【例3】 有8筐黄瓜，以每筐25 kg为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录(单位：kg)如下：1，4，2，－0.5，1，－2，－2，－2.5。
(1)这8筐黄瓜一共多少千克？
(2)如果每千克黄瓜能卖5元，这8筐黄瓜共能卖多少元？
总结 解决此类问题的关键是将实际问题转化为数学问题，然后进行运算。

解:(1)由题意，得$25×8+[1+4+2+(-0.5)+1+(-2)+(-2)+(-2.5)]=200+1=201(\mathrm{kg})$，
答:这8筐黄瓜一共201 kg.
(2)由题意，得$5×201=1005(\mathrm{元})$，
答:这8筐黄瓜共能卖1005元.

【分析】
对于问题(1)，解题思路可分为两步：第一步先计算8筐黄瓜按标准质量的总重量，第二步计算称重记录的偏差总和，将标准总重量加上偏差总和即可得到实际总重量，这种方法比逐筐计算重量再求和更简便。对于问题(2)，已知每千克的售价，直接用(1)中得到的实际总重量乘单价即可得到总销售额。
【解析】
(1) 先计算8筐的标准总质量：$25 × 8 = 200 \, \mathrm{kg}$
再计算偏差的总和：
$1+4+2+(-0.5)+1+(-2)+(-2)+(-2.5)$
$=(1+4+2+1)+(-0.5-2-2-2.5)$
$=8 - 7 = 1 \, \mathrm{kg}$
实际总质量为：$200 + 1 = 201 \, \mathrm{kg}$
答：这8筐黄瓜一共201 kg。
(2) 总销售额 = 总质量 × 单价，代入数据得：
$5 × 201 = 1005 \, \mathrm{元}$
答：这8筐黄瓜共能卖1005元。
【答案】
(1) 201 kg
(2) 1005 元
【知识点】
正负数的实际应用、有理数的加法运算、有理数的乘法运算
【点评】
本题是正负数在实际生活中的典型应用题，解题核心是将实际称重问题转化为有理数的加减运算问题，侧重考察运算的准确性，以及将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.9

● 跟踪练习3 某公路检测小组乘车沿一条东西向公路检测道路，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地，约定向东为正方向，当天汽车的行驶记录(单位:km)如下：
+8，-7，+2，-6，+1，-8，+11，-5，+8，-5.
假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶.
(1)B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？
(2)若所乘汽车行驶1 km耗油0.1 L，则这天汽车共耗油多少升？

解:(1)$(+8)+(-7)+(+2)+(-6)+(+1)+(-8)+(+11)+(-5)+(+8)+(-5)$
$=[(+8)+(+2)+(+1)+(+11)+(+8)]+[(-7)+(-6)+(-8)+(-5)+(-5)]$
$=(+30)+(-31)$
$=-1(\mathrm{km})$.
答:B地在A地的西边，它们相距1 km.
(2)$|+8|+|-7|+|+2|+|-6|+|+1|+|-8|+|+11|+|-5|+|+8|+|-5|$
$=8+7+2+6+1+8+11+5+8+5$
$=61(\mathrm{km})$,
$0.1×61=6.1(\mathrm{L})$.
答:这天汽车共耗油6.1 L.

【分析】
本题考查正负数在实际行程问题中的应用，解题思路如下：
(1) 要确定B地相对于A地的位置和距离，约定向东为正方向，因此将所有行驶记录的有理数相加，若结果为正，说明B在A的东边；若结果为负，说明B在A的西边，结果的绝对值就是两地的距离。
(2) 汽车耗油量仅和行驶的总路程有关，与行驶方向无关，因此需要先计算所有行驶记录的绝对值之和得到总路程，再乘以每千米的耗油量即可求出总耗油量。
【解析】
(1) 计算所有行驶记录的代数和：
$\begin{aligned}&(+8)+(-7)+(+2)+(-6)+(+1)+(-8)+(+11)+(-5)+(+8)+(-5)\\=&[(+8)+(+2)+(+1)+(+11)+(+8)]+[(-7)+(-6)+(-8)+(-5)+(-5)]\\=&(+30)+(-31)\\=&-1(\mathrm{km})\end{aligned}$
结果为负，说明B地在A地的西边，结果的绝对值1即为两地的距离。
(2) 先计算总行驶路程，即所有行驶记录的绝对值之和：
$\begin{aligned}&\vert+8\vert+\vert-7\vert+\vert+2\vert+\vert-6\vert+\vert+1\vert+\vert-8\vert+\vert+11\vert+\vert-5\vert+\vert+8\vert+\vert-5\vert\\=&8+7+2+6+1+8+11+5+8+5\\=&61(\mathrm{km})\end{aligned}$
总耗油量为：$0.1×61=6.1(\mathrm{L})$
【答案】
(1) B地在A地的西边，它们相距1千米；
(2) 这天汽车共耗油6.1升。
【知识点】
正负数的意义；有理数的加法；绝对值的应用
【点评】
本题结合生活中的行程场景，考查有理数相关基础知识点的应用，解题的核心是区分位移和路程的计算逻辑：求相对位置用有理数的代数和，求总路程用各数的绝对值之和，属于基础的应用型考题，易错点是计算总耗油量时忽略方向直接用代数和计算。
【难度系数】
0.8

1. 按照有理数加法法则，计算$15+(-23)$的正确变形是().

A.$+(23+15)$
B.$-(23+15)$
C.$+(23-15)$
D.$-(23-15)$

1. D

【分析】
要解这道题，首先回忆有理数异号两数相加的运算规则：绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值。解题时第一步先判断两个加数的符号，确定是异号相加；第二步比较两个数绝对值的大小，确定和的符号；第三步用大绝对值减小绝对值，就能得到正确的变形。
【解析】
首先计算两个加数的绝对值：$\vert15\vert=15$，$\vert-23\vert=23$，因为$23＞15$，根据异号两数相加的法则，和的符号取$-23$的符号即负号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，也就是$23-15$，因此$15+(-23)=-(23-15)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.有理数加法法则 2.绝对值运算
【点评】
本题考查有理数加法中异号两数相加的运算法则应用，解题核心是先定符号再算绝对值的差，属于基础题型，熟练掌握加法法则即可快速作答。
【难度系数】
0.8

2.如果两个数的和是正数，那么这两个数（）.

A.同为正数
B.至少有一个为正数
C.同为负数
D.至少有一个为负数

2. B

【分析】
解题时可先梳理两个有理数相加和为正数的所有可能情况，再结合选项逐一验证；也可以通过举反例排除错误选项，或者反向推导：如果两个数都没有正数，它们的和能不能是正数，进而判断正确选项。
【解析】
我们结合有理数加法法则逐一分析选项：
1. 分析选项A：若两个数为3和-1，和为3+(-1)=2是正数，但两个数不同为正数，因此A错误；
2. 分析选项B：如果两个数中没有正数，即两个数都是负数或0，那么它们的和一定小于等于0，不可能是正数，因此要使两个数的和为正数，必须至少有一个为正数，B正确；
3. 分析选项C：根据有理数加法法则，同号两数相加取相同的符号，同为负数的两个数相加和一定是负数，不可能是正数，因此C错误；
4. 分析选项D：若两个数为2和3，和为2+3=5是正数，但两个数都不是负数，因此D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 有理数加法法则
2. 分类讨论
【点评】
本题重点考查对有理数加法运算规律的理解，通过举反例排除错误选项是解决这类选择题的常用技巧，解题时注意不要漏考虑一正一负、正数加0的情况，避免误选。
【难度系数】
0.8

3.小磊解题时,将式子$(-\frac{1}{6})+(-7)+\frac{5}{6}+(-4)$先变成$[(-\frac{1}{6})+\frac{5}{6}]+[(-7)+(-4)]$,再计算结果,小磊运用了().

A.加法交换律
B.加法交换律和加法结合律
C.加法结合律
D.以上均不正确

3. B

【分析】
首先明确加法交换律和加法结合律的定义，再对比原式和变形后的式子判断用到的运算律：第一步先回忆运算律的特征：加法交换律的核心是交换加数的位置，和不变；加法结合律的核心是改变运算的先后顺序，给部分加数加括号优先计算，和不变。第二步观察式子变形过程，先看加数位置是否变化，再看运算顺序是否变化，即可判断用到的运算律。
【解析】
我们先明确两个加法运算律的内容：
1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即$a+b=b+a$；
2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即$(a+b)+c=a+(b+c)$。
对比原式和变形后的式子：
原式为$(-\frac{1}{6})+(-7)+\frac{5}{6}+(-4)$，变形后为$[(-\frac{1}{6})+\frac{5}{6}]+[(-7)+(-4)]$：
① 变形过程中$\frac{5}{6}$和$(-7)$的位置发生了交换，符合加法交换律的特征；
② 变形后给$(-\frac{1}{6})$与$\frac{5}{6}$、$(-7)$与$(-4)$分别加上括号优先计算，改变了运算顺序，符合加法结合律的特征。
因此小磊同时运用了加法交换律和加法结合律。
【答案】
B
【知识点】
加法交换律；加法结合律
【点评】
本题考查有理数加法运算律的识别，解题的关键是区分两个运算律的特征：交换律改变的是加数的位置，结合律改变的是运算的先后顺序，掌握特征就能快速判断。
【难度系数】
0.8

4.(1)绝对值大于1且小于4的所有整数的和为；
(2)如图，小明在写作业时不慎将墨水弄在数轴上了，根据图中的数据，可判断墨水盖住部分的所有整数的和是。

4. (1) 0 (2) -3

【分析】
(1) 先根据绝对值的定义，找出所有满足“绝对值大于1且小于4”的整数，注意不要遗漏负整数，再将这些整数相加即可得到结果。
(2) 先根据数轴上的已知刻度，确定左右两个被墨水盖住区间的范围，排除未被盖住的端点值，找出区间内所有整数，再将这些整数相加计算总和。
【解析】
(1) 解：满足绝对值大于1且小于4的整数为$\pm2$、$\pm3$，
将其求和：$2+(-2)+3+(-3)=0$。
(2) 解：观察数轴，左侧被墨水盖住的区间为$-5＜x＜-1$，区间内的整数是$-4$、$-3$、$-2$；
右侧被墨水盖住的区间为$0＜x＜4$，区间内的整数是$1$、$2$、$3$；
将所有盖住的整数求和：$(-4)+(-3)+(-2)+1+2+3=-3$。
【答案】
(1) 0；(2) -3

【知识点】
绝对值的概念；数轴的认识；有理数的加法
【点评】
本题是基础题型，解题的核心是不重不漏地找出符合条件的整数，尤其要注意负整数不要漏找，熟练掌握有理数加法法则即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

5.计算：
(1)$3+(-10)+7+(-12)+9$；
(2)$4.4+(-\frac{1}{3})+(-7)+(-3\frac{2}{3})+(-2.4)$。

5. 解:(1)原式$=(3+7+9)+[(-10)+(-12)]$
$=19+(-22)$
$=-3$；
(2)原式$=[4.4+(-2.4)]+[(-\frac{1}{3})+(-3\frac{2}{3})]+(-7)$
$=2+(-4)+(-7)$
$=-9$.

【分析】
这两道题均为有理数加法运算，可通过加法交换律、结合律简化计算：(1)观察式子可发现有3个正数、2个负数，我们可以先将所有正数归类结合、所有负数归类结合，分别计算和后再相加，减少符号运算出错的概率；(2)式子中包含小数、分数、整数，可优先将能凑整的小数结合、同分母的分数结合，再与剩余的整数相加，大幅降低计算难度。
【解析】
(1) 利用加法交换律和结合律，将正数、负数分别分组：
原式$=(3+7+9)+[(-10)+(-12)]$
先计算各组的和：$3+7+9=19$，$(-10)+(-12)=-22$
再计算最终结果：$=19+(-22)=-3$
(2) 利用加法交换律和结合律，将凑整的小数、同分母分数分别分组：
原式$=[4.4+(-2.4)]+[(-\frac{1}{3})+(-3\frac{2}{3})]+(-7)$
先计算各组的和：$4.4+(-2.4)=2$，$(-\frac{1}{3})+(-3\frac{2}{3})=-4$
再依次计算最终结果：$=2+(-4)+(-7)=-2-7=-9$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$；(2) $\boldsymbol{-9}$
【知识点】
有理数的加法运算；加法交换律；加法结合律
【点评】
本题重点考察有理数加法的简便运算技巧，解题时优先观察数的特征，将同号、同分母、能凑整的数通过加法运算律结合计算，既能提升运算效率，也能有效减少符号、计算类失误。
【难度系数】
0.8