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4. 如图,一根长25m的梯子,斜靠在一竖直的墙上,这时梯子的底端距离墙底端7m。如果梯子的顶端下滑4m,那么梯子的底端将向右滑动(
A.15m
B.9m
C.7m
D.8m
D
)。A.15m
B.9m
C.7m
D.8m
答案
D
解析
解：梯子未滑动时，梯子、墙、地面构成直角三角形，梯子长为斜边。
由勾股定理得，梯子顶端距离墙底端的高度为：$\sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24\ m$。
梯子顶端下滑4m后，顶端距离墙底端的高度为：$24 - 4 = 20\ m$。
此时梯子底端距离墙底端的距离为：$\sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15\ m$。
梯子底端向右滑动的距离为：$15 - 7 = 8\ m$。
D
由勾股定理得，梯子顶端距离墙底端的高度为：$\sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24\ m$。
梯子顶端下滑4m后，顶端距离墙底端的高度为：$24 - 4 = 20\ m$。
此时梯子底端距离墙底端的距离为：$\sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15\ m$。
梯子底端向右滑动的距离为：$15 - 7 = 8\ m$。
D
5. 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AB= AC= 13cm,BC= 10cm,图中阴影部分面积之和为多少？
答案
30 cm²
解析
∵AB=AC=13cm，AD是BC边上的高，BC=10cm，
∴BD=DC=5cm，∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$cm，
S△ABC=$\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×10×12=60$cm²，
由图形对称性可知，阴影部分面积之和为△ABC面积的一半，
即阴影部分面积之和=$\frac{1}{2}×60=30$cm²。
30 cm²
6. 已知某消防车的云梯最大能伸长25米,在一次救援中,消防车云梯DC伸到最长25米时,它的底部与建筑物之间的水平距离OD= 24米,云梯底部与地面MN的距离DE= 2米。
(1) 求此时云梯顶端C离地面MN的高度为多少米；
(2) 若云梯顶端需要伸到距离地面17米的A处,则消防车需要向建筑物方向移动多少米到达B处？
(1) 求此时云梯顶端C离地面MN的高度为多少米；
(2) 若云梯顶端需要伸到距离地面17米的A处,则消防车需要向建筑物方向移动多少米到达B处？
答案
解：（1）因为OD=24米，CD=25米，AO⊥OD，
所以OC²=CD² - OD²=25² - 24²=49，
所以OC=7米。
因为云梯底部与地面MN的距离DE=2米，
所以OF=DE=2米，
CF=OC+OF=7+2=9(米)。
所以云梯顶端C离地面MN的高度为9米。
（2）因为云梯顶端需要伸到距离地面17米的A处，
所以OA=AF - OF=17 - 2=15(米)。
因为OB²=AB² - OA²=25² - 15²=400，
所以OB=20米。
所以BD=OD - OB=24 - 20=4(米)。
所以消防车需要向建筑物方向移动4米到达B处。
所以OC²=CD² - OD²=25² - 24²=49，
所以OC=7米。
因为云梯底部与地面MN的距离DE=2米，
所以OF=DE=2米，
CF=OC+OF=7+2=9(米)。
所以云梯顶端C离地面MN的高度为9米。
（2）因为云梯顶端需要伸到距离地面17米的A处，
所以OA=AF - OF=17 - 2=15(米)。
因为OB²=AB² - OA²=25² - 15²=400，
所以OB=20米。
所以BD=OD - OB=24 - 20=4(米)。
所以消防车需要向建筑物方向移动4米到达B处。
7. 如图所示,一根长90cm的灯管上缠满了彩色丝带。已知可近似地将灯管看作圆柱体,它的底面周长为4cm,彩色丝带均匀地缠绕了30圈。这条丝带全长多少厘米？
答案
150 cm
解析
灯管长度为 $90\,cm$，丝带缠绕$30$圈，每圈高度为 $90÷30 = 3\,cm$。
将每圈丝带展开，形成直角三角形，底面周长$4\,cm$为一直角边，每圈高度$3\,cm$为另一直角边。
根据勾股定理，每圈丝带长度为 $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5\,cm$。
丝带全长为 $5×30 = 150\,cm$。
150
将每圈丝带展开，形成直角三角形，底面周长$4\,cm$为一直角边，每圈高度$3\,cm$为另一直角边。
根据勾股定理，每圈丝带长度为 $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5\,cm$。
丝带全长为 $5×30 = 150\,cm$。
150
8. 如图,点A,B是直线l同侧的两点,且点A,B到l的距离分别为4.5,10.5,且垂足点C,D间的距离为8。若点P是l上的一点,求PA+PB的最小值。
答案
解：如图，作点A关于l的对称点A'，则A'C=4.5，连接A'B，交l于点P，此时PA + PB最小。
过点A'作l的平行线，交BD的延长线于点E。
因为A'E=CD=8，DE=A'C=4.5，BE=BD + DE=10.5 + 4.5=15，
所以A'B²=A'E²+BE²=8²+15²=17²，
所以A'B=17，即PA+PB=17。
故PA+PB的最小值是17。
