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例 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 15$,$AC = 13$,$BC = 4$,求$BC边上的高AD$的长。
[解答] 设$CD = x$。在$Rt\triangle ABD和Rt\triangle ACD$中,
由$AB^{2}-BD^{2}= AC^{2}-CD^{2}$可得,$15^{2}-(4 + x)^{2}= 13^{2}-x^{2}$,
解得$x = 5$,即$CD = 5$。
所以$AD^{2}= AC^{2}-CD^{2}= 13^{2}-5^{2}= 144$,即$AD = 12$。
[解答] 设$CD = x$。在$Rt\triangle ABD和Rt\triangle ACD$中,
由$AB^{2}-BD^{2}= AC^{2}-CD^{2}$可得,$15^{2}-(4 + x)^{2}= 13^{2}-x^{2}$,
解得$x = 5$,即$CD = 5$。
所以$AD^{2}= AC^{2}-CD^{2}= 13^{2}-5^{2}= 144$,即$AD = 12$。
答案
设 $CD = x$，则 $BD = BC + CD = 4 + x$（在$Rt\triangle ABD$中$BD$为直角边外的一段，因此高$AD$对应的底为$BD$在$B$到$D$的延长线上，这里假设$C$在$B、D$之间）。
在$Rt \triangle ABD$和$Rt \triangle ACD$中，根据勾股定理，有：
$AB^{2} - BD^{2} = AD^{2}$。
$AC^{2} - CD^{2} = AD^{2}$。
代入已知数值，得：
$15^{2} - (4 + x)^{2} = AD^{2}$。
$13^{2} - x^{2} = AD^{2}$。
将两个等式联立，得：
$15^{2} - (4 + x)^{2} = 13^{2} - x^{2}$。
$225 - (16 + 8x + x^{2}) = 169 - x^{2}$。
$225 - 16 - 8x - x^{2} = 169 - x^{2}$。
$209 - 8x = 169$。
$8x = 40$。
$x = 5$。
所以，$CD = 5$。
接下来，利用勾股定理求出$AD$的长度：
$AD^{2} = AC^{2} - CD^{2}$。
$AD^{2} = 13^{2} - 5^{2}$。
$AD^{2} = 169 - 25$。
$AD^{2} = 144$。
$AD = 12$（负值舍去，因为长度不能为负）。
所以，$BC$边上的高$AD$的长度为$12$。
在$Rt \triangle ABD$和$Rt \triangle ACD$中，根据勾股定理，有：
$AB^{2} - BD^{2} = AD^{2}$。
$AC^{2} - CD^{2} = AD^{2}$。
代入已知数值，得：
$15^{2} - (4 + x)^{2} = AD^{2}$。
$13^{2} - x^{2} = AD^{2}$。
将两个等式联立，得：
$15^{2} - (4 + x)^{2} = 13^{2} - x^{2}$。
$225 - (16 + 8x + x^{2}) = 169 - x^{2}$。
$225 - 16 - 8x - x^{2} = 169 - x^{2}$。
$209 - 8x = 169$。
$8x = 40$。
$x = 5$。
所以，$CD = 5$。
接下来，利用勾股定理求出$AD$的长度：
$AD^{2} = AC^{2} - CD^{2}$。
$AD^{2} = 13^{2} - 5^{2}$。
$AD^{2} = 169 - 25$。
$AD^{2} = 144$。
$AD = 12$（负值舍去，因为长度不能为负）。
所以，$BC$边上的高$AD$的长度为$12$。
1. 如图,直线$l上有三个正方形a$,$b$,$c$,若$a$,$c的面积分别为5和11$,则$b$的面积为(
A.$4$
B.$6$
C.$16$
D.$55$
C
)。A.$4$
B.$6$
C.$16$
D.$55$
答案
C
解析
设正方形$a$的边长为$m$，正方形$c$的边长为$n$，正方形$b$的边长为$k$。
因为正方形$a$的面积为$5$，所以$m^2 = 5$；正方形$c$的面积为$11$，所以$n^2 = 11$。
由图形可知，正方形$b$的一边与正方形$a$、$c$的边构成直角三角形，其中正方形$b$的边长为斜边，正方形$a$、$c$的边长为两直角边。
根据勾股定理可得：$k^2 = m^2 + n^2$。
将$m^2 = 5$，$n^2 = 11$代入上式，得$k^2 = 5 + 11 = 16$，即正方形$b$的面积为$16$。
C
因为正方形$a$的面积为$5$，所以$m^2 = 5$；正方形$c$的面积为$11$，所以$n^2 = 11$。
由图形可知，正方形$b$的一边与正方形$a$、$c$的边构成直角三角形，其中正方形$b$的边长为斜边，正方形$a$、$c$的边长为两直角边。
根据勾股定理可得：$k^2 = m^2 + n^2$。
将$m^2 = 5$，$n^2 = 11$代入上式，得$k^2 = 5 + 11 = 16$，即正方形$b$的面积为$16$。
C
2. 如图,在离水面高度为$8$米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子$BC的长为17$米,几分钟后船到达点$D$的位置,此时绳子$CD的长为10$米,则船向岸边移动了
9
米。答案
9
解析
在直角三角形$ABC$中，$AC = 8$米，$BC = 17$米，由勾股定理得：$AB=\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{289 - 64}=\sqrt{225}=15$米。
在直角三角形$ADC$中，$AC = 8$米，$CD = 10$米，由勾股定理得：$AD=\sqrt{CD^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$米。
船移动的距离为：$AB - AD=15 - 6=9$米。
9
在直角三角形$ADC$中，$AC = 8$米，$CD = 10$米，由勾股定理得：$AD=\sqrt{CD^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$米。
船移动的距离为：$AB - AD=15 - 6=9$米。
9
3. 在$\triangle ABC$中,$AB = 15$ $cm$,$AC = 20$ $cm$,高$AD = 12$ $cm$,则$BC$的长为
25cm或7cm
。答案
25cm或7cm
解析
在$Rt\triangle ABD$中，$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=9\ cm$
在$Rt\triangle ACD$中，$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16\ cm$
当高$AD$在$\triangle ABC$内部时，$BC=BD+CD=9+16=25\ cm$
当高$AD$在$\triangle ABC$外部时，$BC=CD-BD=16-9=7\ cm$
$25\ cm$或$7\ cm$
在$Rt\triangle ACD$中，$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}}=16\ cm$
当高$AD$在$\triangle ABC$内部时，$BC=BD+CD=9+16=25\ cm$
当高$AD$在$\triangle ABC$外部时，$BC=CD-BD=16-9=7\ cm$
$25\ cm$或$7\ cm$
4. 在平静的湖面上有一枝红莲,高出水面$1$ $m$,一阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面。已知红莲移动的水平距离为$2$ $m$,求水深。
答案
1.5m
解析
设水深为$x$米，则红莲的高为$(x + 1)$米。
根据勾股定理，得$x^2 + 2^2=(x + 1)^2$。
展开方程右边：$x^2 + 4=x^2 + 2x + 1$。
移项化简：$2x=3$。
解得$x = \frac{3}{2}=1.5$。
1.5m
根据勾股定理，得$x^2 + 2^2=(x + 1)^2$。
展开方程右边：$x^2 + 4=x^2 + 2x + 1$。
移项化简：$2x=3$。
解得$x = \frac{3}{2}=1.5$。
1.5m
