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7.如图，$\odot O$的直径AB与弦DE交于点C，且$CD=CO$。若弧AD的度数为$40°$，则弧AE的度数为（
A.$50°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$85°$
B
）A.$50°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$85°$
答案
7. B
解析
【分析】
解题时先将弧的度数转化为对应圆心角的度数，再结合等腰三角形的性质、三角形角度计算规律求出弧AE对应的圆心角度数即可。具体思路：①由弧AD的度数得到其对应圆心角∠AOD的度数；②利用CD=CO的等腰三角形性质求出∠D的大小；③根据同圆半径相等得到OD=OE，推出∠E=∠D；④结合三角形外角性质和内角和定理求出弧AE对应的圆心角∠AOE的度数，即可得到弧AE的度数。
【解析】
解：连接OD、OE。
1.
∵弧AD的度数为40°，弧的度数等于它所对圆心角的度数，
∴∠AOD=40°。
2.
∵CD=CO，
∴△CDO为等腰三角形，∠D=∠COD=∠AOD=40°。
3.
∵OD、OE均为⊙O的半径，
∴OD=OE，△ODE为等腰三角形，
∴∠E=∠D=40°。
4.
∵∠OCE是△OCD的外角，
∴∠OCE=∠D+∠COD=40°+40°=80°。
5. 在△OCE中，由三角形内角和为180°可得：
∠COE=180°-∠OCE-∠E=180°-80°-40°=60°，即∠AOE=60°。
6.
∴弧AE的度数等于其所对圆心角∠AOE的度数，为60°。
【答案】
B
【知识点】
圆心角与弧的关系，等腰三角形的性质，三角形角度计算
【点评】
本题将圆的性质与三角形角度计算结合考查，解题的关键是明确弧的度数与对应圆心角度数相等，合理添加辅助线构造等腰三角形和圆心角即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先将弧的度数转化为对应圆心角的度数，再结合等腰三角形的性质、三角形角度计算规律求出弧AE对应的圆心角度数即可。具体思路：①由弧AD的度数得到其对应圆心角∠AOD的度数；②利用CD=CO的等腰三角形性质求出∠D的大小；③根据同圆半径相等得到OD=OE，推出∠E=∠D；④结合三角形外角性质和内角和定理求出弧AE对应的圆心角∠AOE的度数，即可得到弧AE的度数。
【解析】
解：连接OD、OE。
1.
∵弧AD的度数为40°，弧的度数等于它所对圆心角的度数，
∴∠AOD=40°。
2.
∵CD=CO，
∴△CDO为等腰三角形，∠D=∠COD=∠AOD=40°。
3.
∵OD、OE均为⊙O的半径，
∴OD=OE，△ODE为等腰三角形，
∴∠E=∠D=40°。
4.
∵∠OCE是△OCD的外角，
∴∠OCE=∠D+∠COD=40°+40°=80°。
5. 在△OCE中，由三角形内角和为180°可得：
∠COE=180°-∠OCE-∠E=180°-80°-40°=60°，即∠AOE=60°。
6.
∴弧AE的度数等于其所对圆心角∠AOE的度数，为60°。
【答案】
B
【知识点】
圆心角与弧的关系，等腰三角形的性质，三角形角度计算
【点评】
本题将圆的性质与三角形角度计算结合考查，解题的关键是明确弧的度数与对应圆心角度数相等，合理添加辅助线构造等腰三角形和圆心角即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8.如图，在$\odot O$中，AB是弦，C是弧AB上一点。若$∠ OAB=25°$，$∠ OCA=40°$，则$∠ BOC$的度数为
$30°$
。答案
8. $30°$
解析
【分析】
首先明确圆的半径处处相等，可得OA=OB=OC，因此△OAB、△OAC均为等腰三角形。已知两个底角的度数，可根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理分别求出圆心角∠AOB和∠AOC的度数，最后用∠AOB减去∠AOC即可得到∠BOC的度数。
【解析】
∵ OA、OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OB=OC。
在△OAB中，OA=OB，∠OAB=25°，
∴ ∠OBA=∠OAB=25°，
∴ ∠AOB=180° - ∠OAB - ∠OBA=180° - 25° - 25°=130°。
在△OAC中，OA=OC，∠OCA=40°，
∴ ∠OAC=∠OCA=40°，
∴ ∠AOC=180° - ∠OAC - ∠OCA=180° - 40° - 40°=100°。
∴ ∠BOC=∠AOB - ∠AOC=130° - 100°=30°。
【答案】
30°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题的核心是利用圆半径相等得到等腰三角形，再结合三角形内角和公式求出对应圆心角的度数，只要理清各角度之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先明确圆的半径处处相等，可得OA=OB=OC，因此△OAB、△OAC均为等腰三角形。已知两个底角的度数，可根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理分别求出圆心角∠AOB和∠AOC的度数，最后用∠AOB减去∠AOC即可得到∠BOC的度数。
【解析】
∵ OA、OB、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OB=OC。
在△OAB中，OA=OB，∠OAB=25°，
∴ ∠OBA=∠OAB=25°，
∴ ∠AOB=180° - ∠OAB - ∠OBA=180° - 25° - 25°=130°。
在△OAC中，OA=OC，∠OCA=40°，
∴ ∠OAC=∠OCA=40°，
∴ ∠AOC=180° - ∠OAC - ∠OCA=180° - 40° - 40°=100°。
∴ ∠BOC=∠AOB - ∠AOC=130° - 100°=30°。
【答案】
30°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题的核心是利用圆半径相等得到等腰三角形，再结合三角形内角和公式求出对应圆心角的度数，只要理清各角度之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9.如图,在$5×5$正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,则$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角为
(第9题)
90
°。 (第9题)答案
9. 90
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，首先需要确定圆弧所在圆的圆心。根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，因此我们可以分别作出弦AB、弦BC的垂直平分线，两条线的交点就是圆心；再连接圆心与A、C两点，两条半径的夹角就是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，结合网格特征计算该角度即可。
【解析】
1. 作弦AB的垂直平分线：AB是水平线段，其垂直平分线为过AB中点的竖直线；
2. 作弦BC的垂直平分线：找到BC的中点，结合BC的倾斜方向作出其垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆弧的圆心O；
3. 连接OA、OC，观察网格可得OA与OC互相垂直，因此$∠ AOC=90°$，即$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角为$90°$。
【答案】
90
【知识点】
垂径定理的应用；圆心角的定义；垂直平分线的性质
【点评】
本题结合正方形网格考查圆弧圆心的确定和圆心角的计算，解题的核心是利用垂径定理找到圆心，对网格观察能力和基础几何作图能力有一定要求，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
要计算$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，首先需要确定圆弧所在圆的圆心。根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，因此我们可以分别作出弦AB、弦BC的垂直平分线，两条线的交点就是圆心；再连接圆心与A、C两点，两条半径的夹角就是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，结合网格特征计算该角度即可。
【解析】
1. 作弦AB的垂直平分线：AB是水平线段，其垂直平分线为过AB中点的竖直线；
2. 作弦BC的垂直平分线：找到BC的中点，结合BC的倾斜方向作出其垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆弧的圆心O；
3. 连接OA、OC，观察网格可得OA与OC互相垂直，因此$∠ AOC=90°$，即$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角为$90°$。
【答案】
90
【知识点】
垂径定理的应用；圆心角的定义；垂直平分线的性质
【点评】
本题结合正方形网格考查圆弧圆心的确定和圆心角的计算，解题的核心是利用垂径定理找到圆心，对网格观察能力和基础几何作图能力有一定要求，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
10. 如图，CD是⊙O的直径，AC，AB，BD是⊙O的弦，AB//CD。
(1)求证：AC=BD。
(2)如果弦AB的长为8，AB与CD间的距离是3，求CD的长。
(1)求证：AC=BD。
(2)如果弦AB的长为8，AB与CD间的距离是3，求CD的长。
答案
10. (1)如图,作$OF⊥ AB$交于点F,延长OF交圆O于E点。$\because CD$是$\odot O$的直径,$AB// CD$,$\therefore \overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DE}$,$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$,$\therefore \overset{\frown}{CE}-\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}-\overset{\frown}{BE}$,即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,$\therefore AC=BD$
(2)$\because OF⊥ AB$,则$FA=\frac{1}{2}BA=4$。$\because AB// CD$,$AB$与$CD$间的距离是3,即$OF=3$,$\therefore OA=\sqrt{FA^2+FO^2}=\sqrt{16+9}=5$,$\therefore OC=OD=OA=5$,$\therefore CD=OC+OD=10$，配图见
解析
【分析】
(1)要证明弦AC=BD，根据同圆中等弧对等弦的性质，只需证明弧AC=弧BD即可。我们可以过圆心作AB的垂线，结合垂径定理和平行线的性质，利用弧的和差关系推导得到弧AC与弧BD相等。
(2)求直径CD的长，先求圆的半径即可。由垂径定理可得到AB一半的长度，AB与CD的距离就是圆心到AB的垂线段长度，在直角三角形中利用勾股定理即可求出半径，进而得到直径长度。
【解析】
(1)证明：作$OF⊥AB$交于点F，延长OF交$\odot O$于E点。
∵CD是$\odot O$的直径，直径平分圆，
∴$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DE}$。
∵$AB// CD$，$OF⊥AB$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$。
∴$\overset{\frown}{CE}-\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}-\overset{\frown}{BE}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
∵同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴$AC=BD$。
(2)解：
∵$OF⊥AB$，由垂径定理得F是AB的中点，
∴$FA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
∵$AB// CD$，AB与CD间的距离是3，即两平行线的垂线段长为3，
∴$OF=3$。
在$Rt△ OFA$中，由勾股定理得：$OA=\sqrt{FA^2+OF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵OA是$\odot O$的半径，
∴直径$CD=2OA=2×5=10$。
【答案】
(1)如图,作$OF⊥ AB$交于点F,延长OF交圆O于E点。$\because CD$是$\odot O$的直径,$AB// CD$,$\therefore \overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DE}$,$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$,$\therefore \overset{\frown}{CE}-\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}-\overset{\frown}{BE}$,即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,$\therefore AC=BD$
(2)$\because OF⊥ AB$,则$FA=\frac{1}{2}BA=4$。$\because AB// CD$,$AB$与$CD$间的距离是3,即$OF=3$,$\therefore OA=\sqrt{FA^2+FO^2}=\sqrt{16+9}=5$,$\therefore OC=OD=OA=5$,$\therefore CD=OC+OD=10$，配图见
【知识点】
垂径定理，弧弦关系，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础应用题，核心是考察垂径定理的应用，通过作过圆心垂直于弦的辅助线，就能快速得到弧、线段的等量关系，再结合勾股定理即可求解，掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1)要证明弦AC=BD，根据同圆中等弧对等弦的性质，只需证明弧AC=弧BD即可。我们可以过圆心作AB的垂线，结合垂径定理和平行线的性质，利用弧的和差关系推导得到弧AC与弧BD相等。
(2)求直径CD的长，先求圆的半径即可。由垂径定理可得到AB一半的长度，AB与CD的距离就是圆心到AB的垂线段长度，在直角三角形中利用勾股定理即可求出半径，进而得到直径长度。
【解析】
(1)证明：作$OF⊥AB$交于点F，延长OF交$\odot O$于E点。
∵CD是$\odot O$的直径，直径平分圆，
∴$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DE}$。
∵$AB// CD$，$OF⊥AB$，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，
∴$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$。
∴$\overset{\frown}{CE}-\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}-\overset{\frown}{BE}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
∵同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴$AC=BD$。
(2)解：
∵$OF⊥AB$，由垂径定理得F是AB的中点，
∴$FA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$。
∵$AB// CD$，AB与CD间的距离是3，即两平行线的垂线段长为3，
∴$OF=3$。
在$Rt△ OFA$中，由勾股定理得：$OA=\sqrt{FA^2+OF^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵OA是$\odot O$的半径，
∴直径$CD=2OA=2×5=10$。
【答案】
(1)如图,作$OF⊥ AB$交于点F,延长OF交圆O于E点。$\because CD$是$\odot O$的直径,$AB// CD$,$\therefore \overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DE}$,$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$,$\therefore \overset{\frown}{CE}-\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}-\overset{\frown}{BE}$,即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$,$\therefore AC=BD$
(2)$\because OF⊥ AB$,则$FA=\frac{1}{2}BA=4$。$\because AB// CD$,$AB$与$CD$间的距离是3,即$OF=3$,$\therefore OA=\sqrt{FA^2+FO^2}=\sqrt{16+9}=5$,$\therefore OC=OD=OA=5$,$\therefore CD=OC+OD=10$，配图见
【知识点】
垂径定理，弧弦关系，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础应用题，核心是考察垂径定理的应用，通过作过圆心垂直于弦的辅助线，就能快速得到弧、线段的等量关系，再结合勾股定理即可求解，掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
11. 如图,为了鼓励消费,某商场设置一个可以自由转动的转盘。规定:顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品。下表是活动进行中的一组统计数据:
则转盘中“饮料”区域中$\overset{\frown}{AB}$的度数近似是（
A.$120°$
B.$108°$
C.$102°$
D.$90°$
则转盘中“饮料”区域中$\overset{\frown}{AB}$的度数近似是（
B
）A.$120°$
B.$108°$
C.$102°$
D.$90°$
答案
11. B
解析
【分析】
要解决本题，可按两步思考：第一步，利用频率估计概率的原理，根据活动统计的大量试验数据，找到指针落在“饮料”区域的频率稳定值，该值即为指针指向“饮料”区域的概率；第二步，结合整个转盘的总圆心角为360°，用总圆心角乘以所求概率，即可得到“饮料”区域对应$\overset{\frown}{AB}$的度数。
【解析】
由统计数据可知，随着转动转盘次数的增多，指针落在“饮料”区域的频率逐渐稳定在0.3附近，因此估计指针指向“饮料”区域的概率为0.3。
因为整个转盘的圆心角为$360°$，所以$\overset{\frown}{AB}$的度数为：
$360° × 0.3 = 108°$
【答案】
B
【知识点】
频率估计概率；圆心角计算
【点评】
本题结合生活中的促销活动场景，将概率统计与圆的相关知识融合考查，解题核心是掌握大量重复试验下频率可估计概率的规律，再结合圆心角的基本性质计算即可，整体逻辑清晰，贴合实际应用。
【难度系数】
0.7
要解决本题，可按两步思考：第一步，利用频率估计概率的原理，根据活动统计的大量试验数据，找到指针落在“饮料”区域的频率稳定值，该值即为指针指向“饮料”区域的概率；第二步，结合整个转盘的总圆心角为360°，用总圆心角乘以所求概率，即可得到“饮料”区域对应$\overset{\frown}{AB}$的度数。
【解析】
由统计数据可知，随着转动转盘次数的增多，指针落在“饮料”区域的频率逐渐稳定在0.3附近，因此估计指针指向“饮料”区域的概率为0.3。
因为整个转盘的圆心角为$360°$，所以$\overset{\frown}{AB}$的度数为：
$360° × 0.3 = 108°$
【答案】
B
【知识点】
频率估计概率；圆心角计算
【点评】
本题结合生活中的促销活动场景，将概率统计与圆的相关知识融合考查，解题核心是掌握大量重复试验下频率可估计概率的规律，再结合圆心角的基本性质计算即可，整体逻辑清晰，贴合实际应用。
【难度系数】
0.7
