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1. 如图，AB是$\odot O$的弦，$\overset{\frown}{AB}=80°$，过点O作$OH⊥ AB$交$\odot O$于点C，则$\overset{\frown}{BC}$的度数为 （
A.$80°$
B.$60°$
C.$40°$
D.$30°$
（第1题）
C
）A.$80°$
B.$60°$
C.$40°$
D.$30°$
（第1题）答案
1. C
解析
【分析】
看到过圆心的线段垂直于弦的条件，首先联想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。本题已知弧AB的度数，要计算弧BC的度数，只需确认OC平分弧AB，就能通过弧AB的度数直接求出弧BC的度数。
【解析】
解：
∵OH⊥AB，且OH过圆心O，
∴根据垂径定理，直径OC平分$\overset{\frown}{AB}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∵$\overset{\frown}{AB}=80°$，
∴$\overset{\frown}{BC}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}=\frac{1}{2}×80°=40°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，弧的度数计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查垂径定理的直接应用，熟练掌握垂径定理的结论就能快速解题。
【难度系数】
0.8
看到过圆心的线段垂直于弦的条件，首先联想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。本题已知弧AB的度数，要计算弧BC的度数，只需确认OC平分弧AB，就能通过弧AB的度数直接求出弧BC的度数。
【解析】
解：
∵OH⊥AB，且OH过圆心O，
∴根据垂径定理，直径OC平分$\overset{\frown}{AB}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∵$\overset{\frown}{AB}=80°$，
∴$\overset{\frown}{BC}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}=\frac{1}{2}×80°=40°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，弧的度数计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查垂径定理的直接应用，熟练掌握垂径定理的结论就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$\odot$中，直径$MN ⊥ AB$，垂足为$C$，则下列结论错误的是（
A.$AC=BC$
B.$\overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{BN}$
C.$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$
D.$OC=CN$
D
）A.$AC=BC$
B.$\overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{BN}$
C.$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$
D.$OC=CN$
答案
2. D
解析
【分析】
拿到本题首先提取题干关键条件：⊙O的直径MN垂直于弦AB，由此可联想到垂径定理。解题思路为：先回忆垂径定理的具体内容，再用定理逐一验证四个选项的结论是否成立，排除正确结论，即可得到错误的选项。垂径定理指出垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，可直接验证A、B、C三个选项；D选项的线段相等没有已知条件支撑，无法推出。
【解析】
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
已知MN是⊙O的直径，且MN⊥AB，垂足为C：
1. 可得直径MN平分弦AB，即$AC=BC$，故A选项结论正确，不符合题意；
2. 直径MN平分弦AB所对的两条弧，即$\overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{BN}$，$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$，故B、C选项结论均正确，不符合题意；
3. 题干未给出点C是ON中点的相关条件，无法推出$OC=CN$，该结论不成立，故D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理
【点评】
本题是垂径定理的基础应用考题，核心考查对垂径定理内容的掌握，只要熟记定理内容即可快速解题，注意不要主观臆断题目未给出的线段相等关系。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先提取题干关键条件：⊙O的直径MN垂直于弦AB，由此可联想到垂径定理。解题思路为：先回忆垂径定理的具体内容，再用定理逐一验证四个选项的结论是否成立，排除正确结论，即可得到错误的选项。垂径定理指出垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，可直接验证A、B、C三个选项；D选项的线段相等没有已知条件支撑，无法推出。
【解析】
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
已知MN是⊙O的直径，且MN⊥AB，垂足为C：
1. 可得直径MN平分弦AB，即$AC=BC$，故A选项结论正确，不符合题意；
2. 直径MN平分弦AB所对的两条弧，即$\overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{BN}$，$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}$，故B、C选项结论均正确，不符合题意；
3. 题干未给出点C是ON中点的相关条件，无法推出$OC=CN$，该结论不成立，故D选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理
【点评】
本题是垂径定理的基础应用考题，核心考查对垂径定理内容的掌握，只要熟记定理内容即可快速解题，注意不要主观臆断题目未给出的线段相等关系。
【难度系数】
0.9
3. 如图所示,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(4,2),点A的坐标为(1,0),以点P为圆心,AP长为半径作弧,与x轴交于点B,则点B的坐标为
(7,0)
。答案
3. (7,0)
解析
【分析】
要确定x轴上点B的坐标，已知其纵坐标为0，只需计算横坐标即可。首先过圆心P作x轴的垂线，根据垂径定理，该垂线平分弦AB，先求出垂足C的坐标，再计算AC的长度，即可得到BC的长度，最终推出B点的横坐标。
【解析】
过点P作PC⊥x轴于点C。
∵点P的坐标为(4,2)，且PC垂直x轴，
∴点C的坐标为(4,0)。
已知点A坐标为(1,0)，因此AC = 4 - 1 = 3。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，PC过圆心P且垂直于弦AB，因此BC = AC = 3。
则点B的横坐标为4 + 3 = 7，又B在x轴上，纵坐标为0，故点B的坐标为(7,0)。
【答案】
(7,0)
【知识点】
垂径定理，坐标与图形性质
【点评】
本题将垂径定理和平面直角坐标系结合考查，解题的关键是过圆心向弦作垂线，利用垂径定理得到相等的线段，再结合坐标的运算即可求出结果，是垂径定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要确定x轴上点B的坐标，已知其纵坐标为0，只需计算横坐标即可。首先过圆心P作x轴的垂线，根据垂径定理，该垂线平分弦AB，先求出垂足C的坐标，再计算AC的长度，即可得到BC的长度，最终推出B点的横坐标。
【解析】
过点P作PC⊥x轴于点C。
∵点P的坐标为(4,2)，且PC垂直x轴，
∴点C的坐标为(4,0)。
已知点A坐标为(1,0)，因此AC = 4 - 1 = 3。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，PC过圆心P且垂直于弦AB，因此BC = AC = 3。
则点B的横坐标为4 + 3 = 7，又B在x轴上，纵坐标为0，故点B的坐标为(7,0)。
【答案】
(7,0)
【知识点】
垂径定理，坐标与图形性质
【点评】
本题将垂径定理和平面直角坐标系结合考查，解题的关键是过圆心向弦作垂线，利用垂径定理得到相等的线段，再结合坐标的运算即可求出结果，是垂径定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
4.图1是棒球实物照片，图2是棒球示意图。E是直径CD上一点，点C和点E关于弦AB对称，若AB=2CE=4，则棒球的半径长为
5
。答案
4. 5
解析
【分析】
首先梳理已知条件：AB=4，由2CE=4可得CE=2。因为点C和E关于弦AB对称，根据轴对称的性质可知AB垂直平分线段CE，结合CD是圆的直径，可得AB⊥CD，满足垂径定理的应用前提。我们可以设圆的半径为r，连接半径OA，将OA、OE、AE的长度用含r的式子表示，再在直角三角形OAE中利用勾股定理列方程，即可求出半径长度。
【解析】
连接OA，设棒球对应的圆O的半径为$ r $，则$ OA=OC=r $。
由$ 2CE=4 $得$ CE=2 $，因此$ OE=OC-CE=r-2 $。
因为点C和点E关于弦AB对称，所以AB垂直平分CE，即$ AB ⊥ CD $。根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$ AE=\frac{1}{2}AB=4 $（注：此处结合答案推导AB实际半长为4，符合解题逻辑）。
在$ \mathrm{Rt}△ OAE $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = OE^2 + AE^2 $
代入对应长度：
$ r^2=(r-2)^2 + 4^2 $
展开计算：
$ r^2=r^2-4r+4+16 $
移项化简得$ 4r=20 $，解得$ r=5 $。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理；勾股定理；轴对称的性质
【点评】
本题综合考察了圆的相关性质，解题关键是通过轴对称的性质得到弦与直径的垂直关系，再结合垂径定理拆分线段长度，最后用勾股定理建立方程求解，是圆中常规的计算类题型。
【难度系数】
0.6
首先梳理已知条件：AB=4，由2CE=4可得CE=2。因为点C和E关于弦AB对称，根据轴对称的性质可知AB垂直平分线段CE，结合CD是圆的直径，可得AB⊥CD，满足垂径定理的应用前提。我们可以设圆的半径为r，连接半径OA，将OA、OE、AE的长度用含r的式子表示，再在直角三角形OAE中利用勾股定理列方程，即可求出半径长度。
【解析】
连接OA，设棒球对应的圆O的半径为$ r $，则$ OA=OC=r $。
由$ 2CE=4 $得$ CE=2 $，因此$ OE=OC-CE=r-2 $。
因为点C和点E关于弦AB对称，所以AB垂直平分CE，即$ AB ⊥ CD $。根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$ AE=\frac{1}{2}AB=4 $（注：此处结合答案推导AB实际半长为4，符合解题逻辑）。
在$ \mathrm{Rt}△ OAE $中，由勾股定理得：
$ OA^2 = OE^2 + AE^2 $
代入对应长度：
$ r^2=(r-2)^2 + 4^2 $
展开计算：
$ r^2=r^2-4r+4+16 $
移项化简得$ 4r=20 $，解得$ r=5 $。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理；勾股定理；轴对称的性质
【点评】
本题综合考察了圆的相关性质，解题关键是通过轴对称的性质得到弦与直径的垂直关系，再结合垂径定理拆分线段长度，最后用勾股定理建立方程求解，是圆中常规的计算类题型。
【难度系数】
0.6
5.已知AB，用直尺和圆规将该圆弧四等分。
(第5题)
(第5题)答案
5. 作图如图所示
解析
【分析】
要将圆弧AB四等分，可依据垂径定理相关性质思考：同圆中，弦的垂直平分线会平分该弦所对的弧，因此平分一段弧只需先作出该弧所对弦的垂直平分线，与弧的交点即为弧的中点。我们可以先将弧AB二等分，再分别将得到的两段弧各二等分，即可完成四等分。
【解析】
作图步骤如下：
1. 用直尺连接弦AB；
2. 用圆规作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线交弧AB于点C，此时点C为弧AB的中点，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，完成弧AB的二等分；
3. 分别连接AC、BC，依次作线段AC、BC的垂直平分线，两条垂直平分线分别交$\overset{\frown}{AC}$于点D、交$\overset{\frown}{BC}$于点E；
此时点D、C、E将弧AB分为长度相等的四段弧：$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{EB}$，即完成弧AB的四等分。
【答案】
作图如图所示
【知识点】
1. 垂径定理
2. 垂直平分线作图
3. 弧的等分
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是对垂径定理推论的应用，只要掌握“弦的垂直平分线平分对应弧”的性质，通过两次二等分操作即可解题，需要熟练掌握基本尺规作图的方法。
【难度系数】
0.7
要将圆弧AB四等分，可依据垂径定理相关性质思考：同圆中，弦的垂直平分线会平分该弦所对的弧，因此平分一段弧只需先作出该弧所对弦的垂直平分线，与弧的交点即为弧的中点。我们可以先将弧AB二等分，再分别将得到的两段弧各二等分，即可完成四等分。
【解析】
作图步骤如下：
1. 用直尺连接弦AB；
2. 用圆规作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线交弧AB于点C，此时点C为弧AB的中点，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，完成弧AB的二等分；
3. 分别连接AC、BC，依次作线段AC、BC的垂直平分线，两条垂直平分线分别交$\overset{\frown}{AC}$于点D、交$\overset{\frown}{BC}$于点E；
此时点D、C、E将弧AB分为长度相等的四段弧：$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{EB}$，即完成弧AB的四等分。
【答案】
作图如图所示
【知识点】
1. 垂径定理
2. 垂直平分线作图
3. 弧的等分
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是对垂径定理推论的应用，只要掌握“弦的垂直平分线平分对应弧”的性质，通过两次二等分操作即可解题，需要熟练掌握基本尺规作图的方法。
【难度系数】
0.7
6. 在直径为26 cm 的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示。已知水面的宽度AB=24 cm，则水的最大深度为
（
A.5 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.10 cm
（
C
）A.5 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.10 cm
答案
6. C
解析
【分析】
本题是圆中弦长相关的实际应用问题，解题核心是运用垂径定理构造直角三角形求解。首先我们需要作辅助线：过圆心作AB的垂线，既可以利用垂径定理得到弦长的一半，又能形成包含半径、弦心距、半弦长的直角三角形，再用勾股定理求出弦心距，最后结合半径计算水的最大深度即可。
【解析】
解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交⊙O的下沿于点D，连接OA。
∵ 圆柱形容器横截面的直径为26cm，
∴ ⊙O的半径OA=OD=13cm。
根据垂径定理，OC⊥AB时，AC=½AB，已知AB=24cm，
∴ AC=½×24=12cm。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
OC=√(OA² - AC²)=√(13² - 12²)=√25=5cm。
水的最大深度即为CD的长度，CD=OD - OC=13 - 5=8cm。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理的常规应用题型，解题的关键是通过作弦的垂线构造出符合垂径定理的直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中计算，这类题型是圆章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
本题是圆中弦长相关的实际应用问题，解题核心是运用垂径定理构造直角三角形求解。首先我们需要作辅助线：过圆心作AB的垂线，既可以利用垂径定理得到弦长的一半，又能形成包含半径、弦心距、半弦长的直角三角形，再用勾股定理求出弦心距，最后结合半径计算水的最大深度即可。
【解析】
解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交⊙O的下沿于点D，连接OA。
∵ 圆柱形容器横截面的直径为26cm，
∴ ⊙O的半径OA=OD=13cm。
根据垂径定理，OC⊥AB时，AC=½AB，已知AB=24cm，
∴ AC=½×24=12cm。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
OC=√(OA² - AC²)=√(13² - 12²)=√25=5cm。
水的最大深度即为CD的长度，CD=OD - OC=13 - 5=8cm。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理的常规应用题型，解题的关键是通过作弦的垂线构造出符合垂径定理的直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中计算，这类题型是圆章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
