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例2 在代数式 $2a^2b, 3xy - 2y^2, \frac{a^2 + b^2}{2}, 4, -m, \frac{x + yz}{2x}, \frac{ab - c^2}{π}$ 中，多项式有
（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
[点拨] 代数式 $3xy - 2y^2, \frac{a^2 + b^2}{2}$ 是多项式；代数式 $\frac{x + yz}{2x}$ 中，分母含有字母，不是数与字母的积；代数式 $\frac{ab - c^2}{π}$ 中，$π$ 是数，可化成 $\frac{ab}{π} - \frac{c^2}{π}$。
[答案] B
（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
[点拨] 代数式 $3xy - 2y^2, \frac{a^2 + b^2}{2}$ 是多项式；代数式 $\frac{x + yz}{2x}$ 中，分母含有字母，不是数与字母的积；代数式 $\frac{ab - c^2}{π}$ 中，$π$ 是数，可化成 $\frac{ab}{π} - \frac{c^2}{π}$。
[答案] B
答案
B
解析
根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式，逐个判断代数式：
1. $2a^2b$是单项式；
2. $3xy - 2y^2$是多项式；
3. $\frac{a^2 + b^2}{2}$可变形为$\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}$，是多项式；
4. $4$是单项式；
5. $-m$是单项式；
6. $\frac{x+yz}{2x}$分母含有字母，不是整式，不属于多项式；
7. $\frac{ab - c^2}{π}$中$π$是常数，可变形为$\frac{ab}{π}-\frac{c^2}{π}$，是多项式。
综上，多项式共有3个。
1. $2a^2b$是单项式；
2. $3xy - 2y^2$是多项式；
3. $\frac{a^2 + b^2}{2}$可变形为$\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}$，是多项式；
4. $4$是单项式；
5. $-m$是单项式；
6. $\frac{x+yz}{2x}$分母含有字母，不是整式，不属于多项式；
7. $\frac{ab - c^2}{π}$中$π$是常数，可变形为$\frac{ab}{π}-\frac{c^2}{π}$，是多项式。
综上，多项式共有3个。
| 变式训练2 | 下列多项式分别有几项？各项分别是什么？
(1)$x^3 - x + 1$；
(2)$x^3 - 2x^2y^2 + 3y^2$；
(3)$a^3 - a^2b + ab^2 - b^3$。
(1)$x^3 - x + 1$；
(2)$x^3 - 2x^2y^2 + 3y^2$；
(3)$a^3 - a^2b + ab^2 - b^3$。
答案
(1)有三项,各项分别是$x^3,-x,1$。
(2)有三项,各项分别是$x^3,-2x^2y^2,3y^2$。
(3)有四项,各项分别是$a^3,-a^2b,ab^2,-b^3$。
(2)有三项,各项分别是$x^3,-2x^2y^2,3y^2$。
(3)有四项,各项分别是$a^3,-a^2b,ab^2,-b^3$。
1.若单项式$-\dfrac{2}{3}x^2y$的系数是$m$，次数是$n$，则$mn$的值为 （
A.$-2$
B.$-6$
C.$-4$
D.$-\dfrac{4}{3}$
A
）A.$-2$
B.$-6$
C.$-4$
D.$-\dfrac{4}{3}$
答案
A
2. 下列说法正确的是（
A.单项式$\frac{π x^2 y}{4}$的系数是$\frac{1}{4}$，次数是4
B.单项式$m$的次数是1，系数为0
C.多项式$2x^2 + xy^2 + 3$是二次三项式
D.在$\frac{1}{x}, 2x + y, \frac{1}{3}a^2, \frac{x - y}{3}, \frac{5y}{4x}, 0$中，整式有4个
D
）A.单项式$\frac{π x^2 y}{4}$的系数是$\frac{1}{4}$，次数是4
B.单项式$m$的次数是1，系数为0
C.多项式$2x^2 + xy^2 + 3$是二次三项式
D.在$\frac{1}{x}, 2x + y, \frac{1}{3}a^2, \frac{x - y}{3}, \frac{5y}{4x}, 0$中，整式有4个
答案
D
3.观察单项式：$-2a,4a^{2},-8a^{3},16a^{4},···$。按此规律，第$n$个单项式是（
A.$2^{n}a^{n}$
B.$na^{n}$
C.$2na^{n}$
D.$(-2)^{n}a^{n}$
D
）A.$2^{n}a^{n}$
B.$na^{n}$
C.$2na^{n}$
D.$(-2)^{n}a^{n}$
答案
D
4.已知单项式$-x^{2m-1}y^2$的次数是5，则m的值是
2
。答案
2
5. 代数式 $ ab - \frac{3}{5}π xy - \frac{1}{8}x^3y^3 $ 的项分别是
$ab,-\frac{3}{5}πxy,-\frac{1}{8}x^3y^3$
，其中 $ -\frac{3}{5}π xy $ 的系数是$-\frac{3π}{5}$
。答案
项分别是$ab,-\frac{3}{5}πxy,-\frac{1}{8}x^3y^3$，$-\frac{3}{5}πxy$的系数是$-\frac{3π}{5}$
6.多项式$-8a^4 + a - 2a^2 - 4a^3$降幂排列后，第二项为
$-4a^3$
。答案
$-4a^3$
7. 把下列代数式填到相应的集合中：
$3 - xy, -3x^2 + \frac{1}{2}, -\frac{xy^2}{2}, 3\frac{1}{2}, -\frac{1}{x}, x^3, \frac{1}{8}x^3 - a^2x^2 + x, x + y + z, \frac{100}{x} - 3$。
单项式集合：$\{ \dots \}$。
多项式集合：$\{ \dots \}$。
$3 - xy, -3x^2 + \frac{1}{2}, -\frac{xy^2}{2}, 3\frac{1}{2}, -\frac{1}{x}, x^3, \frac{1}{8}x^3 - a^2x^2 + x, x + y + z, \frac{100}{x} - 3$。
单项式集合：$\{ \dots \}$。
多项式集合：$\{ \dots \}$。
答案
单项式集合：$\{ -\frac{xy^2}{2},3\frac{1}{2},x^3 \dots \}$。
多项式集合：$\{ 3-xy,-3x^2+\frac{1}{2},\frac{1}{8}x^3-a^2x^2+x,x+y+z \dots \}$。
多项式集合：$\{ 3-xy,-3x^2+\frac{1}{2},\frac{1}{8}x^3-a^2x^2+x,x+y+z \dots \}$。
