单价为每米7元，请你通过计算，说明该苗圃的建造总价是否随$m$，$n$的取值而变化. 若变化，请说明理由；若不变，请求出该苗圃的建造总价.
答案
4. (1)$(6m-2n+24)-(n-3m+3)=6m-2n+24-n+3m-3=9m-3n+21(\mathrm{m}).$
(2)该苗圃的建造总价不会随$m$，$n$的取值而变化，理由如下：由于竹篱笆总长为$(6m-2n+24)+2(n-3m+3)=6m-2n+24+2n-6m+6=30(\mathrm{m})$，可知竹篱笆总长与$m$，$n$的取值无关. 因为竹篱笆的单价为每米7元，所以该苗圃的建造总价为$30×7=210$(元).
(2)该苗圃的建造总价不会随$m$，$n$的取值而变化，理由如下：由于竹篱笆总长为$(6m-2n+24)+2(n-3m+3)=6m-2n+24+2n-6m+6=30(\mathrm{m})$，可知竹篱笆总长与$m$，$n$的取值无关. 因为竹篱笆的单价为每米7元，所以该苗圃的建造总价为$30×7=210$(元).
解析
【分析】
(1) 求长比宽多多少，只需用长的代数式减去宽的代数式，按照整式减法规则，先去括号，再合并同类项即可得到结果。
(2) 首先结合图形明确篱笆的组成：长的一侧靠墙，因此篱笆总长度=1个长+2个宽。先列出总长的代数式，再通过去括号、合并同类项化简，若化简结果不含m、n，说明总长与m、n取值无关，对应总价也不变，最后用总长乘单价即可求出总价。
【解析】
(1) 列式计算长与宽的差：
$\begin{aligned}&(6m-2n+24)-(n-3m+3)\\=&6m-2n+24-n+3m-3\\=&9m-3n+21(\mathrm{m})\end{aligned}$
(2) 先计算竹篱笆的总长度：
$\begin{aligned}&(6m-2n+24)+2(n-3m+3)\\=&6m-2n+24+2n-6m+6\\=&30(\mathrm{m})\end{aligned}$
化简后结果不含m、n，说明竹篱笆总长与m、n的取值无关，因此建造总价也不会随m、n的取值变化。
已知竹篱笆单价为每米7元，总造价为：$30×7=210$（元）
【答案】
(1) 这块苗圃的长比宽多$\boldsymbol{(9m-3n+21)}$米；
(2) 该苗圃的建造总价不随m，n的取值变化，总价为$\boldsymbol{210}$元。
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题结合实际场景考查整式加减的应用，解题核心是准确梳理数量关系，正确列出代数式，熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，同时要注意结合图形判断篱笆的构成，避免错误计算周长。
【难度系数】
0.7
(1) 求长比宽多多少，只需用长的代数式减去宽的代数式，按照整式减法规则，先去括号，再合并同类项即可得到结果。
(2) 首先结合图形明确篱笆的组成：长的一侧靠墙，因此篱笆总长度=1个长+2个宽。先列出总长的代数式，再通过去括号、合并同类项化简，若化简结果不含m、n，说明总长与m、n取值无关，对应总价也不变，最后用总长乘单价即可求出总价。
【解析】
(1) 列式计算长与宽的差：
$\begin{aligned}&(6m-2n+24)-(n-3m+3)\\=&6m-2n+24-n+3m-3\\=&9m-3n+21(\mathrm{m})\end{aligned}$
(2) 先计算竹篱笆的总长度：
$\begin{aligned}&(6m-2n+24)+2(n-3m+3)\\=&6m-2n+24+2n-6m+6\\=&30(\mathrm{m})\end{aligned}$
化简后结果不含m、n，说明竹篱笆总长与m、n的取值无关，因此建造总价也不会随m、n的取值变化。
已知竹篱笆单价为每米7元，总造价为：$30×7=210$（元）
【答案】
(1) 这块苗圃的长比宽多$\boldsymbol{(9m-3n+21)}$米；
(2) 该苗圃的建造总价不随m，n的取值变化，总价为$\boldsymbol{210}$元。
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题结合实际场景考查整式加减的应用，解题核心是准确梳理数量关系，正确列出代数式，熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，同时要注意结合图形判断篱笆的构成，避免错误计算周长。
【难度系数】
0.7
1. 如图，由6个小长方形拼成一个大长方形，图中标示了相关长方形的长和宽(x，y互不相等，且都不等于2)。
(1)试在图中直接标出各小长方形的面积，并计算大长方形的面积。
(2)经过观察回答：图中有几个正方形？请你从计算这几个正方形的面积的角度，找出一个关于x，y的等式。
(1)试在图中直接标出各小长方形的面积，并计算大长方形的面积。
(2)经过观察回答：图中有几个正方形？请你从计算这几个正方形的面积的角度，找出一个关于x，y的等式。
答案
1. (1)各小长方形的面积如图所示，大长方形的面积为$x^2+y^2+2xy+2x+2y.$
(2)有3个正方形，等式是$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2.$
解析
【分析】
（1）解决第一问首先依据长方形面积=长×宽的公式，分别计算每个小长方形的面积并标注，再将6个小长方形的面积相加，即可得到大长方形的总面积。
（2）解决第二问先根据正方形四条边长相等的特征找正方形：左上角边长为x的图形、中间边长为y的图形、左边四个图形拼成的边长为x+y的图形都是正方形，共3个。再分别计算3个正方形的面积，根据大正方形面积等于内部各部分面积和的关系，整理得到对应的等式。
【解析】
(1) 根据长方形面积公式计算各小长方形面积：
第一行从左到右：
第一个长、宽均为x，面积为$x · x = x^2$；
第二个长为y、宽为x，面积为$x · y = xy$；
第三个长为2、宽为x，面积为$x · 2 = 2x$；
第二行从左到右：
第一个长为x、宽为y，面积为$y · x = xy$；
第二个长、宽均为y，面积为$y · y = y^2$；
第三个长为2、宽为y，面积为$y · 2 = 2y$；
标注位置见参考图。
大长方形面积为6个小长方形面积之和：
$\begin{aligned}S &= x^2+xy+2x+xy+y^2+2y \\&= x^2+y^2+2xy+2x+2y\end{aligned}$
(2) 观察可得共有3个正方形：边长为x的正方形、边长为y的正方形、边长为$x+y$的正方形。
边长为$x+y$的正方形面积等于其内部两个小正方形和两个长方形的面积之和，因此：
$\begin{aligned}(x+y)^2 &= x^2 + xy + xy + y^2 \\(x+y)^2 &= x^2+2xy+y^2\end{aligned}$
【答案】
1. (1)各小长方形的面积如图所示，大长方形的面积为$x^2+y^2+2xy+2x+2y.$
(2)有3个正方形，等式是$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2.$
【知识点】
1. 图形面积计算
2. 整式的加减
3. 完全平方公式的几何背景
【点评】
本题结合几何图形考查整式运算的实际应用，通过图形面积的推导可以直观理解代数公式的含义，体现了数形结合的思想，解题时需细心计算各区域面积，避免漏项。
【难度系数】
0.85
（1）解决第一问首先依据长方形面积=长×宽的公式，分别计算每个小长方形的面积并标注，再将6个小长方形的面积相加，即可得到大长方形的总面积。
（2）解决第二问先根据正方形四条边长相等的特征找正方形：左上角边长为x的图形、中间边长为y的图形、左边四个图形拼成的边长为x+y的图形都是正方形，共3个。再分别计算3个正方形的面积，根据大正方形面积等于内部各部分面积和的关系，整理得到对应的等式。
【解析】
(1) 根据长方形面积公式计算各小长方形面积：
第一行从左到右：
第一个长、宽均为x，面积为$x · x = x^2$；
第二个长为y、宽为x，面积为$x · y = xy$；
第三个长为2、宽为x，面积为$x · 2 = 2x$；
第二行从左到右：
第一个长为x、宽为y，面积为$y · x = xy$；
第二个长、宽均为y，面积为$y · y = y^2$；
第三个长为2、宽为y，面积为$y · 2 = 2y$；
标注位置见参考图。
大长方形面积为6个小长方形面积之和：
$\begin{aligned}S &= x^2+xy+2x+xy+y^2+2y \\&= x^2+y^2+2xy+2x+2y\end{aligned}$
(2) 观察可得共有3个正方形：边长为x的正方形、边长为y的正方形、边长为$x+y$的正方形。
边长为$x+y$的正方形面积等于其内部两个小正方形和两个长方形的面积之和，因此：
$\begin{aligned}(x+y)^2 &= x^2 + xy + xy + y^2 \\(x+y)^2 &= x^2+2xy+y^2\end{aligned}$
【答案】
1. (1)各小长方形的面积如图所示，大长方形的面积为$x^2+y^2+2xy+2x+2y.$
(2)有3个正方形，等式是$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2.$
【知识点】
1. 图形面积计算
2. 整式的加减
3. 完全平方公式的几何背景
【点评】
本题结合几何图形考查整式运算的实际应用，通过图形面积的推导可以直观理解代数公式的含义，体现了数形结合的思想，解题时需细心计算各区域面积，避免漏项。
【难度系数】
0.85
