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6. 某公园计划砌一个形状如图1的喷水池(单位：m)，后来有人建议改为图2的形状，且外圆的直径不变. 请你比较两种方案，确定哪一种方案砌各圆形水池需要的材料更多. (提示：比较两种方案中各圆形水池的周长的和.)
答案
6. 图1中两个圆形周长之和为$2×2π×6r=24πr$，图2中四个圆形周长之和为$2π×6r +2π×r+2π×2r+2π×3r =24πr$，所以两种方案砌各圆形水池的周边需要的材料一样多.
解析
【分析】
要判断哪种方案需要的材料更多，根据提示只需比较两个方案中所有圆形水池的周长总和即可。首先回忆圆的周长公式为$C=2π R$（$R$为圆的半径），第一步先计算图1中两个圆的周长之和，第二步计算图2中外圆加内部三个小圆的周长之和，最后比较两个周长和的大小，若相等则材料用量相同，否则更大的那个用料更多。
【解析】
首先计算图1的总周长：
图1有2个半径为$6r$的圆，单个圆周长为$2π×6r$，总周长：
$C_1=2×(2π×6r)=24π r$
再计算图2的总周长：
图2包含1个半径为$6r$的外圆，和半径分别为$r、2r、3r$的3个内圆，总周长为四个圆的周长之和：
$C_2=2π×6r + 2π× r + 2π×2r + 2π×3r$
化简计算得：
$C_2=12π r + 2π r + 4π r + 6π r=24π r$
因为$C_1=C_2=24π r$，所以两个方案的总周长相等。
【答案】
两种方案砌各圆形水池的周边需要的材料一样多。
【知识点】
圆的周长计算；整式的加减运算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是将用料多少的实际问题转化为周长和比较的数学问题，解题时需注意不要漏算图2中的外圆周长，正确代入圆周长公式计算并化简代数式即可得到结果。
【难度系数】
0.7
要判断哪种方案需要的材料更多，根据提示只需比较两个方案中所有圆形水池的周长总和即可。首先回忆圆的周长公式为$C=2π R$（$R$为圆的半径），第一步先计算图1中两个圆的周长之和，第二步计算图2中外圆加内部三个小圆的周长之和，最后比较两个周长和的大小，若相等则材料用量相同，否则更大的那个用料更多。
【解析】
首先计算图1的总周长：
图1有2个半径为$6r$的圆，单个圆周长为$2π×6r$，总周长：
$C_1=2×(2π×6r)=24π r$
再计算图2的总周长：
图2包含1个半径为$6r$的外圆，和半径分别为$r、2r、3r$的3个内圆，总周长为四个圆的周长之和：
$C_2=2π×6r + 2π× r + 2π×2r + 2π×3r$
化简计算得：
$C_2=12π r + 2π r + 4π r + 6π r=24π r$
因为$C_1=C_2=24π r$，所以两个方案的总周长相等。
【答案】
两种方案砌各圆形水池的周边需要的材料一样多。
【知识点】
圆的周长计算；整式的加减运算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是将用料多少的实际问题转化为周长和比较的数学问题，解题时需注意不要漏算图2中的外圆周长，正确代入圆周长公式计算并化简代数式即可得到结果。
【难度系数】
0.7
1. 张大伯上午以每条$a$元的价格购进30条鱼，下午又以每条$b$元的价格购进20条鱼$(a＞b)$，然后他以每条$\frac{1}{2}(a+b)$元的价格全部卖出，那么张大伯的盈亏状况是(
A.赚钱
B.赔钱
C.不赚不赔
D.无法确定
B
)。A.赚钱
B.赔钱
C.不赚不赔
D.无法确定
答案
1. B
解析
【分析】
要判断张大伯的盈亏状况，核心是对比总售价和总成本的大小：利润=总售价-总成本，若利润为正则赚钱，为负则赔钱，为0则不赚不赔。解题思路如下：第一步分别计算进货总成本、卖鱼总售价；第二步用总售价减去总成本得到利润的代数式；第三步化简代数式，结合已知$a＞b$的条件判断利润的正负，即可得出盈亏结果。
【解析】
1. 计算进货总成本：
上午购进30条鱼成本为$30a$元，下午购进20条鱼成本为$20b$元，因此总成本为$30a+20b$元。
2. 计算卖鱼总售价：
一共购进鱼的数量为$30+20=50$条，每条售价为$\frac{1}{2}(a+b)$元，因此总售价为$50×\frac{1}{2}(a+b)=25(a+b)=25a+25b$元。
3. 计算利润并判断正负：
利润=总售价-总成本，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{利润}&=(25a+25b)-(30a+20b)\\&=25a+25b-30a-20b\\&=5b-5a\\&=5(b-a)\end{aligned}$
已知$a＞b$，因此$b-a＜0$，可得$5(b-a)＜0$，即利润小于0，张大伯赔钱。
【答案】
B
【知识点】
1.整式的加减运算
2.代数式比较大小
3.盈亏问题计算
【点评】
本题是整式加减在实际生活中的应用，解题关键是正确用代数式表示出总成本、总售价，通过作差法得到利润表达式后，结合题目给出的$a$、$b$大小关系判断利润正负即可，计算时要注意去括号的符号变化。
【难度系数】
0.7
要判断张大伯的盈亏状况，核心是对比总售价和总成本的大小：利润=总售价-总成本，若利润为正则赚钱，为负则赔钱，为0则不赚不赔。解题思路如下：第一步分别计算进货总成本、卖鱼总售价；第二步用总售价减去总成本得到利润的代数式；第三步化简代数式，结合已知$a＞b$的条件判断利润的正负，即可得出盈亏结果。
【解析】
1. 计算进货总成本：
上午购进30条鱼成本为$30a$元，下午购进20条鱼成本为$20b$元，因此总成本为$30a+20b$元。
2. 计算卖鱼总售价：
一共购进鱼的数量为$30+20=50$条，每条售价为$\frac{1}{2}(a+b)$元，因此总售价为$50×\frac{1}{2}(a+b)=25(a+b)=25a+25b$元。
3. 计算利润并判断正负：
利润=总售价-总成本，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{利润}&=(25a+25b)-(30a+20b)\\&=25a+25b-30a-20b\\&=5b-5a\\&=5(b-a)\end{aligned}$
已知$a＞b$，因此$b-a＜0$，可得$5(b-a)＜0$，即利润小于0，张大伯赔钱。
【答案】
B
【知识点】
1.整式的加减运算
2.代数式比较大小
3.盈亏问题计算
【点评】
本题是整式加减在实际生活中的应用，解题关键是正确用代数式表示出总成本、总售价，通过作差法得到利润表达式后，结合题目给出的$a$、$b$大小关系判断利润正负即可，计算时要注意去括号的符号变化。
【难度系数】
0.7
2. 某校组织若干师生乘车外出开展社会实践活动，租用客车$x$辆. 若租用45座客车，则有15人无座位；若租用60座的客车，则可少租1辆，且最后一辆还没坐满，则乘坐最后一辆60座客车的人数是
$135-15x$
人.答案
2. $135-15x$
解析
【分析】
解题时先抓住不变量即师生总人数，先根据租用45座客车的情况表示出总人数；再分析租用60座客车的情况，明确除了最后一辆没坐满，其余租用的60座客车均坐满，算出坐满车辆的总载客量；最后用总人数减去坐满车辆的载客量，即可得到最后一辆60座客车的乘坐人数，再通过整式加减化简得出结果。
【解析】
1. 求师生总人数
租用45座客车$x$辆时，15人无座位，因此师生总人数为：$45x + 15$（人）
2. 求坐满的60座客车的总载客量
租用60座客车时可少租1辆，即租用数量为$(x-1)$辆，其中最后一辆没坐满，说明前$(x-1-1)=x-2$辆均坐满60人，因此这部分的总载客量为：$60(x-2)$（人）
3. 计算最后一辆60座客车的人数
用总人数减去前$(x-2)$辆60座客车的载客量，可得最后一辆车的人数为：
$\begin{aligned}&(45x + 15) - 60(x - 2)\\=&45x + 15 - 60x + 120\\=&(45x - 60x) + (15 + 120)\\=&135 - 15x\end{aligned}$
【答案】
$135-15x$
【知识点】
列代数式；整式的加减运算
【点评】
本题是整式加减在实际问题中的应用，解题核心是抓住总人数不变的隐含条件，准确理解“少租1辆、最后一辆未坐满”的表述，正确表示出坐满的车辆数，再通过去括号、合并同类项完成化简即可，注意不要弄错坐满车辆的数量导致列式错误。
【难度系数】
0.6
解题时先抓住不变量即师生总人数，先根据租用45座客车的情况表示出总人数；再分析租用60座客车的情况，明确除了最后一辆没坐满，其余租用的60座客车均坐满，算出坐满车辆的总载客量；最后用总人数减去坐满车辆的载客量，即可得到最后一辆60座客车的乘坐人数，再通过整式加减化简得出结果。
【解析】
1. 求师生总人数
租用45座客车$x$辆时，15人无座位，因此师生总人数为：$45x + 15$（人）
2. 求坐满的60座客车的总载客量
租用60座客车时可少租1辆，即租用数量为$(x-1)$辆，其中最后一辆没坐满，说明前$(x-1-1)=x-2$辆均坐满60人，因此这部分的总载客量为：$60(x-2)$（人）
3. 计算最后一辆60座客车的人数
用总人数减去前$(x-2)$辆60座客车的载客量，可得最后一辆车的人数为：
$\begin{aligned}&(45x + 15) - 60(x - 2)\\=&45x + 15 - 60x + 120\\=&(45x - 60x) + (15 + 120)\\=&135 - 15x\end{aligned}$
【答案】
$135-15x$
【知识点】
列代数式；整式的加减运算
【点评】
本题是整式加减在实际问题中的应用，解题核心是抓住总人数不变的隐含条件，准确理解“少租1辆、最后一辆未坐满”的表述，正确表示出坐满的车辆数，再通过去括号、合并同类项完成化简即可，注意不要弄错坐满车辆的数量导致列式错误。
【难度系数】
0.6
3. 如图，要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示(单位：m).
(1)求阴影部分的面积(用含x的代数式表示)；
(2)当x=9，π取3时，求阴影部分的面积.
(1)求阴影部分的面积(用含x的代数式表示)；
(2)当x=9，π取3时，求阴影部分的面积.
答案
3. (1)$2(x-2)+4(x-2-2)-\dfrac{1}{2}π×3^2=6x-20-\dfrac{9}{2}π(\mathrm{m}^2)$
(2)当$x=9$，$π$取3时，$6x-20-\dfrac{9}{2}π =6×9-20-\dfrac{9}{2}×3=20.5(\mathrm{m}^2)$
(2)当$x=9$，$π$取3时，$6x-20-\dfrac{9}{2}π =6×9-20-\dfrac{9}{2}×3=20.5(\mathrm{m}^2)$
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，可采用“割补法”：阴影部分面积等于两个长方形的面积之和减去中间半圆形花圃的面积。第一步先分别计算两个长方形的面积：下方长方形的长为$(x-2)\mathrm{m}$、宽为$2\mathrm{m}$，上方长方形的长为$(x-2-2)\mathrm{m}$、宽为$4\mathrm{m}$；第二步计算半圆的面积：由图可知半圆的直径为$4+2=6\mathrm{m}$，因此半径为$3\mathrm{m}$，根据半圆面积公式即可求出其面积；第三步将两个长方形面积相加再减去半圆面积，化简得到含$x$的代数式，第二问只需将$x$和$π$的取值代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 先计算两块长方形的总面积：
下方长方形面积：$2(x-2) \ \mathrm{m}^2$
上方长方形的长为$(x-2-2)=(x-4)\ \mathrm{m}$，面积为$4(x-4) \ \mathrm{m}^2$
两块长方形总面积：$2(x-2)+4(x-4)$
再计算半圆形花圃的面积：半圆的直径为$4+2=6\ \mathrm{m}$，半径$r=3\ \mathrm{m}$，因此半圆面积为$\dfrac{1}{2}π r^2=\dfrac{1}{2}π×3^2=\dfrac{9}{2}π\ \mathrm{m}^2$
阴影部分面积 = 长方形总面积 - 半圆面积，即：
$\begin{aligned}S&=2(x-2)+4(x-4)-\dfrac{9}{2}π\\&=2x-4+4x-16-\dfrac{9}{2}π\\&=6x-20-\dfrac{9}{2}π \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
(2) 把$x=9$，$π=3$代入$6x-20-\dfrac{9}{2}π$得：
$\begin{aligned}S&=6×9-20-\dfrac{9}{2}×3\\&=54-20-13.5\\&=20.5 \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{6x-20-\dfrac{9}{2}π \ \mathrm{m}^2}$
(2) $\boxed{20.5\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题属于不规则图形面积计算类问题，解题核心是将不规则面积转化为规则图形面积的和差关系，计算时需准确识别各规则图形的边长、半径等参数，代入求值时注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
要计算阴影部分的面积，可采用“割补法”：阴影部分面积等于两个长方形的面积之和减去中间半圆形花圃的面积。第一步先分别计算两个长方形的面积：下方长方形的长为$(x-2)\mathrm{m}$、宽为$2\mathrm{m}$，上方长方形的长为$(x-2-2)\mathrm{m}$、宽为$4\mathrm{m}$；第二步计算半圆的面积：由图可知半圆的直径为$4+2=6\mathrm{m}$，因此半径为$3\mathrm{m}$，根据半圆面积公式即可求出其面积；第三步将两个长方形面积相加再减去半圆面积，化简得到含$x$的代数式，第二问只需将$x$和$π$的取值代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 先计算两块长方形的总面积：
下方长方形面积：$2(x-2) \ \mathrm{m}^2$
上方长方形的长为$(x-2-2)=(x-4)\ \mathrm{m}$，面积为$4(x-4) \ \mathrm{m}^2$
两块长方形总面积：$2(x-2)+4(x-4)$
再计算半圆形花圃的面积：半圆的直径为$4+2=6\ \mathrm{m}$，半径$r=3\ \mathrm{m}$，因此半圆面积为$\dfrac{1}{2}π r^2=\dfrac{1}{2}π×3^2=\dfrac{9}{2}π\ \mathrm{m}^2$
阴影部分面积 = 长方形总面积 - 半圆面积，即：
$\begin{aligned}S&=2(x-2)+4(x-4)-\dfrac{9}{2}π\\&=2x-4+4x-16-\dfrac{9}{2}π\\&=6x-20-\dfrac{9}{2}π \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
(2) 把$x=9$，$π=3$代入$6x-20-\dfrac{9}{2}π$得：
$\begin{aligned}S&=6×9-20-\dfrac{9}{2}×3\\&=54-20-13.5\\&=20.5 \ (\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{6x-20-\dfrac{9}{2}π \ \mathrm{m}^2}$
(2) $\boxed{20.5\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题属于不规则图形面积计算类问题，解题核心是将不规则面积转化为规则图形面积的和差关系，计算时需准确识别各规则图形的边长、半径等参数，代入求值时注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
