登录
9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8\ \mathrm{cm}$,$BC=4\ \mathrm{cm}$,一动点$P$从点$C$出发沿着$CB$方向以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,另一动点$Q$从点$A$出发沿着$AC$方向以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,$P,Q$两点同时出发,运动时间为$t\ \mathrm{s}$。(当点$P$运动到点$B$后停止时,点$Q$也随之停止)
(1)当$t$为多少时,$△ PCQ$的面积是$△ ABC$面积的$\frac{1}{4}$?
(2)$△ PCQ$的面积能否为$△ ABC$面积的一半?若能,求出$t$的值;若不能,请说明理由。
(1)当$t$为多少时,$△ PCQ$的面积是$△ ABC$面积的$\frac{1}{4}$?
(2)$△ PCQ$的面积能否为$△ ABC$面积的一半?若能,求出$t$的值;若不能,请说明理由。
答案
(1)由题意得$CP = t\ \mathrm{cm}$，$AQ = 2t\ \mathrm{cm}$，$AC = 8\ \mathrm{cm}$，则$CQ = (8 - 2t)\ \mathrm{cm}$，$\therefore S_{△ PCQ} = \frac{1}{2} × t(8 - 2t)\mathrm{cm}^2$。
$\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 4 × 8 = 16(\mathrm{cm}^2)$，$\therefore \frac{1}{2}t · (8 - 2t) = 16 × \frac{1}{4}$，解得$t_1 = t_2 = 2$。由题意可知，$t ≤ 4$，$\therefore t = 2$满足题意。因此，当$t = 2$时，$△ PCQ$的面积是$△ ABC$面积的$\frac{1}{4}$。
(2)不能。理由如下：当$S_{△ PCQ} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$时，可得$\frac{1}{2}t · (8 - 2t) = 16 × \frac{1}{2}$，整理，得$t^2 - 4t + 8 = 0$。$\because b^2 - 4ac = -16 ＜ 0$，$\therefore$ 此方程没有实数根。因此，$△ PCQ$的面积不能为$△ ABC$面积的一半
$\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 4 × 8 = 16(\mathrm{cm}^2)$，$\therefore \frac{1}{2}t · (8 - 2t) = 16 × \frac{1}{4}$，解得$t_1 = t_2 = 2$。由题意可知，$t ≤ 4$，$\therefore t = 2$满足题意。因此，当$t = 2$时，$△ PCQ$的面积是$△ ABC$面积的$\frac{1}{4}$。
(2)不能。理由如下：当$S_{△ PCQ} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$时，可得$\frac{1}{2}t · (8 - 2t) = 16 × \frac{1}{2}$，整理，得$t^2 - 4t + 8 = 0$。$\because b^2 - 4ac = -16 ＜ 0$，$\therefore$ 此方程没有实数根。因此，$△ PCQ$的面积不能为$△ ABC$面积的一半
解析
【分析】
这是一道结合动点场景的一元二次方程应用问题，解题思路如下：1. 先根据两个动点的运动速度、时间t，分别表示出线段CP、CQ的长度，其中CQ为AC长度减去Q点移动的AQ长度；2. 先计算出△ABC的固定面积，再结合△PCQ是直角三角形，写出它的面积表达式；3. 第一问根据“△PCQ的面积是△ABC面积的$\frac{1}{4}$”列一元二次方程，求解后结合t的实际取值范围（P从C到B最多运动4s，故$0≤t≤4$）检验解是否符合要求；4. 第二问同理列方程，通过根的判别式判断方程是否有实数根，即可判断面积能否达到要求。
【解析】
首先计算△ABC的面积：
∵$∠C=90°$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×8×4=16\ \mathrm{cm}^2$
由运动规律可知：$CP = t\ \mathrm{cm}$，$AQ = 2t\ \mathrm{cm}$，因此$CQ = AC - AQ = (8 - 2t)\ \mathrm{cm}$，t的取值范围为$0≤t≤4$。
直角△PCQ的面积为：$S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}×CP×CQ=\frac{1}{2}t(8-2t)\ \mathrm{cm}^2$
(1) 当$S_{△ PCQ}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$时，列方程：
$\frac{1}{2}t(8-2t)=16×\frac{1}{4}$
整理得$t^2-4t+4=0$，解得$t_1=t_2=2$，2在$0≤t≤4$范围内，符合题意。
(2) 假设$S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，列方程：
$\frac{1}{2}t(8-2t)=16×\frac{1}{2}$
整理得$t^2-4t+8=0$
计算根的判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-4)^2-4×1×8=-16＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，不存在符合条件的t值。
【答案】
(1) 当$t=2\ \mathrm{s}$时，$△ PCQ$的面积是$△ ABC$面积的$\frac{1}{4}$；
(2) 不能，因为所列方程无实数根，不存在满足条件的t值。
【知识点】
三角形面积计算，一元二次方程的应用，根的判别式
【点评】
本题属于动点类的实际应用问题，解题核心是用运动时间t准确表示出相关线段的长度，结合面积等量关系列方程求解，同时要注意结合实际运动的限制条件检验解的合理性，对于存在性问题可通过判别式判断方程是否有实根来解答。
【难度系数】
0.7
这是一道结合动点场景的一元二次方程应用问题，解题思路如下：1. 先根据两个动点的运动速度、时间t，分别表示出线段CP、CQ的长度，其中CQ为AC长度减去Q点移动的AQ长度；2. 先计算出△ABC的固定面积，再结合△PCQ是直角三角形，写出它的面积表达式；3. 第一问根据“△PCQ的面积是△ABC面积的$\frac{1}{4}$”列一元二次方程，求解后结合t的实际取值范围（P从C到B最多运动4s，故$0≤t≤4$）检验解是否符合要求；4. 第二问同理列方程，通过根的判别式判断方程是否有实数根，即可判断面积能否达到要求。
【解析】
首先计算△ABC的面积：
∵$∠C=90°$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×8×4=16\ \mathrm{cm}^2$
由运动规律可知：$CP = t\ \mathrm{cm}$，$AQ = 2t\ \mathrm{cm}$，因此$CQ = AC - AQ = (8 - 2t)\ \mathrm{cm}$，t的取值范围为$0≤t≤4$。
直角△PCQ的面积为：$S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}×CP×CQ=\frac{1}{2}t(8-2t)\ \mathrm{cm}^2$
(1) 当$S_{△ PCQ}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$时，列方程：
$\frac{1}{2}t(8-2t)=16×\frac{1}{4}$
整理得$t^2-4t+4=0$，解得$t_1=t_2=2$，2在$0≤t≤4$范围内，符合题意。
(2) 假设$S_{△ PCQ}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，列方程：
$\frac{1}{2}t(8-2t)=16×\frac{1}{2}$
整理得$t^2-4t+8=0$
计算根的判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-4)^2-4×1×8=-16＜0$
因此该一元二次方程没有实数根，不存在符合条件的t值。
【答案】
(1) 当$t=2\ \mathrm{s}$时，$△ PCQ$的面积是$△ ABC$面积的$\frac{1}{4}$；
(2) 不能，因为所列方程无实数根，不存在满足条件的t值。
【知识点】
三角形面积计算，一元二次方程的应用，根的判别式
【点评】
本题属于动点类的实际应用问题，解题核心是用运动时间t准确表示出相关线段的长度，结合面积等量关系列方程求解，同时要注意结合实际运动的限制条件检验解的合理性，对于存在性问题可通过判别式判断方程是否有实根来解答。
【难度系数】
0.7
10. 如图,有一块长5 m、宽4 m 的地毯,为了美观,在上面设计了两横两纵的配色条纹(图中阴影部分),已知配色条纹的宽相同,所占面积是整个地毯面积的$\frac{17}{80}$。
(1)求配色条纹的宽；
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米的造价是200元,其余部分每平方米的造价是100元,求地毯的总造价。
(1)求配色条纹的宽；
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米的造价是200元,其余部分每平方米的造价是100元,求地毯的总造价。
答案
(1)设配色条纹的宽为$x\ \mathrm{m}$。依题意得$2x × 5 + 2x × 4 - 4x^2 = \frac{17}{80} × 5 × 4$，解得$x_1 = \frac{17}{4}$(舍去)，$x_2 = \frac{1}{4}$。因此，配色条纹的宽为$\frac{1}{4}\ \mathrm{m}$。
(2)地毯配色条纹的造价：$\frac{17}{80} × 5 × 4 × 200 = 850$(元)，其余部分的造价：$(1 - \frac{17}{80}) × 4 × 5 × 100 = 1\ 575$(元)，$\therefore$ 总造价为$850 + 1\ 575 = 2\ 425$(元)。因此，地毯的总造价是2 425元
(2)地毯配色条纹的造价：$\frac{17}{80} × 5 × 4 × 200 = 850$(元)，其余部分的造价：$(1 - \frac{17}{80}) × 4 × 5 × 100 = 1\ 575$(元)，$\therefore$ 总造价为$850 + 1\ 575 = 2\ 425$(元)。因此，地毯的总造价是2 425元
解析
【分析】
(1) 要求配色条纹的宽，可设宽度为$x\ \mathrm{m}$，先分析阴影面积的组成：两横条纹的总面积为$2×5x$，两纵条纹的总面积为$2×4x$，注意横纵条纹交叉的4个小正方形被重复计算了2次，因此要减去重复部分的面积$4x^2$，即可得到阴影部分的实际面积。已知阴影面积是整个地毯面积的$\frac{17}{80}$，整个地毯面积为$5×4=20\ \mathrm{m}^2$，据此列一元二次方程求解即可，最后要检验根是否符合实际意义（宽度不能超过地毯的长和宽）。
(2) 计算总造价时，可先根据占比分别求出条纹部分和其余部分的面积，再乘以对应单价，最后求和得到总造价，直接用面积占比计算可以简化运算步骤。
【解析】
(1) 设配色条纹的宽为$x\ \mathrm{m}$。
阴影部分面积 = 两横条纹面积 + 两纵条纹面积 - 交叉重叠部分面积，根据题意列方程：
$2x × 5 + 2x × 4 - 4x^2 = \frac{17}{80} × 5 × 4$
整理得：$18x - 4x^2 = \frac{17}{4}$，即$16x^2 -72x +17=0$
因式分解得：$(4x-1)(4x-17)=0$
解得：$x_1 = \frac{17}{4}$，$x_2 = \frac{1}{4}$
当$x=\frac{17}{4}$时，$\frac{17}{4}=4.25＞4$，超过地毯宽度，不符合实际，舍去。
(2) 先计算条纹部分造价：
条纹面积占总面积的$\frac{17}{80}$，因此造价为$\frac{17}{80} × 5 × 4 × 200 = 850$（元）
其余部分面积占总面积的$1-\frac{17}{80}=\frac{63}{80}$，因此造价为$\frac{63}{80} × 5 × 4 × 100 = 1575$（元）
总造价为两部分之和：$850 + 1575 = 2425$（元）
【答案】
(1) 配色条纹的宽为$\frac{1}{4}\ \mathrm{m}$；
(2) 地毯的总造价是$2425$元。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 长方形面积计算
3. 分段造价计算
【点评】
本题结合生活实际考查几何面积类的一元二次方程应用，解题的关键是正确计算阴影面积，注意不要遗漏重叠部分的扣除，同时求出方程的根后要验证是否符合实际场景，第二问利用面积占比计算可有效简化运算。
【难度系数】
0.7
(1) 要求配色条纹的宽，可设宽度为$x\ \mathrm{m}$，先分析阴影面积的组成：两横条纹的总面积为$2×5x$，两纵条纹的总面积为$2×4x$，注意横纵条纹交叉的4个小正方形被重复计算了2次，因此要减去重复部分的面积$4x^2$，即可得到阴影部分的实际面积。已知阴影面积是整个地毯面积的$\frac{17}{80}$，整个地毯面积为$5×4=20\ \mathrm{m}^2$，据此列一元二次方程求解即可，最后要检验根是否符合实际意义（宽度不能超过地毯的长和宽）。
(2) 计算总造价时，可先根据占比分别求出条纹部分和其余部分的面积，再乘以对应单价，最后求和得到总造价，直接用面积占比计算可以简化运算步骤。
【解析】
(1) 设配色条纹的宽为$x\ \mathrm{m}$。
阴影部分面积 = 两横条纹面积 + 两纵条纹面积 - 交叉重叠部分面积，根据题意列方程：
$2x × 5 + 2x × 4 - 4x^2 = \frac{17}{80} × 5 × 4$
整理得：$18x - 4x^2 = \frac{17}{4}$，即$16x^2 -72x +17=0$
因式分解得：$(4x-1)(4x-17)=0$
解得：$x_1 = \frac{17}{4}$，$x_2 = \frac{1}{4}$
当$x=\frac{17}{4}$时，$\frac{17}{4}=4.25＞4$，超过地毯宽度，不符合实际，舍去。
(2) 先计算条纹部分造价：
条纹面积占总面积的$\frac{17}{80}$，因此造价为$\frac{17}{80} × 5 × 4 × 200 = 850$（元）
其余部分面积占总面积的$1-\frac{17}{80}=\frac{63}{80}$，因此造价为$\frac{63}{80} × 5 × 4 × 100 = 1575$（元）
总造价为两部分之和：$850 + 1575 = 2425$（元）
【答案】
(1) 配色条纹的宽为$\frac{1}{4}\ \mathrm{m}$；
(2) 地毯的总造价是$2425$元。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 长方形面积计算
3. 分段造价计算
【点评】
本题结合生活实际考查几何面积类的一元二次方程应用，解题的关键是正确计算阴影面积，注意不要遗漏重叠部分的扣除，同时求出方程的根后要验证是否符合实际场景，第二问利用面积占比计算可有效简化运算。
【难度系数】
0.7
