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1. 已知一元二次方程$2x^2 -5x +1=0$的两个根是$x_1,x_2$，下列结论正确的是(
A.$x_1 + x_2 = -\dfrac{5}{2}$
B.$x_1x_2 = 1$
C.$x_1,x_2$都是有理数
D.$x_1,x_2$都是正数
D
)。A.$x_1 + x_2 = -\dfrac{5}{2}$
B.$x_1x_2 = 1$
C.$x_1,x_2$都是有理数
D.$x_1,x_2$都是正数
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的相关性质，解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中各项系数a、b、c的取值；第二步，利用根与系数的关系（韦达定理）计算两根之和、两根之积，判断A、B选项的正误；第三步，计算根的判别式$\Delta$，根据$\Delta$是否为完全平方数判断根是否为有理数，验证C选项；第四步，结合两根之和、两根之积的符号判断两根的正负，验证D选项即可得出正确答案。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 -5x +1=0$，其中$a=2$，$b=-5$，$c=1$：
1. 验证A、B选项：根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，因此A、B选项错误；
2. 验证C选项：根的判别式$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=25-8=17$，17不是完全平方数，因此$x_1,x_2$都是无理数，C选项错误；
3. 验证D选项：由$x_1+x_2=\frac{5}{2}＞0$，$x_1x_2=\frac{1}{2}＞0$，可知两根同号且和为正，因此$x_1,x_2$都是正数，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 有理数的判定
【点评】
本题是一元二次方程性质的基础考查题，需要熟练掌握韦达定理和根的判别式的计算方法，同时要学会通过两根之和、两根之积的符号快速判断根的正负性，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的相关性质，解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中各项系数a、b、c的取值；第二步，利用根与系数的关系（韦达定理）计算两根之和、两根之积，判断A、B选项的正误；第三步，计算根的判别式$\Delta$，根据$\Delta$是否为完全平方数判断根是否为有理数，验证C选项；第四步，结合两根之和、两根之积的符号判断两根的正负，验证D选项即可得出正确答案。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 -5x +1=0$，其中$a=2$，$b=-5$，$c=1$：
1. 验证A、B选项：根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{2}=\frac{5}{2}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，因此A、B选项错误；
2. 验证C选项：根的判别式$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=25-8=17$，17不是完全平方数，因此$x_1,x_2$都是无理数，C选项错误；
3. 验证D选项：由$x_1+x_2=\frac{5}{2}＞0$，$x_1x_2=\frac{1}{2}＞0$，可知两根同号且和为正，因此$x_1,x_2$都是正数，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
3. 有理数的判定
【点评】
本题是一元二次方程性质的基础考查题，需要熟练掌握韦达定理和根的判别式的计算方法，同时要学会通过两根之和、两根之积的符号快速判断根的正负性，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. (2025·凉山州中考)某钢铁厂一月生产钢铁560 t，每月产量的月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1 860 t。若设每月产量的月平均增长率为x，则可列出的方程是(
A.$560(1+x)^2 = 1860$
B.$560 + 560(1+x) + 560(1+2x) = 1860$
C.$560 + 560(1+x) + 560(1+x)^2 = 1860$
D.$560 + 560(1+2x)^2 = 1860$
C
)。A.$560(1+x)^2 = 1860$
B.$560 + 560(1+x) + 560(1+2x) = 1860$
C.$560 + 560(1+x) + 560(1+x)^2 = 1860$
D.$560 + 560(1+2x)^2 = 1860$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先明确第一季度的总产量是一月、二月、三月这三个月的产量之和。已知一月产量和月平均增长率，我们可以依次推导二月、三月的产量表达式，再根据三个月产量总和为1860t列方程即可。首先回忆平均增长率的计算规则：后一个月的产量=前一个月的产量×(1+增长率)，要注意不要把三月产量错误写成按单利计算的560(1+2x)，也不要误把第一季度产量等同于第三个月的产量。
【解析】
第一步：确定各月产量
已知一月钢铁产量为560t，月平均增长率为x：
二月产量 = 一月产量×(1+x) = $560(1+x)$ t
三月产量 = 二月产量×(1+x) = $560(1+x) × (1+x) = 560(1+x)^2$ t
第二步：根据第一季度总产量列方程
第一季度总产量为三个月产量之和，即：
$560 + 560(1+x) + 560(1+x)^2 = 1860$
对应选项为C。
【答案】C
【知识点】1. 平均增长率问题 2. 一元二次方程列方程
【点评】本题是平均增长率类的基础应用题，解题的关键是明确第一季度总产量为三个月产量之和，掌握复利式增长率的表达式，避免和单利增长、单个月产量的计算混淆。
【难度系数】0.8
解题时首先明确第一季度的总产量是一月、二月、三月这三个月的产量之和。已知一月产量和月平均增长率，我们可以依次推导二月、三月的产量表达式，再根据三个月产量总和为1860t列方程即可。首先回忆平均增长率的计算规则：后一个月的产量=前一个月的产量×(1+增长率)，要注意不要把三月产量错误写成按单利计算的560(1+2x)，也不要误把第一季度产量等同于第三个月的产量。
【解析】
第一步：确定各月产量
已知一月钢铁产量为560t，月平均增长率为x：
二月产量 = 一月产量×(1+x) = $560(1+x)$ t
三月产量 = 二月产量×(1+x) = $560(1+x) × (1+x) = 560(1+x)^2$ t
第二步：根据第一季度总产量列方程
第一季度总产量为三个月产量之和，即：
$560 + 560(1+x) + 560(1+x)^2 = 1860$
对应选项为C。
【答案】C
【知识点】1. 平均增长率问题 2. 一元二次方程列方程
【点评】本题是平均增长率类的基础应用题，解题的关键是明确第一季度总产量为三个月产量之和，掌握复利式增长率的表达式，避免和单利增长、单个月产量的计算混淆。
【难度系数】0.8
3. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + ax + b = 0$有一个非零根$-b$，则$a - b$的值为（
A.1
B.-1
C.0
D.-2
A
）。A.1
B.-1
C.0
D.-2
答案
3. A
解析
【分析】
首先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知方程的一个非零根是$-b$，解题第一步可以将$x=-b$代入原方程得到关于$a$、$b$的等式；第二步结合“根是非零”的条件，即$-b≠0$（也就是$b≠0$），对得到的等式进行化简，最终就能求出$a-b$的值。
【解析】
∵ $x=-b$是一元二次方程$x^2 + ax + b = 0$的根，
∴ 将$x=-b$代入方程得：
$(-b)^2 + a·(-b) + b = 0$
化简得：$b^2 - ab + b = 0$
提取公因式$b$得：$b(b - a + 1) = 0$
又
∵ 根$-b$是非零根，
∴ $-b ≠ 0$，即$b ≠ 0$，
∴ 等式两边同时除以$b$得：$b - a + 1 = 0$
移项整理得：$a - b = 1$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义；代数式化简求值
【点评】
本题解题核心是利用方程根的定义代入已知根，结合题目给出的非零条件化简求解，考查基础的代数变形能力，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
首先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知方程的一个非零根是$-b$，解题第一步可以将$x=-b$代入原方程得到关于$a$、$b$的等式；第二步结合“根是非零”的条件，即$-b≠0$（也就是$b≠0$），对得到的等式进行化简，最终就能求出$a-b$的值。
【解析】
∵ $x=-b$是一元二次方程$x^2 + ax + b = 0$的根，
∴ 将$x=-b$代入方程得：
$(-b)^2 + a·(-b) + b = 0$
化简得：$b^2 - ab + b = 0$
提取公因式$b$得：$b(b - a + 1) = 0$
又
∵ 根$-b$是非零根，
∴ $-b ≠ 0$，即$b ≠ 0$，
∴ 等式两边同时除以$b$得：$b - a + 1 = 0$
移项整理得：$a - b = 1$
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义；代数式化简求值
【点评】
本题解题核心是利用方程根的定义代入已知根，结合题目给出的非零条件化简求解，考查基础的代数变形能力，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
4.若$a,b,c$为常数，且$(a - c)^2 ＞ a^2 + c^2$，则关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0$根的情况是(
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为0
B
)。A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为0
答案
4. B
解析
【分析】
首先从已知不等式$(a - c)^2 ＞ a^2 + c^2$入手，利用完全平方公式展开不等式，通过移项化简得到ac的符号；再验证二次项系数a不为0，确认方程为一元二次方程，结合根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$判断$\Delta$的正负，即可确定根的情况，最后排除错误选项即可得到答案。【解析】1. 化简已知不等式将$(a - c)^2 ＞ a^2 + c^2$展开得：$a^2 - 2ac + c^2 ＞ a^2 + c^2$两边同时减去$a^2 + c^2$，可得-2ac ＞ 0，即ac ＜ 0。2. 判断方程类型与判别式符号若a=0，原不等式可化为$c^2 ＞ c^2$，显然不成立，因此a ≠ 0，方程$ax^2 + bx + c = 0$为一元二次方程。其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，由于实数平方的非负性，$b^2 ≥ 0$，结合ac ＜ 0可得-4ac ＞ 0，因此$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，说明方程有两个不相等的实数根。3. 排除错误选项：若方程有一根为0，代入得c=0，则ac=0，与ac ＜ 0矛盾，故D错误；A对应$\Delta=0$、C对应$\Delta＜0$均不符合推导结果，排除。【答案】B【知识点】完全平方公式，一元二次方程根的判别式，不等式的性质【点评】本题是不等式变形与一元二次方程根判定的综合基础题，解题核心是通过已知条件推导ac的符号，再结合判别式性质判断根的情况，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
首先从已知不等式$(a - c)^2 ＞ a^2 + c^2$入手，利用完全平方公式展开不等式，通过移项化简得到ac的符号；再验证二次项系数a不为0，确认方程为一元二次方程，结合根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$判断$\Delta$的正负，即可确定根的情况，最后排除错误选项即可得到答案。【解析】1. 化简已知不等式将$(a - c)^2 ＞ a^2 + c^2$展开得：$a^2 - 2ac + c^2 ＞ a^2 + c^2$两边同时减去$a^2 + c^2$，可得-2ac ＞ 0，即ac ＜ 0。2. 判断方程类型与判别式符号若a=0，原不等式可化为$c^2 ＞ c^2$，显然不成立，因此a ≠ 0，方程$ax^2 + bx + c = 0$为一元二次方程。其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，由于实数平方的非负性，$b^2 ≥ 0$，结合ac ＜ 0可得-4ac ＞ 0，因此$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，说明方程有两个不相等的实数根。3. 排除错误选项：若方程有一根为0，代入得c=0，则ac=0，与ac ＜ 0矛盾，故D错误；A对应$\Delta=0$、C对应$\Delta＜0$均不符合推导结果，排除。【答案】B【知识点】完全平方公式，一元二次方程根的判别式，不等式的性质【点评】本题是不等式变形与一元二次方程根判定的综合基础题，解题核心是通过已知条件推导ac的符号，再结合判别式性质判断根的情况，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
5. 定义$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数,如$[1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3$,函数$y=[x](-2≤ x＜2)$的图象如图所示,则方程$[x]=\frac{1}{2}x^2$的解为(
A.$0$或$\sqrt{2}$
B.$0$或$2$
C.$1$或$-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$或$-\sqrt{2}$
A
)。A.$0$或$\sqrt{2}$
B.$0$或$2$
C.$1$或$-\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$或$-\sqrt{2}$
答案
5. A 【解析】当$1≤x＜2$时，$\frac{1}{2}x^2 = 1$，解得$x_1 = \sqrt{2}$，$x_2 = -\sqrt{2}$(舍去)。当$0≤x＜1$时，$\frac{1}{2}x^2 = 0$，$x=0$；当$-1≤x＜0$时，$\frac{1}{2}x^2 = -1$，方程没有实数解；当$-2≤x＜-1$时，$\frac{1}{2}x^2 = -2$，方程没有实数解。所以方程$[x] = \frac{1}{2}x^2$的解为0或$\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题是新定义类方程求解问题，核心思路是根据取整函数$[x]$的定义，结合定义域$-2≤ x＜2$，按$[x]$的取值拆分出不同的区间：$1≤ x＜2$、$0≤ x＜1$、$-1≤ x＜0$、$-2≤ x＜-1$。每个区间内$[x]$为固定常数，代入方程后转化为普通一元二次方程求解，最后验证解是否属于对应区间，舍去不符合的解即可得到最终结果。
【解析】
我们分区间讨论求解：
1. 当$1≤ x＜2$时，根据定义$[x]=1$，代入方程得$\frac{1}{2}x^2=1$，整理得$x^2=2$，解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$。因为区间是$1≤ x＜2$，$-\sqrt{2}$不在该区间内，舍去，保留$x=\sqrt{2}$；
2. 当$0≤ x＜1$时，根据定义$[x]=0$，代入方程得$\frac{1}{2}x^2=0$，解得$x=0$，符合该区间，保留；
3. 当$-1≤ x＜0$时，根据定义$[x]=-1$，代入方程得$\frac{1}{2}x^2=-1$，即$x^2=-2$，实数范围内方程无实根；
4. 当$-2≤ x＜-1$时，根据定义$[x]=-2$，代入方程得$\frac{1}{2}x^2=-2$，即$x^2=-4$，实数范围内方程无实根。
综上，方程的解为$0$或$\sqrt{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
取整函数定义、一元二次方程解法、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对新定义的理解运用能力，解题的关键是根据取整函数的性质合理划分区间，将含新定义的方程转化为熟悉的一元二次方程，求解后注意核验解的范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
本题是新定义类方程求解问题，核心思路是根据取整函数$[x]$的定义，结合定义域$-2≤ x＜2$，按$[x]$的取值拆分出不同的区间：$1≤ x＜2$、$0≤ x＜1$、$-1≤ x＜0$、$-2≤ x＜-1$。每个区间内$[x]$为固定常数，代入方程后转化为普通一元二次方程求解，最后验证解是否属于对应区间，舍去不符合的解即可得到最终结果。
【解析】
我们分区间讨论求解：
1. 当$1≤ x＜2$时，根据定义$[x]=1$，代入方程得$\frac{1}{2}x^2=1$，整理得$x^2=2$，解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$。因为区间是$1≤ x＜2$，$-\sqrt{2}$不在该区间内，舍去，保留$x=\sqrt{2}$；
2. 当$0≤ x＜1$时，根据定义$[x]=0$，代入方程得$\frac{1}{2}x^2=0$，解得$x=0$，符合该区间，保留；
3. 当$-1≤ x＜0$时，根据定义$[x]=-1$，代入方程得$\frac{1}{2}x^2=-1$，即$x^2=-2$，实数范围内方程无实根；
4. 当$-2≤ x＜-1$时，根据定义$[x]=-2$，代入方程得$\frac{1}{2}x^2=-2$，即$x^2=-4$，实数范围内方程无实根。
综上，方程的解为$0$或$\sqrt{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
取整函数定义、一元二次方程解法、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对新定义的理解运用能力，解题的关键是根据取整函数的性质合理划分区间，将含新定义的方程转化为熟悉的一元二次方程，求解后注意核验解的范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
6. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 + 3x - k = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是
$k ＞ -\dfrac{9}{4}$
。答案
6. $k ＞ -\dfrac{9}{4}$
解析
【分析】
已知一元二次方程有两个不相等的实数根，解题时首先联想到一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。接下来只需确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 + 3x - k = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
其中$a=1$，$b=3$，$c=-k$，代入得：
$3^2 - 4×1×(-k) ＞ 0$
化简得：$9 + 4k ＞ 0$
移项得：$4k ＞ -9$
两边同时除以4得：$k ＞ -\dfrac{9}{4}$
【答案】
$k ＞ -\dfrac{9}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需注意准确识别方程中常数项的符号，避免代入计算时出错，熟练掌握判别式与根的个数的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.85
已知一元二次方程有两个不相等的实数根，解题时首先联想到一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。接下来只需确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 + 3x - k = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
其中$a=1$，$b=3$，$c=-k$，代入得：
$3^2 - 4×1×(-k) ＞ 0$
化简得：$9 + 4k ＞ 0$
移项得：$4k ＞ -9$
两边同时除以4得：$k ＞ -\dfrac{9}{4}$
【答案】
$k ＞ -\dfrac{9}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题时需注意准确识别方程中常数项的符号，避免代入计算时出错，熟练掌握判别式与根的个数的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.85
7. (2025·泸州中考)若一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的两个根为α,β,则$2α^2 -3α +3β$的值为
10
。答案
7. 10
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：① 已知α是方程的根，根据一元二次方程根的定义，将α代入方程可得到关于α的等式，可将所求式中高次项$2α^2$降为一次项，简化代数式；② 化简后代数式会出现$α+β$的结构，此时可利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出两根之和$α+β$的值，无需解方程求根；③ 最后将$α+β$的值代入化简后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的根，
∴ 把$x=α$代入方程得：$2α^2 -6α -1=0$，整理得$2α^2=6α+1$。
将$2α^2=6α+1$代入$2α^2 -3α +3β$可得：
$2α^2 -3α +3β = (6α+1) -3α +3β = 3α + 3β + 1 = 3(α+β) +1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$2x^2 -6x -1=0$，两根之和$α+β = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{2}=3$。
将$α+β=3$代入上式得：$3×3 +1 =10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题解题的核心是利用根的定义对高次代数式降次，再结合韦达定理整体代入求值，避免了直接求解方程根的复杂运算，是一元二次方程相关代数式求值的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步梳理：① 已知α是方程的根，根据一元二次方程根的定义，将α代入方程可得到关于α的等式，可将所求式中高次项$2α^2$降为一次项，简化代数式；② 化简后代数式会出现$α+β$的结构，此时可利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出两根之和$α+β$的值，无需解方程求根；③ 最后将$α+β$的值代入化简后的代数式计算即可得到结果。
【解析】
∵ α是一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的根，
∴ 把$x=α$代入方程得：$2α^2 -6α -1=0$，整理得$2α^2=6α+1$。
将$2α^2=6α+1$代入$2α^2 -3α +3β$可得：
$2α^2 -3α +3β = (6α+1) -3α +3β = 3α + 3β + 1 = 3(α+β) +1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$2x^2 -6x -1=0$，两根之和$α+β = -\frac{b}{a} = -\frac{-6}{2}=3$。
将$α+β=3$代入上式得：$3×3 +1 =10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题解题的核心是利用根的定义对高次代数式降次，再结合韦达定理整体代入求值，避免了直接求解方程根的复杂运算，是一元二次方程相关代数式求值的典型考法。
【难度系数】
0.7
8. (2025·南充中考)设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两个根。
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值;
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$。
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值;
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$。
答案
(1)把$x_1 = -1$代入方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$，得$m^2 = 6$。$\therefore m = \pm\sqrt{6}$。$\therefore (x - 1)(x - 2) = 6$，即$x^2 - 3x - 4 = 0$。$\therefore (x - 4)(x + 1) = 0$。$\therefore x_1 = -1$，$x_2 = 4$。$\therefore x_2 = 4$，$m = \pm\sqrt{6}$
(2)方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$可化为$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$。$\because \Delta = 9 - 4(2 - m^2) = 4m^2 + 1 ＞ 0$，$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。$\because$ 方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$即$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$的两个根为$x_1,x_2$，$\therefore x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2 - m^2$。$\therefore (x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = 2 - m^2 - 3 + 1 = -m^2$。$\because m^2 ≥ 0$，$\therefore -m^2 ≤ 0$，即$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$
(2)方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$可化为$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$。$\because \Delta = 9 - 4(2 - m^2) = 4m^2 + 1 ＞ 0$，$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。$\because$ 方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$即$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$的两个根为$x_1,x_2$，$\therefore x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2 - m^2$。$\therefore (x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = 2 - m^2 - 3 + 1 = -m^2$。$\because m^2 ≥ 0$，$\therefore -m^2 ≤ 0$，即$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$
解析
【分析】
(1) 已知$x_1=-1$是方程的根，根据方程根的定义，将$x_1$代入原方程可先求出$m^2$的值，进而得到$m$的取值；再将$m^2$代回原方程，解一元二次方程即可求出另一个根$x_2$。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再将待证明的式子展开，代入两根和与两根积化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1 = -1$代入方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2 = 6$
$\therefore m = \pm\sqrt{6}$
将$m^2=6$代入原方程，得$(x - 1)(x - 2) = 6$
整理得$x^2 - 3x - 4 = 0$
因式分解得$(x - 4)(x + 1) = 0$
解得$x_1 = -1$，$x_2 = 4$
$\therefore x_2 = 4$，$m = \pm\sqrt{6}$
(2) 证明：将方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$整理为一般形式，得：
$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$
$\because$ 判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(2 - m^2) = 4m^2 + 1 ＞ 0$
$\therefore$ 方程总有两个不相等的实数根
由根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2 - m^2$
$\therefore (x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1$
代入得：原式$= 2 - m^2 - 3 + 1 = -m^2$
$\because m^2 ≥ 0$
$\therefore -m^2 ≤ 0$，即$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问侧重考察方程根的定义和解方程的基本能力，第二问结合根与系数的关系进行不等式证明，是一元二次方程章节的典型考法，熟练掌握根的性质和韦达定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 已知$x_1=-1$是方程的根，根据方程根的定义，将$x_1$代入原方程可先求出$m^2$的值，进而得到$m$的取值；再将$m^2$代回原方程，解一元二次方程即可求出另一个根$x_2$。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，再将待证明的式子展开，代入两根和与两根积化简，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1 = -1$代入方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2 = 6$
$\therefore m = \pm\sqrt{6}$
将$m^2=6$代入原方程，得$(x - 1)(x - 2) = 6$
整理得$x^2 - 3x - 4 = 0$
因式分解得$(x - 4)(x + 1) = 0$
解得$x_1 = -1$，$x_2 = 4$
$\therefore x_2 = 4$，$m = \pm\sqrt{6}$
(2) 证明：将方程$(x - 1)(x - 2) = m^2$整理为一般形式，得：
$x^2 - 3x + 2 - m^2 = 0$
$\because$ 判别式$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(2 - m^2) = 4m^2 + 1 ＞ 0$
$\therefore$ 方程总有两个不相等的实数根
由根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 2 - m^2$
$\therefore (x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1$
代入得：原式$= 2 - m^2 - 3 + 1 = -m^2$
$\because m^2 ≥ 0$
$\therefore -m^2 ≤ 0$，即$(x_1 - 1)(x_2 - 1) ≤ 0$
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问侧重考察方程根的定义和解方程的基本能力，第二问结合根与系数的关系进行不等式证明，是一元二次方程章节的典型考法，熟练掌握根的性质和韦达定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
