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直角三角形
(1)符号:直角三角形ABC可以写成.
(2)性质:直角三角形的两个锐角.
(3)判定:有两个角的三角形是直角三角形.
(1)符号:直角三角形ABC可以写成.
(2)性质:直角三角形的两个锐角.
(3)判定:有两个角的三角形是直角三角形.
答案
(1) $Rt \triangle ABC$
(2) 互余
(3) 互余
(2) 互余
(3) 互余
解析
(1) 根据直角三角形的表示方法，当$\angle C = 90°$时，直角三角形$ABC$可以表示为$Rt \triangle ABC$。
(2) 直角三角形中，除了一个直角外，还有两个锐角。这两个锐角的和为$90°$，因此它们互余。
(3) 如果一个三角形中有两个角的和为$90°$（即互余），则第三个角必然为$90°$，因此该三角形为直角三角形。
(2) 直角三角形中，除了一个直角外，还有两个锐角。这两个锐角的和为$90°$，因此它们互余。
(3) 如果一个三角形中有两个角的和为$90°$（即互余），则第三个角必然为$90°$，因此该三角形为直角三角形。
【例1】如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E.若∠BDE = 56°,则∠DAE的度数为().
A.23°
B.28°
C.52°
D.56°
A.23°
B.28°
C.52°
D.56°
答案
B
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$AD$平分$\angle CAB$，$DE\perp AB$于点$E$，
所以，$ \angle CAD = \angle DAE$，
因为$DE\perp AB$，$\angle BDE=56°$，
在$Rt\triangle BDE$中，$\angle B=90°-56°=34°$，
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，
所以$\angle CAB=90°-\angle B=90°-34°=56°$，
因为$AD$平分$\angle CAB$，
所以$\angle DAE=\frac{1}{2}\angle CAB=\frac{1}{2}×56°=28°$。
所以，正确答案是 B 选项。
所以，$ \angle CAD = \angle DAE$，
因为$DE\perp AB$，$\angle BDE=56°$，
在$Rt\triangle BDE$中，$\angle B=90°-56°=34°$，
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，
所以$\angle CAB=90°-\angle B=90°-34°=56°$，
因为$AD$平分$\angle CAB$，
所以$\angle DAE=\frac{1}{2}\angle CAB=\frac{1}{2}×56°=28°$。
所以，正确答案是 B 选项。
【变式1】如图,AD⊥BC于点D,BE是△ABC的角平分线,BE,AD相交于点F. 若∠BAD = 44°,则∠BFD = .
答案
67
解析
∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°。
∵∠BAD=44°，∠ADB=90°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=180°-44°-90°=46°。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBD=∠ABD/2=46°/2=23°。
在△BFD中，∠BFD=180°-∠FBD-∠ADB=180°-23°-90°=67°。
【例2】下列条件:①∠A:∠B:∠C = 1:2:3;②∠A = ∠B = 2∠C;③∠A + ∠B = ∠C;④∠A = $\frac{1}{2}$∠B = $\frac{1}{3}$∠C.其中能确定△ABC为直角三角形的有().
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
B
解析
①设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，x+2x+3x=180°，解得x=30°，∠C=90°，是直角三角形；②设∠C=x，则∠A=∠B=2x，2x+2x+x=180°，解得x=36°，∠A=∠B=72°，不是直角三角形；③∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则2∠C=180°，∠C=90°，是直角三角形；④设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，x+2x+3x=180°，解得x=30°，∠C=90°，是直角三角形。能确定为直角三角形的有①③④，共3个。
【变式2】如图,CD//AB,∠A = 35°,∠DCB = 55°,则△ABC的形状为().
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
答案
C
解析
因为$CD// AB$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle A=\angle ACD = 35^{\circ}$。
已知$\angle DCB = 55^{\circ}$，则$\angle ACB=\angle ACD+\angle DCB = 35^{\circ}+55^{\circ}=90^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，有一个角为$90^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
已知$\angle DCB = 55^{\circ}$，则$\angle ACB=\angle ACD+\angle DCB = 35^{\circ}+55^{\circ}=90^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，有一个角为$90^{\circ}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
1. 在△ABC中,若∠B与∠C互余,则△ABC是().
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
B
解析
在$\bigtriangleup ABC$中，因为$\angle B$与$\angle C$互余，所以$\angle B + \angle C = 90^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle A=180^{\circ}-(\angle B + \angle C)=180^{\circ}- 90^{\circ}=90^{\circ}$。
有一个角为$90^{\circ}$的三角形是直角三角形，所以$\bigtriangleup ABC$是直角三角形。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle A=180^{\circ}-(\angle B + \angle C)=180^{\circ}- 90^{\circ}=90^{\circ}$。
有一个角为$90^{\circ}$的三角形是直角三角形，所以$\bigtriangleup ABC$是直角三角形。
2. 在Rt△ABC中,已知∠ACB是直角,∠B = 55°,则∠A的度数是().
A.55°
B.45°
C.35°
D.25°
A.55°
B.45°
C.35°
D.25°
答案
C
解析
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，根据直角三角形两锐角互余，∠A=90°-∠B=90°-55°=35°。
3. 在Rt△ABC中,∠B = 90°,∠A = 2∠C,则∠C的度数为.
答案
30°
解析
在Rt△ABC中，∠B=90°，则∠A+∠C=90°。因为∠A=2∠C，所以2∠C+∠C=90°，3∠C=90°，∠C=30°。
4. 如图,∠B = ∠C,DE⊥BC于点E,EF⊥AB于点F. 若∠ADE = 145°,则∠FED = .
答案
55
解析
∵∠ADE=145°，且∠ADE+∠EDC=180°（平角定义），
∴∠EDC=180°-145°=35°.
∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°（垂直定义）.
在Rt△DEC中，∠C+∠EDC=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠C=90°-35°=55°.
∵∠B=∠C，∴∠B=55°.
∵EF⊥AB，∴∠EFB=90°（垂直定义）.
在Rt△EFB中，∠B+∠BEF=90°（直角三角形两锐角互余），
∴∠BEF=90°-55°=35°.
∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°（垂直定义）.
∵∠DEB=∠FED+∠BEF，
∴∠FED=∠DEB-∠BEF=90°-35°=55°.
5. 如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,E是边AB上一点(不与点A,B重合),CE交AD于点M,且∠DCM = ∠MAE.求证:△AEM是直角三角形.
答案
证明：
由于 $AD$ 是 $BC$ 上的高，
所以，$\angle ADC = 90°$。
根据直角三角形的性质，$\angle DCM + \angle CMD = 90°$。
已知 $\angle DCM = \angle MAE$，
代入上式可得$\angle MAE + \angle CMD = 90°$。
由于 $\angle CMD$ 与 $\angle AME$ 为对顶角，
所以，$\angle CMD = \angle AME$，
代入上式可得$\angle MAE + \angle AME = 90°$。
在 $\triangle AEM$ 中，由于 $\angle MAE + \angle AME + \angle AEM = 180°$，
所以，$\angle AEM = 180° - (\angle MAE + \angle AME) = 180° - 90° = 90°$。
因此，$\triangle AEM$ 是直角三角形。
由于 $AD$ 是 $BC$ 上的高，
所以，$\angle ADC = 90°$。
根据直角三角形的性质，$\angle DCM + \angle CMD = 90°$。
已知 $\angle DCM = \angle MAE$，
代入上式可得$\angle MAE + \angle CMD = 90°$。
由于 $\angle CMD$ 与 $\angle AME$ 为对顶角，
所以，$\angle CMD = \angle AME$，
代入上式可得$\angle MAE + \angle AME = 90°$。
在 $\triangle AEM$ 中，由于 $\angle MAE + \angle AME + \angle AEM = 180°$，
所以，$\angle AEM = 180° - (\angle MAE + \angle AME) = 180° - 90° = 90°$。
因此，$\triangle AEM$ 是直角三角形。
