1. 计算$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{256}$。

解：设$S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256}$，则$2S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128}$。
$2S - S = 1 - \frac{1}{256}$
$S = \frac{255}{256}$
结论：$\frac{255}{256}$

2. 下面是用棋子摆出的图形,摆第1个图形需要用3枚棋子,摆第2个图形需要用6枚棋子,摆第3个图形需要用10枚棋子。照这样继续摆下去,摆第8个图形需要用()枚棋子,摆第12个图形需要用()枚棋子。

45，91

通过观察，第1个图形棋子数：3=1+2，第2个：6=1+2+3，第3个：10=1+2+3+4，可得出第n个图形棋子数为从1加到(n+1)的和。利用等差数列求和公式，和为(首项+末项)×项数÷2，即第n个图形棋子数=(1+(n+1))×(n+1)÷2=(n+1)(n+2)/2。
第8个图形：n=8，(8+1)(8+2)/2=9×10/2=45；
第12个图形：n=12，(12+1)(12+2)/2=13×14/2=91。

3. 选择。(把正确答案的序号填在括号里。)
(1)根据下图中三角形个数的规律,第6个图形中有()个三角形。

① 15
② 18
③ 21
(2)李大伯录入一篇1200字的文章,他4分钟录入这篇文章的$\frac{1}{3}$,休息4分钟后,接着录入8分钟,把文章全部录入。下面图()可以描述李大伯录入这篇文章的情况。

(1)③ (2)①

(1)观察图形规律，第1个图形有6个三角形，第2个有9个，第3个有12个，规律为第n个图形有3(n+1)个三角形。第6个图形：3×(6+1)=21。
(2)李大伯4分钟录入1200×1/3=400字，休息4分钟字数不变，接着8分钟录入剩余800字。对应图像为0-4分钟上升到400，4-8分钟水平，8-16分钟上升到1200，即图①。

4. 观察算式,寻找规律并填得数。
$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}= \frac{4}{9}$
$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}= \frac{13}{27}$
$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}= $()
$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}= $()
$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\frac{1}{729}= $()

$\frac{40}{81}$，$\frac{121}{243}$，$\frac{364}{729}$

观察前两个算式，发现规律：结果的分母是最后一个加数的分母，分子是分母减1的差除以2。
$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}$，最后一个加数分母为81，分子为$(81 - 1)÷2 = 40$，结果为$\frac{40}{81}$；
$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}$，最后一个加数分母为243，分子为$(243 - 1)÷2 = 121$，结果为$\frac{121}{243}$；
$\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\frac{1}{729}$，最后一个加数分母为729，分子为$(729 - 1)÷2 = 364$，结果为$\frac{364}{729}$。