6. 如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们的位似中心的坐标是 （）


A.(0,0)
B.(2,1)
C.(4,2)
D.(5,0)

6. C

【分析】
要确定位似图形的位似中心，依据位似图形的性质：位似中心是所有对应顶点连线的公共交点。解题时首先明确两个三角形各顶点的坐标，选取两组对应顶点，分别求出对应顶点连线的解析式，联立解析式求解得到的交点就是位似中心，也可以直接在网格中延长两组对应点的连线找交点。
【解析】
首先确定两个三角形的顶点坐标：
$△ ABC$的顶点：$A(2,1)$，$B(3,3)$，$C(2,3)$；
$△ ODE$的顶点：$O(0,0)$，$D(2,4)$，$E(0,4)$。
1. 求直线$OA$的解析式：设解析式为$y=kx$，将$A(2,1)$代入得$1=2k$，解得$k=\frac{1}{2}$，因此直线$OA$的解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
2. 求直线$EC$的解析式：设解析式为$y=mx+b$，将$E(0,4)$、$C(2,3)$代入，可得$b=4$，$3=2m+4$，解得$m=-\frac{1}{2}$，因此直线$EC$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$。
3. 联立两个解析式求解交点：
$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x\\y=-\frac{1}{2}x+4\end{cases}$
将第一个式子代入第二个式子，得$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{2}x+4$，解得$x=4$，代入$y=\frac{1}{2}x$得$y=2$，即交点坐标为$(4,2)$。
验证可得点$(4,2)$也在对应点$B$、$D$的连线上，因此该点就是位似中心。
【答案】
C
【知识点】
位似图形的性质，待定系数法求一次函数解析式，直线交点的计算
【点评】
本题核心考查位似中心的确定方法，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，也可直接通过画图延长对应点连线的方式快速找到交点，属于基础类的位似图形应用题。
【难度系数】
0.7

7. 如图,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形,O为位似中心。若$AA'=2A'O$,则下列结论错误的是（）


A.$∠ABC=∠A'B'C'$
B.$BC// B'C'$
C.$DD'=2D'O$
D.$BC=2B'C'$

7. D

【分析】
本题考查位似图形的相关性质，解题思路如下：首先明确位似图形是特殊的相似图形，既具备相似图形的所有性质，还有自身特殊性质：对应点连线经过位似中心、对应边平行（或共线）、位似中心到两个对应点的距离之比等于相似比。首先根据已知$AA'=2A'O$推导位似比，再结合性质逐一判断选项即可，注意不要误把$AA':A'O$当成位似比。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE与五边形$A'B'C'D'E'$是位似图形，O为位似中心
∴两个五边形相似，对应点连线过O，对应边平行，位似中心到对应点的距离比等于相似比。
由图可知$A'$在线段OA上，已知$AA'=2A'O$，因此$OA=OA'+AA'=OA'+2OA'=3OA'$，即位似比$OA:OA'=3:1$。
选项A：位似图形属于相似图形，对应角相等，因此$∠ABC=∠A'B'C'$，结论正确；
选项B：位似图形的对应边互相平行，因此$BC// B'C'$，结论正确；
选项C：同理可得$OD:OD'=3:1$，即$OD=3OD'$，因此$DD'=OD-OD'=2OD'$，即$DD'=2D'O$，结论正确；
选项D：相似图形对应边的比等于相似比，因此$BC:B'C'=3:1$，即$BC=3B'C'$，不是$BC=2B'C'$，结论错误。
综上，本题选错误结论，答案为D。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质，相似图形的性质
【点评】
本题是位似图形的基础考查题，易错点是容易误将$AA'$与$A'O$的比值当成位似比，解题时要先明确位似比是位似中心到两个对应点的距离之比，再结合性质推导即可。
【难度系数】
0.7

8. 如图所示，矩形$ABCD$，$A'B'C'D'$是以点$O$为位似中心的位似图形，已知$OA:OA'=5:2$，$AD=10$，则$B'C'$的长是。

8. 4

【分析】
要解决这道题，首先回忆位似图形的相关性质：位似图形是特殊的相似图形，对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比），对应边的比也等于相似比。首先，矩形ABCD中AD和BC是对边，长度相等，先得到BC的长度；其次，两个矩形位似，B'C'的对应边是BC，结合已知的OA:OA'的比值得到相似比，最后利用对应边成比例列等式计算B'C'的长度即可。
【解析】
解：
∵ 矩形ABCD和矩形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，
∴ 位似比为 $OA:OA' = 5:2$，且对应边成比例，即 $\frac{BC}{B'C'} = \frac{OA}{OA'} = \frac{5}{2}$。
又
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $BC = AD = 10$。
将$BC=10$代入比例式得：$\frac{10}{B'C'} = \frac{5}{2}$，
解得 $B'C' = 4$。
【答案】
4
【知识点】
位似图形的性质；矩形的性质
【点评】
本题是基础应用题，解题的核心是抓住位似图形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，再结合矩形对边相等的性质代入计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8

9.《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆。”度方知圆，感悟数学之美。如图，正方形ABCD的周长为4，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形$A_1B_1C_1D_1$，已知$AB:A_1B_1=1:2$，作四边形$A_1B_1C_1D_1$的外接圆，则此外接圆的半径为。

9. $\sqrt{2}$

【分析】
解题思路可分三步展开：第一步，先根据正方形ABCD的周长求出其边长；第二步，利用位似图形对应边成比例的性质，结合已知的位似比求出位似后正方形$A_1B_1C_1D_1$的边长；第三步，明确正方形的外接圆直径等于正方形的对角线长，求出大正方形的对角线长度后除以2即可得到外接圆半径。
【解析】
1. 求正方形ABCD的边长：
已知正方形ABCD周长为4，正方形四边相等，因此边长$AB = 4÷4 = 1$。
2. 求正方形$A_1B_1C_1D_1$的边长：
两个正方形是位似图形，位似比$AB:A_1B_1=1:2$，因此$A_1B_1 = 2× AB = 2×1=2$。
3. 求外接圆半径：
正方形的外接圆直径等于正方形的对角线长度，正方形对角线长=边长×$\sqrt{2}$，因此正方形$A_1B_1C_1D_1$的对角线长为$2×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
外接圆半径为对角线长度的一半，即$r = 2\sqrt{2}÷2 = \sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
1. 位似图形性质
2. 正方形的性质
3. 外接圆半径计算
【点评】
本题是基础综合题，将位似、正方形性质和圆的特征结合考查，解题的核心是找准位似比，明确正方形外接圆半径与正方形对角线的关系，整体计算量小。
【难度系数】
0.7

10. 本题旨在证明位似的三角形一定相似，且相似比等于位似比。
如图，$△ FEG$与$△ BCD$位似，点A为它们的位似中心。A，F，B共线，A，E，C共线，A，G，D共线。
(1)若位似比$\frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{AG}{AD}=\frac{1}{2}$，
求证：$EF // BC$，并求$\frac{EF}{BC}$的值。
(2)若$\frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{AG}{AD}=k$，求证：$△ FEG ∼ △ BCD$，且相似比
为k。

10. (1)$\because \frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC},∠ FAE=∠ BAC,\therefore △ AFE ∽ △ ABC,\therefore ∠ AEF=∠ ACB,\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AB}=\frac{1}{2}$,$\therefore EF// BC$
(2)由(1)同理可得$\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AB},\frac{EG}{AG}=\frac{AG}{AD},\frac{FG}{BD}=\frac{AF}{AB},\therefore \frac{EF}{BC}=\frac{EG}{CD}=\frac{FG}{BD}=\frac{AF}{AB}=k,\therefore △ FEG ∽ △ BCD$

【分析】
(1) 要证$EF// BC$，可通过证明同位角相等实现：已知$\frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}$，且$∠ FAE$和$∠ BAC$为公共角，可先利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明$△ AFE ∽ △ ABC$，再借助相似三角形的性质得到对应角相等、对应边成比例，即可证得平行并求出$\frac{EF}{BC}$的比值。
(2) 要证$△ FEG ∽ △ BCD$且相似比为$k$，可参照(1)的思路，分别证明两个三角形的三组对应边的比值都等于$k$，再根据“三边对应成比例的两个三角形相似”即可得证，对应边的比值$k$就是两个三角形的相似比。
【解析】
(1) 证明：$\because \frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，且$∠ FAE=∠ BAC$（公共角相等），
$\therefore △ AFE ∽ △ ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ AEF=∠ ACB$，$\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AB}=\frac{1}{2}$（相似三角形对应角相等，对应边成比例），
$\therefore EF// BC$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 证明：由(1)的推导方法同理可得：
$\frac{EF}{BC}=\frac{AF}{AB}=k$，$\frac{EG}{CD}=\frac{AG}{AD}=k$，$\frac{FG}{BD}=\frac{AF}{AB}=k$，
$\therefore \frac{EF}{BC}=\frac{EG}{CD}=\frac{FG}{BD}=k$，
$\therefore △ FEG ∽ △ BCD$（三边对应成比例的两个三角形相似），相似比为$k$。
【答案】
(1) $EF// BC$得证，$\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$；
(2) $△ FEG ∽ △ BCD$得证，相似比为$k$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；位似的性质
【点评】
本题考查位似与相似的联系，解题时利用位似给出的边的比例关系，结合相似三角形的判定定理逐步推导，既验证了位似三角形的性质，也巩固了相似的判定方法，是帮助理解位似与相似关联的典型基础题。
【难度系数】
0.7