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1. 反比例关系
典例1 下列说法错误的是(
A. 在$y=2x+1$中，$y-1$与$x$成正比例关系
B. 在$y=\frac{1}{x}+1$中，$y-1$与$x$成反比例关系
C. 若$\frac{y}{x}=3$，则$x,y$成正比例关系
D. 若$xy=0$，则$x,y$成反比例关系
举一反三 下列各选项中的两个量成反比例关系的是(
A. 圆的面积与它的半径
B. 正方形的周长与它的边长
C. 路程一定时，速度与时间
D. 长方形的一条边确定时，周长与另一边
典例1 下列说法错误的是(
D
).A. 在$y=2x+1$中，$y-1$与$x$成正比例关系
B. 在$y=\frac{1}{x}+1$中，$y-1$与$x$成反比例关系
C. 若$\frac{y}{x}=3$，则$x,y$成正比例关系
D. 若$xy=0$，则$x,y$成反比例关系
举一反三 下列各选项中的两个量成反比例关系的是(
C
).A. 圆的面积与它的半径
B. 正方形的周长与它的边长
C. 路程一定时，速度与时间
D. 长方形的一条边确定时，周长与另一边
答案
1. 典例1答案 D
举一反三答案 C
举一反三答案 C
解析
【分析】
解答这类题目核心是紧扣正比例、反比例的定义：1.两种量是相关联的变量，一个变化另一个也随之变化；2.若两个量的比值（商）为非零定值，则成正比例关系；若两个量的乘积为非零定值，则成反比例关系。解题时先对每个选项的表达式做变形，结合定义逐一判断即可。
【解析】
典例1分析
根据正、反比例定义逐一判断选项：
A. 对$y=2x+1$移项得$y-1=2x$，即$\frac{y-1}{x}=2$（2为非零定值），因此$y-1$与$x$成正比例关系，说法正确，不符合题意；
B. 对$y=\frac{1}{x}+1$移项得$y-1=\frac{1}{x}$，即$x·(y-1)=1$（1为非零定值），因此$y-1$与$x$成反比例关系，说法正确，不符合题意；
C. $\frac{y}{x}=3$（3为非零定值），符合正比例关系定义，说法正确，不符合题意；
D. $xy=0$，反比例关系要求乘积为非零定值，此处乘积为0，说明x、y至少有一个恒为0，不符合反比例定义，说法错误，符合题意。
举一反三分析
逐一判断各选项两个量的关系：
A. 圆的面积$S=π r^2$，$\frac{S}{r}=π r$（$r$为变量，比值不是定值），$S· r$也不是定值，因此不成反比例关系，不符合题意；
B. 正方形周长$C=4a$（$a$为边长），$\frac{C}{a}=4$（非零定值），二者成正比例关系，不符合题意；
C. 路程公式为$s=vt$，路程一定即$s$为非零定值，可得$v· t=s$（非零定值），因此速度和时间成反比例关系，符合题意；
D. 长方形周长$C=2(a+b)$，若边长$a$确定，整理得$C=2b+2a$，$C$与$b$的比值、乘积均不是定值，因此不成反比例关系，不符合题意。
【答案】
典例1答案：D；举一反三答案：C
【知识点】
正比例关系判定，反比例关系判定，常见数量关系
【点评】
本题组是正、反比例判定的基础题型，易错点在于忽略反比例关系中乘积必须为非零定值的要求，以及对常见几何、行程公式记忆不牢导致判断错误，熟练掌握定义和基础公式即可快速解答。
【难度系数】
0.7
解答这类题目核心是紧扣正比例、反比例的定义：1.两种量是相关联的变量，一个变化另一个也随之变化；2.若两个量的比值（商）为非零定值，则成正比例关系；若两个量的乘积为非零定值，则成反比例关系。解题时先对每个选项的表达式做变形，结合定义逐一判断即可。
【解析】
典例1分析
根据正、反比例定义逐一判断选项：
A. 对$y=2x+1$移项得$y-1=2x$，即$\frac{y-1}{x}=2$（2为非零定值），因此$y-1$与$x$成正比例关系，说法正确，不符合题意；
B. 对$y=\frac{1}{x}+1$移项得$y-1=\frac{1}{x}$，即$x·(y-1)=1$（1为非零定值），因此$y-1$与$x$成反比例关系，说法正确，不符合题意；
C. $\frac{y}{x}=3$（3为非零定值），符合正比例关系定义，说法正确，不符合题意；
D. $xy=0$，反比例关系要求乘积为非零定值，此处乘积为0，说明x、y至少有一个恒为0，不符合反比例定义，说法错误，符合题意。
举一反三分析
逐一判断各选项两个量的关系：
A. 圆的面积$S=π r^2$，$\frac{S}{r}=π r$（$r$为变量，比值不是定值），$S· r$也不是定值，因此不成反比例关系，不符合题意；
B. 正方形周长$C=4a$（$a$为边长），$\frac{C}{a}=4$（非零定值），二者成正比例关系，不符合题意；
C. 路程公式为$s=vt$，路程一定即$s$为非零定值，可得$v· t=s$（非零定值），因此速度和时间成反比例关系，符合题意；
D. 长方形周长$C=2(a+b)$，若边长$a$确定，整理得$C=2b+2a$，$C$与$b$的比值、乘积均不是定值，因此不成反比例关系，不符合题意。
【答案】
典例1答案：D；举一反三答案：C
【知识点】
正比例关系判定，反比例关系判定，常见数量关系
【点评】
本题组是正、反比例判定的基础题型，易错点在于忽略反比例关系中乘积必须为非零定值的要求，以及对常见几何、行程公式记忆不牢导致判断错误，熟练掌握定义和基础公式即可快速解答。
【难度系数】
0.7
典例2 港珠澳大桥全长近55 km.汽车行驶完全程所需的时间t(单位:h)与行驶的平均速度v(单位:km/h)之间的关系式为
举一反三 圆柱的体积是100,圆柱的底面积S与高h的关系式是
$t=\frac{55}{v}$
.举一反三 圆柱的体积是100,圆柱的底面积S与高h的关系式是
$S=\frac{100}{h}$
.答案
典例2答案 $t=\frac{55}{v}$
举一反三答案 $S=\frac{100}{h}$
举一反三答案 $S=\frac{100}{h}$
解析
【分析】
解题时先回忆对应场景的基础数量公式，再根据已知固定量变形公式得到两个变量的关系式即可：
1. 典例2属于行程问题，核心公式为：路程=平均速度×行驶时间，已知总路程固定为55km，要得到t与v的关系式，只需将公式变形，把t单独放在等号一侧即可。
2. 举一反三属于立体几何体积问题，核心公式为：圆柱体积=底面积×高，已知体积固定为100，要得到S与h的关系式，同样将公式变形，把S单独放在等号一侧即可。
【解析】
典例2
根据行程问题基本公式：$\mathrm{路程}s = \mathrm{平均速度}v × \mathrm{时间}t$，已知港珠澳大桥全长$s=55\mathrm{km}$，将公式两边同时除以$v$（$v＞0$），变形可得：
$t=\frac{55}{v}$
举一反三
根据圆柱体积公式：$\mathrm{体积}V = \mathrm{底面积}S × \mathrm{高}h$，已知圆柱体积$V=100$，将公式两边同时除以$h$（$h＞0$），变形可得：
$S=\frac{100}{h}$
【答案】
典例2：$\boldsymbol{t=\frac{55}{v}}$；举一反三：$\boldsymbol{S=\frac{100}{h}}$
【知识点】
1. 行程问题基本公式
2. 圆柱体积计算公式
3. 变量关系式列写
【点评】
本题是实际场景下变量关系的基础考察题，只要熟练掌握常见的数量关系公式，能根据需求对公式进行正确变形，即可快速求解，是反比例关系相关知识点的入门应用。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆对应场景的基础数量公式，再根据已知固定量变形公式得到两个变量的关系式即可：
1. 典例2属于行程问题，核心公式为：路程=平均速度×行驶时间，已知总路程固定为55km，要得到t与v的关系式，只需将公式变形，把t单独放在等号一侧即可。
2. 举一反三属于立体几何体积问题，核心公式为：圆柱体积=底面积×高，已知体积固定为100，要得到S与h的关系式，同样将公式变形，把S单独放在等号一侧即可。
【解析】
典例2
根据行程问题基本公式：$\mathrm{路程}s = \mathrm{平均速度}v × \mathrm{时间}t$，已知港珠澳大桥全长$s=55\mathrm{km}$，将公式两边同时除以$v$（$v＞0$），变形可得：
$t=\frac{55}{v}$
举一反三
根据圆柱体积公式：$\mathrm{体积}V = \mathrm{底面积}S × \mathrm{高}h$，已知圆柱体积$V=100$，将公式两边同时除以$h$（$h＞0$），变形可得：
$S=\frac{100}{h}$
【答案】
典例2：$\boldsymbol{t=\frac{55}{v}}$；举一反三：$\boldsymbol{S=\frac{100}{h}}$
【知识点】
1. 行程问题基本公式
2. 圆柱体积计算公式
3. 变量关系式列写
【点评】
本题是实际场景下变量关系的基础考察题，只要熟练掌握常见的数量关系公式，能根据需求对公式进行正确变形，即可快速求解，是反比例关系相关知识点的入门应用。
【难度系数】
0.9
典例1
答案 D
解析 A项中，由$y=2x+1$得到$y-1=2x$，则$y-1$与$x$成正比例关系，故该选项不符合题意；
B项中，由$y=\frac{1}{x}+1$得到$y-1=\frac{1}{x}$，即$y-1$与$x$成反比例关系，故该选项不符合题意；
C项中，因为$\frac{y}{x}=3$，所以$x,y$成正比例关系，故该选项不符合题意；
D项中，若$xy=0$，则$x,y$不成反比例关系，故该选项符合题意. 故选D.
典例2
答案 $t=\frac{55}{v}$
答案 D
解析 A项中，由$y=2x+1$得到$y-1=2x$，则$y-1$与$x$成正比例关系，故该选项不符合题意；
B项中，由$y=\frac{1}{x}+1$得到$y-1=\frac{1}{x}$，即$y-1$与$x$成反比例关系，故该选项不符合题意；
C项中，因为$\frac{y}{x}=3$，所以$x,y$成正比例关系，故该选项不符合题意；
D项中，若$xy=0$，则$x,y$不成反比例关系，故该选项符合题意. 故选D.
典例2
答案 $t=\frac{55}{v}$
答案
典例1答案 D
解析 A项中，由$y=2x+1$得到$y-1=2x$，则$y-1$与$x$成正比例关系，故该选项不符合题意；
B项中，由$y=\frac{1}{x}+1$得到$y-1=\frac{1}{x}$，即$y-1$与$x$成反比例关系，故该选项不符合题意；
C项中，因为$\frac{y}{x}=3$，所以$x,y$成正比例关系，故该选项不符合题意；
D项中，若$xy=0$，则$x,y$不成反比例关系，故该选项符合题意. 故选D.
典例2答案 $t=\frac{55}{v}$
解析 A项中，由$y=2x+1$得到$y-1=2x$，则$y-1$与$x$成正比例关系，故该选项不符合题意；
B项中，由$y=\frac{1}{x}+1$得到$y-1=\frac{1}{x}$，即$y-1$与$x$成反比例关系，故该选项不符合题意；
C项中，因为$\frac{y}{x}=3$，所以$x,y$成正比例关系，故该选项不符合题意；
D项中，若$xy=0$，则$x,y$不成反比例关系，故该选项符合题意. 故选D.
典例2答案 $t=\frac{55}{v}$
解析
【分析】
解决这类题首先要明确正反比例的判定规则：①若两个相关联的量的商为非零定值，二者成正比例关系；②若两个相关联的量的乘积为非零定值，二者成反比例关系。典例1只需将各选项式子变形后对照定义判断即可；典例2结合行程问题核心等量关系“路程=速度×时间”，变形推导时间的表达式即可。
【解析】
典例1
A项：对$y=2x+1$移项得$y-1=2x$，即$\frac{y-1}{x}=2$（定值），因此$y-1$与$x$成正比例关系，不符合题意；
B项：对$y=\frac{1}{x}+1$移项得$y-1=\frac{1}{x}$，即$x(y-1)=1$（定值），因此$y-1$与$x$成反比例关系，不符合题意；
C项：由$\frac{y}{x}=3$（定值），可得$x$与$y$成正比例关系，不符合题意；
D项：若$xy=0$，则$x=0$或$y=0$，不满足反比例关系要求的乘积为非零定值，因此$x,y$不成反比例关系，符合题意。
综上选D。
典例2
根据行程公式$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，变形可得$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$，已知路程为55，速度为$v$，时间为$t$，代入得$t=\frac{55}{v}$。
【答案】
典例1：$\boldsymbol{D}$；典例2：$\boldsymbol{t=\frac{55}{v}}$
【知识点】
正比例关系定义、反比例关系定义、行程数量关系
【点评】
本题属于正反比例模块的基础题，重点考查对正反比例定义的理解，解题时要注意反比例关系要求两个变量的乘积为非零定值，同时要熟练掌握常见的数量关系，能快速推导变量间的表达式。
【难度系数】
0.75
解决这类题首先要明确正反比例的判定规则：①若两个相关联的量的商为非零定值，二者成正比例关系；②若两个相关联的量的乘积为非零定值，二者成反比例关系。典例1只需将各选项式子变形后对照定义判断即可；典例2结合行程问题核心等量关系“路程=速度×时间”，变形推导时间的表达式即可。
【解析】
典例1
A项：对$y=2x+1$移项得$y-1=2x$，即$\frac{y-1}{x}=2$（定值），因此$y-1$与$x$成正比例关系，不符合题意；
B项：对$y=\frac{1}{x}+1$移项得$y-1=\frac{1}{x}$，即$x(y-1)=1$（定值），因此$y-1$与$x$成反比例关系，不符合题意；
C项：由$\frac{y}{x}=3$（定值），可得$x$与$y$成正比例关系，不符合题意；
D项：若$xy=0$，则$x=0$或$y=0$，不满足反比例关系要求的乘积为非零定值，因此$x,y$不成反比例关系，符合题意。
综上选D。
典例2
根据行程公式$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，变形可得$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$，已知路程为55，速度为$v$，时间为$t$，代入得$t=\frac{55}{v}$。
【答案】
典例1：$\boldsymbol{D}$；典例2：$\boldsymbol{t=\frac{55}{v}}$
【知识点】
正比例关系定义、反比例关系定义、行程数量关系
【点评】
本题属于正反比例模块的基础题，重点考查对正反比例定义的理解，解题时要注意反比例关系要求两个变量的乘积为非零定值，同时要熟练掌握常见的数量关系，能快速推导变量间的表达式。
【难度系数】
0.75
1.下面几组量不成反比例关系的是(
A.三角形的面积一定,底与底边上的高
B.长方形的面积一定,长和宽
C.圆的周长一定,圆的直径和圆周率
D.比的前项一定,比的后项和比值
C
).A.三角形的面积一定,底与底边上的高
B.长方形的面积一定,长和宽
C.圆的周长一定,圆的直径和圆周率
D.比的前项一定,比的后项和比值
答案
1. C
解析
【分析】
要判断两个量是否成反比例，首先明确反比例的判定标准：①两个量是相关联的变量；②一个量变化时另一个量也随之变化；③两个量的乘积为固定不变的定值。满足这三个条件的两个量就成反比例关系，我们依次对每个选项按这个标准验证即可。
【解析】
首先回忆反比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
逐个分析选项：
A. 三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，当面积$S$一定时，$底×高=2S$（定值），底和高是相关联的变量，乘积一定，二者成反比例关系；
B. 长方形面积公式为$S=长×宽$，当面积$S$一定时，长和宽的乘积为定值，二者是相关联的变量，成反比例关系；
C. 圆的周长公式为$C=π d$，其中圆周率$π$是固定不变的常量，不是变量。当周长$C$一定时，直径$d$也为固定值，不存在两个变化的量，因此直径和圆周率不成反比例关系；
D. 比的各部分关系为：$比的前项=比的后项×比值$，当比的前项一定时，比的后项和比值的乘积为定值，二者是相关联的变量，成反比例关系。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例关系判定；圆的周长公式；比的基本性质
【点评】
本题核心考查反比例关系的判定，易错点是容易忽略成反比例的两个量必须是可变化的量，误将固定常量圆周率当成变量从而判断错误。
【难度系数】
0.7
要判断两个量是否成反比例，首先明确反比例的判定标准：①两个量是相关联的变量；②一个量变化时另一个量也随之变化；③两个量的乘积为固定不变的定值。满足这三个条件的两个量就成反比例关系，我们依次对每个选项按这个标准验证即可。
【解析】
首先回忆反比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
逐个分析选项：
A. 三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，当面积$S$一定时，$底×高=2S$（定值），底和高是相关联的变量，乘积一定，二者成反比例关系；
B. 长方形面积公式为$S=长×宽$，当面积$S$一定时，长和宽的乘积为定值，二者是相关联的变量，成反比例关系；
C. 圆的周长公式为$C=π d$，其中圆周率$π$是固定不变的常量，不是变量。当周长$C$一定时，直径$d$也为固定值，不存在两个变化的量，因此直径和圆周率不成反比例关系；
D. 比的各部分关系为：$比的前项=比的后项×比值$，当比的前项一定时，比的后项和比值的乘积为定值，二者是相关联的变量，成反比例关系。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例关系判定；圆的周长公式；比的基本性质
【点评】
本题核心考查反比例关系的判定，易错点是容易忽略成反比例的两个量必须是可变化的量，误将固定常量圆周率当成变量从而判断错误。
【难度系数】
0.7
