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7.在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为10 cm，在操场地上砸出一个深2 cm的小坑，则该坑的直径AB为（
A.5 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.8 cm
D
）A.5 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.8 cm
答案
7. D
解析
【分析】
这是一道将实际问题转化为圆的弦长计算的几何题，解题思路如下：首先根据铅球直径确定圆的半径，再结合坑的深度求出圆心到弦AB的距离（弦心距），最后利用垂径定理和勾股定理计算弦AB的长度即可得到坑的直径。
【解析】
解：由题意可知，铅球的半径$r = 10÷2 = 5\mathrm{cm}$。
设铅球的圆心为$O$，过$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，延长$OC$交圆的下边缘于点$D$，则$CD$为小坑的深度，即$CD=2\mathrm{cm}$。
圆心到弦$AB$的距离$OC = OD - CD = 5 - 2 = 3\mathrm{cm}$。
连接$OA$，在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OA=5\mathrm{cm}$，$OC=3\mathrm{cm}$，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4\mathrm{cm}$
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AB=2AC=2×4=8\mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考察圆的相关性质，解题的关键是将实际问题转化为几何中的弦长计算问题，通过构造直角三角形即可快速求解，能很好地锻炼学生知识迁移和应用的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道将实际问题转化为圆的弦长计算的几何题，解题思路如下：首先根据铅球直径确定圆的半径，再结合坑的深度求出圆心到弦AB的距离（弦心距），最后利用垂径定理和勾股定理计算弦AB的长度即可得到坑的直径。
【解析】
解：由题意可知，铅球的半径$r = 10÷2 = 5\mathrm{cm}$。
设铅球的圆心为$O$，过$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，延长$OC$交圆的下边缘于点$D$，则$CD$为小坑的深度，即$CD=2\mathrm{cm}$。
圆心到弦$AB$的距离$OC = OD - CD = 5 - 2 = 3\mathrm{cm}$。
连接$OA$，在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OA=5\mathrm{cm}$，$OC=3\mathrm{cm}$，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4\mathrm{cm}$
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AB=2AC=2×4=8\mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考察圆的相关性质，解题的关键是将实际问题转化为几何中的弦长计算问题，通过构造直角三角形即可快速求解，能很好地锻炼学生知识迁移和应用的能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在正方形ABCD中,AB=3,以A为圆心,AC长为半径作弧,交直线BD于点M,N,连结AM,AN,则△AMN的周长为
$6\sqrt{2}+3\sqrt{6}$
。答案
8. $6\sqrt{2}+3\sqrt{6}$
解析
【分析】
解题首先从正方形的性质入手，先计算正方形对角线AC的长度，即圆弧的半径，由此得到AM、AN的长度；再利用正方形对角线互相垂直的性质，结合垂径定理可知弦MN被过圆心的线段AC垂直平分，最后通过勾股定理求出半弦长，进而得到MN的总长度，三边相加即可得到△AMN的周长。
【解析】
设正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O。
1. 由正方形性质可知：AC⊥BD，对角线长度$AC=\sqrt{2}AB$，已知AB=3，因此$AC=3\sqrt{2}$，且$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
2. 由题意，以A为圆心、AC为半径画弧，因此半径$AM=AN=AC=3\sqrt{2}$。
3. 因为$AO⊥ MN$，根据垂径定理可得$MO=ON$。在$Rt△ AOM$中，由勾股定理得：
$MO=\sqrt{AM^2-AO^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2-(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{18-\frac{9}{2}}=\sqrt{\frac{27}{2}}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$
因此$MN=2MO=3\sqrt{6}$。
4. 计算△AMN的周长：$C_{△ AMN}=AM+AN+MN=3\sqrt{2}+3\sqrt{2}+3\sqrt{6}=6\sqrt{2}+3\sqrt{6}$。
【答案】
$6\sqrt{2}+3\sqrt{6}$
【知识点】
正方形的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，将正方形性质和圆的垂径定理、勾股定理结合考查，解题的关键是准确找到正方形对角线与圆的半径、弦的位置和数量关系，再逐步计算未知线段长度。
【难度系数】
0.65
解题首先从正方形的性质入手，先计算正方形对角线AC的长度，即圆弧的半径，由此得到AM、AN的长度；再利用正方形对角线互相垂直的性质，结合垂径定理可知弦MN被过圆心的线段AC垂直平分，最后通过勾股定理求出半弦长，进而得到MN的总长度，三边相加即可得到△AMN的周长。
【解析】
设正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O。
1. 由正方形性质可知：AC⊥BD，对角线长度$AC=\sqrt{2}AB$，已知AB=3，因此$AC=3\sqrt{2}$，且$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
2. 由题意，以A为圆心、AC为半径画弧，因此半径$AM=AN=AC=3\sqrt{2}$。
3. 因为$AO⊥ MN$，根据垂径定理可得$MO=ON$。在$Rt△ AOM$中，由勾股定理得：
$MO=\sqrt{AM^2-AO^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2-(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{18-\frac{9}{2}}=\sqrt{\frac{27}{2}}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$
因此$MN=2MO=3\sqrt{6}$。
4. 计算△AMN的周长：$C_{△ AMN}=AM+AN+MN=3\sqrt{2}+3\sqrt{2}+3\sqrt{6}=6\sqrt{2}+3\sqrt{6}$。
【答案】
$6\sqrt{2}+3\sqrt{6}$
【知识点】
正方形的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，将正方形性质和圆的垂径定理、勾股定理结合考查，解题的关键是准确找到正方形对角线与圆的半径、弦的位置和数量关系，再逐步计算未知线段长度。
【难度系数】
0.65
9.如图，C为弧AB的中点，OA⊥CD于点M，CN⊥BD于N，且BD为⊙O的直径。若ON=2，则CD长为
$4\sqrt{3}$
。答案
9. $4\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发推导弧的等量关系：首先由C是弧AB中点可得弧AC=弧BC，再结合OA⊥CD，利用垂径定理可得弧AD=弧AC，因此三段弧$\overset{\frown}{AD}$、$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{BC}$相等；结合BD是直径对应180°的半圆，可求出每段弧对应60°，进而得到特殊圆心角$∠ BOC=60°$、$∠ COD=120°$；之后在Rt△OCN中利用60°角的三角函数求出圆的半径，最后在等腰△OCD中结合垂径定理求出CD的长度。
【解析】
设⊙O的半径为$r$。
1. 因为C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
2. 因为$OA⊥ CD$，OA是⊙O的半径，根据垂径定理可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}$。
3. 因此$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，又BD是⊙O的直径，$\overset{\frown}{BD}=180°$，故$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}=60°$，可得$∠ BOC=60°$，$∠ COD=60°+60°=120°$。
4. 因为$CN⊥ BD$，所以△OCN是直角三角形，在$Rt△ OCN$中，$∠ CON=60°$，$ON=2$，由$\cos∠ CON=\frac{ON}{OC}$得：
$\cos60°=\frac{2}{r}$，即$\frac{1}{2}=\frac{2}{r}$，解得$r=4$，即$OC=OD=4$。
5. 因为$OA⊥ CD$，由垂径定理得$CD=2CM$，在$Rt△ OCM$中，$∠ OCM=\frac{180°-120°}{2}=30°$，因此：
$CM=OC·\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，故$CD=2CM=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，圆心角与弧的关系，解直角三角形
【点评】
本题是圆的性质和直角三角形计算结合的典型题型，解题的核心是通过弧的等量关系推导出特殊圆心角，再结合垂径定理和特殊角的三角函数值完成计算，能很好地考查对圆基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件出发推导弧的等量关系：首先由C是弧AB中点可得弧AC=弧BC，再结合OA⊥CD，利用垂径定理可得弧AD=弧AC，因此三段弧$\overset{\frown}{AD}$、$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{BC}$相等；结合BD是直径对应180°的半圆，可求出每段弧对应60°，进而得到特殊圆心角$∠ BOC=60°$、$∠ COD=120°$；之后在Rt△OCN中利用60°角的三角函数求出圆的半径，最后在等腰△OCD中结合垂径定理求出CD的长度。
【解析】
设⊙O的半径为$r$。
1. 因为C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
2. 因为$OA⊥ CD$，OA是⊙O的半径，根据垂径定理可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}$。
3. 因此$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，又BD是⊙O的直径，$\overset{\frown}{BD}=180°$，故$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}=60°$，可得$∠ BOC=60°$，$∠ COD=60°+60°=120°$。
4. 因为$CN⊥ BD$，所以△OCN是直角三角形，在$Rt△ OCN$中，$∠ CON=60°$，$ON=2$，由$\cos∠ CON=\frac{ON}{OC}$得：
$\cos60°=\frac{2}{r}$，即$\frac{1}{2}=\frac{2}{r}$，解得$r=4$，即$OC=OD=4$。
5. 因为$OA⊥ CD$，由垂径定理得$CD=2CM$，在$Rt△ OCM$中，$∠ OCM=\frac{180°-120°}{2}=30°$，因此：
$CM=OC·\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，故$CD=2CM=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，圆心角与弧的关系，解直角三角形
【点评】
本题是圆的性质和直角三角形计算结合的典型题型，解题的核心是通过弧的等量关系推导出特殊圆心角，再结合垂径定理和特殊角的三角函数值完成计算，能很好地考查对圆基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
10. 如图，在$\odot O$中，弦$AD$，$BC$相交于点$E$，连结$OE$，已知$AD=BC$，$AD ⊥ CB$。
(1)求证：$AB=CD$。
(2)如果$\odot O$的半径为5，$DE=1$，求$AE$的长。
(1)求证：$AB=CD$。
(2)如果$\odot O$的半径为5，$DE=1$，求$AE$的长。
答案
10. (1)如图,$\because AD=BC,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC},\therefore \overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{BD}$,即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore AB=CD$
(2)如图,过O作$OF⊥AD$于点F,作$OG⊥BC$于点G,连结OA,OC,则$AF=FD,BG=CG$。
$\because AD = BC, \therefore AF = CG$。在 Rt $△ AOF$ 与 Rt$△ COG$ 中, $\begin{cases} AF=CG, \\ OA=OC, \end{cases}$ $\therefore$ Rt $△ AOF ≌$ Rt$△ COG(HL),\therefore OF=OG,\therefore$ 四边形 OFEG 是正方形,$\therefore OF=EF$。设 $OF=EF=x$,则 $AF=FD=x+1$,在直角$△ OAF$ 中,由勾股定理得 $x^2+(x+1)^2=5^2$,解得 $x=3$,则 $AF=3+1=4$,即 $AE=AF+3=7$。
解析
【分析】
(1)要证明圆内两条弦相等，可先证明两条弦对应的弧相等。已知AD=BC，根据同圆中相等的弦所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，两条弧同时减去公共的$\overset{\frown}{BD}$，即可得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，再根据等弧对等弦即可证得AB=CD。
(2)要求AE的长，结合已知条件，可利用垂径定理，过圆心O分别作AD、BC的垂线，得到两条弦的中点；再由AD=BC可推导出两条弦的弦心距相等，结合AD⊥CB的条件，可证得弦心距与弦交点构成的四边形是正方形，得到弦心距和EF的长度关系，设未知数后结合勾股定理列方程求解，即可得到AF的长度，进而求出AE的长。
【解析】
(1)证明：
∵在同圆中，相等的弦所对的弧相等，AD=BC，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{BD}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
又
∵同圆中等弧对等弦，
∴AB=CD。
(2)解：过O作$OF⊥AD$于点F，作$OG⊥BC$于点G，连结OA、OC。
根据垂径定理得：$AF=FD=\frac{1}{2}AD$，$BG=CG=\frac{1}{2}BC$。
∵AD=BC，
∴AF=CG。
在Rt△AOF和Rt△COG中，
$\begin{cases} AF=CG \\ OA=OC \end{cases}$
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF=OG。
∵AD⊥CB，$OF⊥AD$，$OG⊥BC$，
∴四边形OFEG是矩形，
又
∵OF=OG，
∴矩形OFEG是正方形，
∴OF=EF。
设$OF=EF=x$，
∵FD=EF+DE，DE=1，
∴$AF=FD=x+1$，
在Rt△OAF中，由勾股定理得：$OA^2=OF^2+AF^2$，
代入OA=5得：$x^2+(x+1)^2=5^2$，
整理得$x^2+x-12=0$，解得$x=3$（负根舍去），
∴$AF=3+1=4$，$EF=3$，
∴$AE=AF+EF=4+3=7$。
【答案】
10. (1)如图,$\because AD=BC,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC},\therefore \overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{BD}$,即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore AB=CD$
(2)如图,过O作$OF⊥AD$于点F,作$OG⊥BC$于点G,连结OA,OC,则$AF=FD,BG=CG$。
$\because AD = BC, \therefore AF = CG$。在 Rt $△ AOF$ 与 Rt$△ COG$ 中, $\begin{cases} AF=CG, \\ OA=OC, \end{cases}$ $\therefore$ Rt $△ AOF ≌$ Rt$△ COG(HL),\therefore OF=OG,\therefore$ 四边形 OFEG 是正方形,$\therefore OF=EF$。设 $OF=EF=x$,则 $AF=FD=x+1$,在直角$△ OAF$ 中,由勾股定理得 $x^2+(x+1)^2=5^2$,解得 $x=3$,则 $AF=3+1=4$,即 $AE=AF+3=7$。
【知识点】
弧弦的关系，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题第一问较为基础，主要考查同圆中弦与弧的等量转化；第二问综合性较强，需要结合垂径定理、全等三角形判定、正方形性质以及勾股定理求解，解题关键是正确作出辅助线，构造直角三角形和特殊四边形。
【难度系数】
0.6
(1)要证明圆内两条弦相等，可先证明两条弦对应的弧相等。已知AD=BC，根据同圆中相等的弦所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，两条弧同时减去公共的$\overset{\frown}{BD}$，即可得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，再根据等弧对等弦即可证得AB=CD。
(2)要求AE的长，结合已知条件，可利用垂径定理，过圆心O分别作AD、BC的垂线，得到两条弦的中点；再由AD=BC可推导出两条弦的弦心距相等，结合AD⊥CB的条件，可证得弦心距与弦交点构成的四边形是正方形，得到弦心距和EF的长度关系，设未知数后结合勾股定理列方程求解，即可得到AF的长度，进而求出AE的长。
【解析】
(1)证明：
∵在同圆中，相等的弦所对的弧相等，AD=BC，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{BD}$，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
又
∵同圆中等弧对等弦，
∴AB=CD。
(2)解：过O作$OF⊥AD$于点F，作$OG⊥BC$于点G，连结OA、OC。
根据垂径定理得：$AF=FD=\frac{1}{2}AD$，$BG=CG=\frac{1}{2}BC$。
∵AD=BC，
∴AF=CG。
在Rt△AOF和Rt△COG中，
$\begin{cases} AF=CG \\ OA=OC \end{cases}$
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF=OG。
∵AD⊥CB，$OF⊥AD$，$OG⊥BC$，
∴四边形OFEG是矩形，
又
∵OF=OG，
∴矩形OFEG是正方形，
∴OF=EF。
设$OF=EF=x$，
∵FD=EF+DE，DE=1，
∴$AF=FD=x+1$，
在Rt△OAF中，由勾股定理得：$OA^2=OF^2+AF^2$，
代入OA=5得：$x^2+(x+1)^2=5^2$，
整理得$x^2+x-12=0$，解得$x=3$（负根舍去），
∴$AF=3+1=4$，$EF=3$，
∴$AE=AF+EF=4+3=7$。
【答案】
10. (1)如图,$\because AD=BC,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC},\therefore \overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}-\overset{\frown}{BD}$,即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore AB=CD$
(2)如图,过O作$OF⊥AD$于点F,作$OG⊥BC$于点G,连结OA,OC,则$AF=FD,BG=CG$。
$\because AD = BC, \therefore AF = CG$。在 Rt $△ AOF$ 与 Rt$△ COG$ 中, $\begin{cases} AF=CG, \\ OA=OC, \end{cases}$ $\therefore$ Rt $△ AOF ≌$ Rt$△ COG(HL),\therefore OF=OG,\therefore$ 四边形 OFEG 是正方形,$\therefore OF=EF$。设 $OF=EF=x$,则 $AF=FD=x+1$,在直角$△ OAF$ 中,由勾股定理得 $x^2+(x+1)^2=5^2$,解得 $x=3$,则 $AF=3+1=4$,即 $AE=AF+3=7$。
【知识点】
弧弦的关系，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题第一问较为基础，主要考查同圆中弦与弧的等量转化；第二问综合性较强，需要结合垂径定理、全等三角形判定、正方形性质以及勾股定理求解，解题关键是正确作出辅助线，构造直角三角形和特殊四边形。
【难度系数】
0.6
