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12. 小明在完成作业“如图 1，∠AOB＝90°，C，D 是以点 O 为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，弦 AB 分别交 OC，OD 于点 E，F，求证：AE＝BF＝CD”的基础上，做了如下尝试：“如图 2，把∠AOB＝90°改为∠AOB＝120°，其他不变”。证明成功后，大胆猜想：“如图 3，∠AOB＝n°，C，D 是以点 O 为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，弦 AB 分别交 OC，OD 于点 E，F，求证：AE＝BF＝CD”。请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程。
答案
12. 尝试:连结AC,BD。$\because$在$\odot O$中,$∠ AOB=120°$,$C,D$是以$O$为圆心的弧$AB$的三等分点,$\therefore ∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$。$\because OA=OB$,$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=30°$。$\because ∠ AOC=∠ BOD=40°$,$\therefore ∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30°+40°=70°$。$\because OA=OC$,$∠ AOC=40°$,$\therefore ∠ ACE=70°$,$\therefore ∠ ACE=∠ AEC$,$\therefore AC=AE$。同理$BF=BD$。$\because C,D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,$\therefore AC=CD=BD$,$\therefore AE=BF=CD$。
猜想:连结AC,BD。$\because$在$\odot O$中,$∠ AOB=n°$,$C,D$是以$O$为圆心的弧$AB$的三等分点,$\therefore ∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}× n°=(\frac{n}{3})°$。$\because OA=OB$,$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=(\frac{180-n}{2})°$。$\because ∠ AOC=∠ BOD=(\frac{n}{3})°$,$\therefore ∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=(\frac{n}{3}+\frac{180-n}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$。$\because OA=OC$,$∠ AOC=(\frac{n}{3})°$,$\therefore ∠ ACE=(\frac{180-\frac{n}{3}}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$,$\therefore ∠ ACE=∠ AEC$,$\therefore AC=AE$。同理$BF=BD$。$\because C,D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,$\therefore AC=CD=BD$,$\therefore AE=BF=CD$，配图见
解析
【分析】
解决此类圆中线段相等的问题，核心是利用圆的基本性质实现角、弧、弦的等量转换，结合等腰三角形的性质推导线段相等。本题无论是特殊角度的“尝试”还是一般角度的“猜想”，解题思路一致：1. 作辅助线连接AC、BD；2. 利用弧的三等分性质，得到对应的圆心角相等、弦相等，即AC=CD=BD；3. 结合等腰△OAB的底角，用三角形外角性质求出∠AEC的度数，再根据等腰△OAC的底角度数，证明∠ACE=∠AEC，得到AE=AC，同理可得BF=BD；4. 通过等量代换即可证明结论。
【解析】
尝试（∠AOB=120°）的证明：
连结AC、BD。
∵在$\odot O$中，$∠ AOB=120°$，C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$。
∵$OA=OB$，
∴$∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
∵$∠ AOC=∠ BOD=40°$，
∴$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30°+40°=70°$。
∵$OA=OC$，$∠ AOC=40°$，
∴$∠ ACE=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
∴$∠ ACE=∠ AEC$，
∴$AC=AE$。
同理可证$BF=BD$。
∵C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$AC=CD=BD$，
∴$AE=BF=CD$。
猜想（∠AOB=n°）的证明：
连结AC、BD。
∵在$\odot O$中，$∠ AOB=n°$，C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}× n°=(\frac{n}{3})°$。
∵$OA=OB$，
∴$∠ OAB=∠ OBA=(\frac{180-n}{2})°$。
∵$∠ AOC=∠ BOD=(\frac{n}{3})°$，
∴$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=(\frac{n}{3}+\frac{180-n}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$。
∵$OA=OC$，$∠ AOC=(\frac{n}{3})°$，
∴$∠ ACE=(\frac{180-\frac{n}{3}}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$，
∴$∠ ACE=∠ AEC$，
∴$AC=AE$。
同理可证$BF=BD$。
∵C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$AC=CD=BD$，
∴$AE=BF=CD$。
【答案】
12. 尝试:连结AC,BD。$\because$在$\odot O$中,$∠ AOB=120°$,$C,D$是以$O$为圆心的弧$AB$的三等分点,$\therefore ∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$。$\because OA=OB$,$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=30°$。$\because ∠ AOC=∠ BOD=40°$,$\therefore ∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30°+40°=70°$。$\because OA=OC$,$∠ AOC=40°$,$\therefore ∠ ACE=70°$,$\therefore ∠ ACE=∠ AEC$,$\therefore AC=AE$。同理$BF=BD$。$\because C,D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,$\therefore AC=CD=BD$,$\therefore AE=BF=CD$。
猜想:连结AC,BD。$\because$在$\odot O$中,$∠ AOB=n°$,$C,D$是以$O$为圆心的弧$AB$的三等分点,$\therefore ∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}× n°=(\frac{n}{3})°$。$\because OA=OB$,$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=(\frac{180-n}{2})°$。$\because ∠ AOC=∠ BOD=(\frac{n}{3})°$,$\therefore ∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=(\frac{n}{3}+\frac{180-n}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$。$\because OA=OC$,$∠ AOC=(\frac{n}{3})°$,$\therefore ∠ ACE=(\frac{180-\frac{n}{3}}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$,$\therefore ∠ ACE=∠ AEC$,$\therefore AC=AE$。同理$BF=BD$。$\because C,D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,$\therefore AC=CD=BD$,$\therefore AE=BF=CD$，配图见
【知识点】
圆心角弧弦的关系，等腰三角形判定，三角形外角性质
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究思路，考查了圆的基本性质与等腰三角形、三角形外角性质的综合运用，解题的关键是通过辅助线构建等量关系，灵活进行角和线段的转换。
【难度系数】
0.6
解决此类圆中线段相等的问题，核心是利用圆的基本性质实现角、弧、弦的等量转换，结合等腰三角形的性质推导线段相等。本题无论是特殊角度的“尝试”还是一般角度的“猜想”，解题思路一致：1. 作辅助线连接AC、BD；2. 利用弧的三等分性质，得到对应的圆心角相等、弦相等，即AC=CD=BD；3. 结合等腰△OAB的底角，用三角形外角性质求出∠AEC的度数，再根据等腰△OAC的底角度数，证明∠ACE=∠AEC，得到AE=AC，同理可得BF=BD；4. 通过等量代换即可证明结论。
【解析】
尝试（∠AOB=120°）的证明：
连结AC、BD。
∵在$\odot O$中，$∠ AOB=120°$，C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$。
∵$OA=OB$，
∴$∠ OAB=∠ OBA=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
∵$∠ AOC=∠ BOD=40°$，
∴$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30°+40°=70°$。
∵$OA=OC$，$∠ AOC=40°$，
∴$∠ ACE=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
∴$∠ ACE=∠ AEC$，
∴$AC=AE$。
同理可证$BF=BD$。
∵C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$AC=CD=BD$，
∴$AE=BF=CD$。
猜想（∠AOB=n°）的证明：
连结AC、BD。
∵在$\odot O$中，$∠ AOB=n°$，C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}× n°=(\frac{n}{3})°$。
∵$OA=OB$，
∴$∠ OAB=∠ OBA=(\frac{180-n}{2})°$。
∵$∠ AOC=∠ BOD=(\frac{n}{3})°$，
∴$∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=(\frac{n}{3}+\frac{180-n}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$。
∵$OA=OC$，$∠ AOC=(\frac{n}{3})°$，
∴$∠ ACE=(\frac{180-\frac{n}{3}}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$，
∴$∠ ACE=∠ AEC$，
∴$AC=AE$。
同理可证$BF=BD$。
∵C、D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
∴$AC=CD=BD$，
∴$AE=BF=CD$。
【答案】
12. 尝试:连结AC,BD。$\because$在$\odot O$中,$∠ AOB=120°$,$C,D$是以$O$为圆心的弧$AB$的三等分点,$\therefore ∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$。$\because OA=OB$,$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=30°$。$\because ∠ AOC=∠ BOD=40°$,$\therefore ∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=30°+40°=70°$。$\because OA=OC$,$∠ AOC=40°$,$\therefore ∠ ACE=70°$,$\therefore ∠ ACE=∠ AEC$,$\therefore AC=AE$。同理$BF=BD$。$\because C,D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,$\therefore AC=CD=BD$,$\therefore AE=BF=CD$。
猜想:连结AC,BD。$\because$在$\odot O$中,$∠ AOB=n°$,$C,D$是以$O$为圆心的弧$AB$的三等分点,$\therefore ∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{1}{3}× n°=(\frac{n}{3})°$。$\because OA=OB$,$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=(\frac{180-n}{2})°$。$\because ∠ AOC=∠ BOD=(\frac{n}{3})°$,$\therefore ∠ AEC=∠ OAB+∠ AOC=(\frac{n}{3}+\frac{180-n}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$。$\because OA=OC$,$∠ AOC=(\frac{n}{3})°$,$\therefore ∠ ACE=(\frac{180-\frac{n}{3}}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$,$\therefore ∠ ACE=∠ AEC$,$\therefore AC=AE$。同理$BF=BD$。$\because C,D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点,$\therefore AC=CD=BD$,$\therefore AE=BF=CD$，配图见
【知识点】
圆心角弧弦的关系，等腰三角形判定，三角形外角性质
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究思路，考查了圆的基本性质与等腰三角形、三角形外角性质的综合运用，解题的关键是通过辅助线构建等量关系，灵活进行角和线段的转换。
【难度系数】
0.6
