8. 如图，反比例函数 $ y = \dfrac{1}{x} (x ＞ 0) $ 的图象上有一动点 $ B $，点 $ A $ 是 $ x $ 轴上一个定点。在点 $ B $ 的横坐标逐渐变大的过程中，$ △ OAB $ 的面积()

A.不变
B.逐渐变大
C.逐渐变小
D.无法判断

8. C

解：设点$ B $的坐标为$(m, \dfrac{1}{m})$（$m ＞ 0$），点$ A $的坐标为$(a, 0)$（$a$为常数且$a ＞ 0$）。
$△ OAB$的面积$S = \dfrac{1}{2} × OA × |y_B| = \dfrac{1}{2} × a × \dfrac{1}{m} = \dfrac{a}{2m}$。
当点$ B $的横坐标$ m $逐渐变大时，$\dfrac{a}{2m}$逐渐变小，即$△ OAB$的面积逐渐变小。
C

9. 若双曲线 $ y = \dfrac{k}{x} $ 与直线 $ y = mx + n $ 交于 $ A(2,a) (a ＞ 0) $，$ B(-3,n) (n ＜ 0) $ 两点，则不等式 $ \dfrac{k}{x} ＜ mx + n $ 的解集是()

A.无法确定
B.$ x ＞ 2 $ 或 $ x ＜ -3 $
C.$ -3 ＜ x ＜ 2 $
D.$ x ＞ 2 $ 或 $ -3 ＜ x ＜ 0 $

9. D

∵点$B(-3,n)$在直线$y = mx + n$上，
$\therefore n = m×(-3)+n$，
$\therefore -3m = 0$，解得$m = 0$。
又$n＜0$，则直线为$y = n$（$n＜0$）。
点$A(2,a)$（$a＞0$）在双曲线$y=\dfrac{k}{x}$上，$\therefore k = 2a＞0$，双曲线在第一、三象限。
不等式$\dfrac{k}{x}＜ mx + n$即$\dfrac{k}{x}＜ n$（$n＜0$）。
当$x＞0$时，$\dfrac{k}{x}＞0$，$n＜0$，$\dfrac{k}{x}＜ n$无解；
当$x＜0$时，$\dfrac{k}{x}＜ n$，$k＞0$，$n＜0$，两边同乘$x$（$x＜0$，不等号变向）得$k＞ nx$，$x＞\dfrac{k}{n}$。
又点$B(-3,n)$在双曲线上，$n=\dfrac{k}{-3}$，$\dfrac{k}{n}=-3$，$\therefore x＞ - 3$。
综上，$-3＜ x＜0$。
又当$x＞2$时，由图像可知双曲线在直线下方，$\dfrac{k}{x}＜ mx + n$成立。
$\therefore$解集为$x＞2$或$-3＜ x＜0$。
D

10. 如图，正方形 $ ABCD $ 的顶点分别在反比例函数 $ y = \dfrac{k_1}{x} (k_1 ＞ 0) $ 和 $ y = \dfrac{k_2}{x} (k_2 ＞ 0) $ 的图象上。若 $ BD // y $ 轴，点 $ D $ 的横坐标为 $ 3 $，则 $ k_1 + k_2 $ 的值是()

A.$ 36 $
B.$ 18 $
C.$ 12 $
D.$ 9 $

10. B

解：
∵BD//y轴，点D的横坐标为3，
∴设D(3, m)，B(3, n)，其中m ＜ n。
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，且BD = AC。
∴AC//x轴，设A(a, (m+n)/2)，C(b, (m+n)/2)，
且BD = n - m，AC = a - b，a - b = n - m。
∵点A、B在y = k₁/x上，点C、D在y = k₂/x上，
∴k₁ = 3n = a·(m+n)/2，
k₂ = 3m = b·(m+n)/2。
两式相减：3(n - m) = (a - b)·(m+n)/2，
∵a - b = n - m，
∴3(n - m) = (n - m)·(m+n)/2，
∵n ＞ m，n - m ≠ 0，
∴3 = (m+n)/2，即m + n = 6。
∴k₁ + k₂ = 3n + 3m = 3(m + n) = 3×6 = 18。
18

二、填空题
11. 反比例函数 $ y = \dfrac{m}{x} $ 的图象经过点 $ A ( m,\dfrac{m}{8} ) $，则反比例函数的解析式为.

11. $ y = \frac { 8 } { x } $

解：因为反比例函数$ y = \dfrac{m}{x} $的图象经过点$ A ( m,\dfrac{m}{8} ) $，所以将点$ A $的坐标代入函数可得$\dfrac{m}{8} = \dfrac{m}{m}$，即$\dfrac{m}{8} = 1$，解得$m = 8$，则反比例函数的解析式为$ y = \dfrac{8}{x} $。

12. 如图，点 $ A $，$ B $ 是双曲线 $ y = \dfrac{3}{x} $ 上的点，分别经过 $ A $，$ B $ 两点向 $ x $ 轴、$ y $ 轴作垂线段，若 $ S_{\mathrm{阴影}} = 1 $，则 $ S_1 + S_2 = $.

12. 4

解：设点$A$的坐标为$(a,b)$，点$B$的坐标为$(c,d)$。
因为点$A$，$B$在双曲线$y = \dfrac{3}{x}$上，所以$ab = 3$，$cd = 3$。
经过$A$点向$x$轴、$y$轴作垂线段，形成的矩形面积为$ab = 3$，则$S_1 + S_{\mathrm{阴影}} = 3$。
经过$B$点向$x$轴、$y$轴作垂线段，形成的矩形面积为$cd = 3$，则$S_2 + S_{\mathrm{阴影}} = 3$。
已知$S_{\mathrm{阴影}} = 1$，所以$S_1 = 3 - 1 = 2$，$S_2 = 3 - 1 = 2$。
因此，$S_1 + S_2 = 2 + 2 = 4$。
4

13. 如图，已知 $ A(2,0) $，$ B(0,4) $，$ BC ⊥ AB $，连接 $ AC $ 交 $ y $ 轴于点 $ D $，且点 $ D $ 为 $ AC $ 的中点，双曲线 $ y = \dfrac{k}{x} $ 过点 $ C $，则 $ k = $.

13. $-6$

解：设点$C$的坐标为$(m,n)$。
因为点$D$为$AC$的中点，$A(2,0)$，所以点$D$的坐标为$(\dfrac{m + 2}{2},\dfrac{n + 0}{2})$。
又因为点$D$在$y$轴上，所以$\dfrac{m + 2}{2}=0$，解得$m=-2$。
已知$A(2,0)$，$B(0,4)$，所以$AB$的斜率为$\dfrac{4 - 0}{0 - 2}=-2$。
因为$BC⊥ AB$，所以$BC$的斜率为$\dfrac{1}{2}$（两垂直直线斜率之积为$-1$）。
$BC$的斜率为$\dfrac{n - 4}{m - 0}=\dfrac{n - 4}{-2}=\dfrac{1}{2}$，即$\dfrac{n - 4}{-2}=\dfrac{1}{2}$，解得$n=3$。
所以点$C$的坐标为$(-2,3)$，代入双曲线$y = \dfrac{k}{x}$，得$3=\dfrac{k}{-2}$，解得$k=-6$。
$-6$

14. 如图，点 $ A(m,2) $，$ B(5,n) $ 在双曲线 $ y = \dfrac{k}{x} (k ＞ 0,x ＞ 0) $ 上，将线段 $ AB $ 向上平移 $ 2 $ 个单位长度，点 $ A $，$ B $ 的对应点分别为点 $ A' $，$ B' $。若图中阴影部分的面积为 $ 6 $，则 $ k = $.

14. 4

解：
∵点$A(m,2)$，$B(5,n)$在双曲线$y = \dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$上，
$\therefore 2m = k$，$5n = k$，即$m=\dfrac{k}{2}$，$n=\dfrac{k}{5}$。
将线段$AB$向上平移$2$个单位长度，得$A'(\dfrac{k}{2},4)$，$B'(5,\dfrac{k}{5}+2)$。
阴影部分为平行四边形，底为$5 - \dfrac{k}{2}$，高为$2$，面积为$2(5 - \dfrac{k}{2})=6$。
解得$k = 4$。
$4$