登录
9. 阅读材料,解答问题:
材料1 为了解方程$(x^2)^2 -13x^2 +36=0$,如果我们把$x^2$看作一个整体,然后设$y=x^2$,则原方程可化为$y^2 -13y +36=0$,经过运算,原方程的解为$x_1=2,x_2=-2,x_3=3,x_4=-3$。我们通常把以上这种解决问题的方法叫作换元法。
材料2 已知实数$m,n$满足$m^2 -m -1=0,n^2 -n -1=0$,且$m≠n$,显然$m,n$是方程$x^2 -x -1=0$的两个不相等的实数根,由根与系数的关系可知$m +n=1,mn=-1$。
(1)直接应用 方程$x^4 -5x^2 +6=0$的解为
(2)间接应用 已知实数$a,b$满足:$2a^4 -7a^2 +1=0,2b^4 -7b^2 +1=0$,且$a≠b$,求$a^4 +b^4$的值。
(3)拓展应用 已知实数$m,n$满足:$\frac{1}{m^4} + \frac{1}{m^2}=7,n^2 -n=7$,且$n＞0$,求$\frac{1}{m^4} +n^2$的值。
材料1 为了解方程$(x^2)^2 -13x^2 +36=0$,如果我们把$x^2$看作一个整体,然后设$y=x^2$,则原方程可化为$y^2 -13y +36=0$,经过运算,原方程的解为$x_1=2,x_2=-2,x_3=3,x_4=-3$。我们通常把以上这种解决问题的方法叫作换元法。
材料2 已知实数$m,n$满足$m^2 -m -1=0,n^2 -n -1=0$,且$m≠n$,显然$m,n$是方程$x^2 -x -1=0$的两个不相等的实数根,由根与系数的关系可知$m +n=1,mn=-1$。
(1)直接应用 方程$x^4 -5x^2 +6=0$的解为
$x_1 =\sqrt{2},x_2 = -\sqrt{2},x_3 =\sqrt{3},x_4 = -\sqrt{3}$
。(2)间接应用 已知实数$a,b$满足:$2a^4 -7a^2 +1=0,2b^4 -7b^2 +1=0$,且$a≠b$,求$a^4 +b^4$的值。
(3)拓展应用 已知实数$m,n$满足:$\frac{1}{m^4} + \frac{1}{m^2}=7,n^2 -n=7$,且$n＞0$,求$\frac{1}{m^4} +n^2$的值。
答案
9. (1) $x_1 =\sqrt{2},x_2 = -\sqrt{2},x_3 =\sqrt{3},x_4 = -\sqrt{3}$
(2) $\frac{45}{4}$或$\frac{45 \pm7 \sqrt{41}}{4}$ 提示:由 $a≠b$ 可知,$a^2 ≠ b^2$ 或$a^2 = b^2$,然后分两种情况进行计算
(3) 令$\frac{1}{m^2} = a, -n = b,\therefore a^2 +a -7 =0,b^2 +b -7 =0$。
$\because n＞0,\therefore \frac{1}{m^2} ≠ -n$,即 $a≠b$。$\therefore a,b$ 是方程$x^2 +x -7 =0$ 的两个不相等的实数根。$\therefore a + b = -1,ab = -7$。$\therefore \frac{1}{m^4} +n^2 =a^2 +b^2 =(a +b)^2 -2ab =15$
(2) $\frac{45}{4}$或$\frac{45 \pm7 \sqrt{41}}{4}$ 提示:由 $a≠b$ 可知,$a^2 ≠ b^2$ 或$a^2 = b^2$,然后分两种情况进行计算
(3) 令$\frac{1}{m^2} = a, -n = b,\therefore a^2 +a -7 =0,b^2 +b -7 =0$。
$\because n＞0,\therefore \frac{1}{m^2} ≠ -n$,即 $a≠b$。$\therefore a,b$ 是方程$x^2 +x -7 =0$ 的两个不相等的实数根。$\therefore a + b = -1,ab = -7$。$\therefore \frac{1}{m^4} +n^2 =a^2 +b^2 =(a +b)^2 -2ab =15$
解析
【分析】
(1) 方程$x^4 -5x^2 +6=0$是高次方程，参考材料1的换元法，把$x^2$看作整体设为$y$，将原方程降次为关于$y$的一元二次方程，求解$y$后反求$x$即可。
(2) 观察$a、b$满足的等式，可知$a^2、b^2$符合方程$2x^2-7x+1=0$的结构，分两种情况讨论：①$a^2≠b^2$时，$a^2、b^2$是方程的两个不等实根，用根与系数关系求出$a^2+b^2$和$a^2b^2$，再用完全平方公式变形求$a^4+b^4$；②$a^2=b^2$时，结合$a≠b$得$a=-b$，先求$a^2$的值再代入计算即可。
(3) 对已知等式变形，设$\frac{1}{m^2}=a$，$-n=b$，可将两个等式转化为同形式的一元二次方程，结合$n＞0$判断$a≠b$，即$a、b$是该方程的两个不等实根，用根与系数关系结合完全平方公式即可求出目标式的值。
【解析】
(1) 设$y=x^2$，原方程化为$y^2-5y+6=0$，
因式分解得$(y-2)(y-3)=0$，解得$y_1=2,y_2=3$，
当$y=2$时，$x^2=2$，得$x=±\sqrt{2}$；当$y=3$时，$x^2=3$，得$x=±\sqrt{3}$。
(2) 由题意得$a^2、b^2$是方程$2x^2-7x+1=0$的实数根，分两种情况：
① 当$a^2≠b^2$时，由根与系数关系得$a^2+b^2=\frac{7}{2}$，$a^2b^2=\frac{1}{2}$，
$\therefore a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=(\frac{7}{2})^2 - 2×\frac{1}{2}=\frac{49}{4}-1=\frac{45}{4}$；
② 当$a^2=b^2$时，$\because a≠b$，$\therefore a=-b$，$a^2=b^2$，
解方程$2x^2-7x+1=0$得$x=\frac{7±\sqrt{41}}{4}$，即$a^2=b^2=\frac{7±\sqrt{41}}{4}$，
$\therefore a^4+b^4=2(a^2)^2=2×(\frac{7±\sqrt{41}}{4})^2=\frac{45±7\sqrt{41}}{4}$。
(3) 设$a=\frac{1}{m^2}$，$b=-n$，
则$\frac{1}{m^4}+\frac{1}{m^2}=7$变形为$a^2+a-7=0$，
$n^2-n=7$变形为$(-n)^2+(-n)-7=0$，即$b^2+b-7=0$，
$\because n＞0$，$\therefore b=-n＜0$，又$a=\frac{1}{m^2}＞0$，$\therefore a≠b$，
即$a、b$是方程$x^2+x-7=0$的两个不等实根，
由根与系数关系得$a+b=-1$，$ab=-7$，
$\therefore \frac{1}{m^4}+n^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(-1)^2-2×(-7)=15$。
【答案】
(1) $x_1 =\sqrt{2},x_2 = -\sqrt{2},x_3 =\sqrt{3},x_4 = -\sqrt{3}$
(2) $\frac{45}{4}$或$\frac{45 \pm7 \sqrt{41}}{4}$
(3) $15$
【知识点】
换元法降次，根与系数的关系，分类讨论思想
【点评】
本题以阅读材料的形式考查知识迁移应用能力，第一问是换元法的基础应用，第二问需注意分类讨论避免漏解，第三问需要灵活构造同构方程，能有效检验学生对换元思想和韦达定理的掌握程度。
【难度系数】
0.5
(1) 方程$x^4 -5x^2 +6=0$是高次方程，参考材料1的换元法，把$x^2$看作整体设为$y$，将原方程降次为关于$y$的一元二次方程，求解$y$后反求$x$即可。
(2) 观察$a、b$满足的等式，可知$a^2、b^2$符合方程$2x^2-7x+1=0$的结构，分两种情况讨论：①$a^2≠b^2$时，$a^2、b^2$是方程的两个不等实根，用根与系数关系求出$a^2+b^2$和$a^2b^2$，再用完全平方公式变形求$a^4+b^4$；②$a^2=b^2$时，结合$a≠b$得$a=-b$，先求$a^2$的值再代入计算即可。
(3) 对已知等式变形，设$\frac{1}{m^2}=a$，$-n=b$，可将两个等式转化为同形式的一元二次方程，结合$n＞0$判断$a≠b$，即$a、b$是该方程的两个不等实根，用根与系数关系结合完全平方公式即可求出目标式的值。
【解析】
(1) 设$y=x^2$，原方程化为$y^2-5y+6=0$，
因式分解得$(y-2)(y-3)=0$，解得$y_1=2,y_2=3$，
当$y=2$时，$x^2=2$，得$x=±\sqrt{2}$；当$y=3$时，$x^2=3$，得$x=±\sqrt{3}$。
(2) 由题意得$a^2、b^2$是方程$2x^2-7x+1=0$的实数根，分两种情况：
① 当$a^2≠b^2$时，由根与系数关系得$a^2+b^2=\frac{7}{2}$，$a^2b^2=\frac{1}{2}$，
$\therefore a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=(\frac{7}{2})^2 - 2×\frac{1}{2}=\frac{49}{4}-1=\frac{45}{4}$；
② 当$a^2=b^2$时，$\because a≠b$，$\therefore a=-b$，$a^2=b^2$，
解方程$2x^2-7x+1=0$得$x=\frac{7±\sqrt{41}}{4}$，即$a^2=b^2=\frac{7±\sqrt{41}}{4}$，
$\therefore a^4+b^4=2(a^2)^2=2×(\frac{7±\sqrt{41}}{4})^2=\frac{45±7\sqrt{41}}{4}$。
(3) 设$a=\frac{1}{m^2}$，$b=-n$，
则$\frac{1}{m^4}+\frac{1}{m^2}=7$变形为$a^2+a-7=0$，
$n^2-n=7$变形为$(-n)^2+(-n)-7=0$，即$b^2+b-7=0$，
$\because n＞0$，$\therefore b=-n＜0$，又$a=\frac{1}{m^2}＞0$，$\therefore a≠b$，
即$a、b$是方程$x^2+x-7=0$的两个不等实根，
由根与系数关系得$a+b=-1$，$ab=-7$，
$\therefore \frac{1}{m^4}+n^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(-1)^2-2×(-7)=15$。
【答案】
(1) $x_1 =\sqrt{2},x_2 = -\sqrt{2},x_3 =\sqrt{3},x_4 = -\sqrt{3}$
(2) $\frac{45}{4}$或$\frac{45 \pm7 \sqrt{41}}{4}$
(3) $15$
【知识点】
换元法降次，根与系数的关系，分类讨论思想
【点评】
本题以阅读材料的形式考查知识迁移应用能力，第一问是换元法的基础应用，第二问需注意分类讨论避免漏解，第三问需要灵活构造同构方程，能有效检验学生对换元思想和韦达定理的掌握程度。
【难度系数】
0.5
10. (2025·辽宁中考)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问:长多阔几何?”其大意是,一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问:它的长比宽多多少步? 设这个矩形的宽为x步,根据题意可列方程为(
A.$x(60 - x) = 864$
B.$x(x - 60) = 864$
C.$x(60 + x) = 864$
D.$2[x + (x + 60)] = 864$
A
)。A.$x(60 - x) = 864$
B.$x(x - 60) = 864$
C.$x(60 + x) = 864$
D.$2[x + (x + 60)] = 864$
答案
10. A
解析
【分析】
本题是一元二次方程实际应用中的几何面积问题，解题思路如下：第一步先明确题目给出的未知量设定，题目已设矩形的宽为x步；第二步根据“长与宽共60步”的条件，表示出矩形的长：长=长宽总和-宽，即长为(60 - x)步；第三步回忆矩形面积的等量关系：矩形面积=长×宽，最后将对应数值和表达式代入等量关系即可得到方程，再匹配选项即可。
【解析】
已知设矩形的宽为$x$步，
∵ 长与宽共60步，
∴ 矩形的长为$(60 - x)$步，
又
∵ 矩形田地的面积为864平方步，且矩形面积=长×宽，
∴ 代入得方程：$x(60 - x) = 864$，
因此符合题意的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题结合中国古代数学典籍的背景出题，既考查了数学知识的应用，也渗透了数学文化，解题核心是找准题目中的等量关系，正确表示出矩形的长，是对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
本题是一元二次方程实际应用中的几何面积问题，解题思路如下：第一步先明确题目给出的未知量设定，题目已设矩形的宽为x步；第二步根据“长与宽共60步”的条件，表示出矩形的长：长=长宽总和-宽，即长为(60 - x)步；第三步回忆矩形面积的等量关系：矩形面积=长×宽，最后将对应数值和表达式代入等量关系即可得到方程，再匹配选项即可。
【解析】
已知设矩形的宽为$x$步，
∵ 长与宽共60步，
∴ 矩形的长为$(60 - x)$步，
又
∵ 矩形田地的面积为864平方步，且矩形面积=长×宽，
∴ 代入得方程：$x(60 - x) = 864$，
因此符合题意的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题结合中国古代数学典籍的背景出题，既考查了数学知识的应用，也渗透了数学文化，解题核心是找准题目中的等量关系，正确表示出矩形的长，是对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
11. 将一个容积为360 $\mathrm{cm}^3$ 的包装盒剪开铺平，纸样如图所示。利用容积，列出图中$x$(cm)满足的一元二次方程：
15x(10 - x) = 360
。（不必化简）答案
11. 15x(10 - x) = 360
解析
【分析】
要列出关于x的方程，首先明确包装盒是长方体，容积计算公式为“容积=长×宽×高”，我们需要从展开图中找到长方体三个维度的表达式：
1. 首先可直接读出长方体的高为15cm；
2. 观察标注，长方体底面的其中一条边长就是x；
3. 再看水平方向总长度为20cm，这段长度由2个x和2个底面的另一条边组成，因此可以算出底面另一条边长为$\frac{20-2x}{2}=10-x$；
最后将三个维度代入容积公式，令其等于360即可得到所求方程。
【解析】
该包装盒为长方体，长方体容积公式为：$V=长×宽×高$。
由展开图可得：
1. 长方体的高为$15\ \mathrm{cm}$；
2. 底面的一条边长为$x\ \mathrm{cm}$；
3. 底面另一条边长：$\frac{20-2x}{2}=10-x\ (\mathrm{cm})$。
已知容积$V=360\ \mathrm{cm}^3$，代入公式得：
$15x(10-x)=360$
【答案】
$15x(10-x)=360$
【知识点】
一元二次方程的应用；长方体容积公式；几何体展开图
【点评】
本题结合长方体展开图考查列方程，解题核心是准确从展开图中提取长方体各棱长的表达式，需要学生具备基础的空间想象能力和识图分析能力。
【难度系数】
0.7
要列出关于x的方程，首先明确包装盒是长方体，容积计算公式为“容积=长×宽×高”，我们需要从展开图中找到长方体三个维度的表达式：
1. 首先可直接读出长方体的高为15cm；
2. 观察标注，长方体底面的其中一条边长就是x；
3. 再看水平方向总长度为20cm，这段长度由2个x和2个底面的另一条边组成，因此可以算出底面另一条边长为$\frac{20-2x}{2}=10-x$；
最后将三个维度代入容积公式，令其等于360即可得到所求方程。
【解析】
该包装盒为长方体，长方体容积公式为：$V=长×宽×高$。
由展开图可得：
1. 长方体的高为$15\ \mathrm{cm}$；
2. 底面的一条边长为$x\ \mathrm{cm}$；
3. 底面另一条边长：$\frac{20-2x}{2}=10-x\ (\mathrm{cm})$。
已知容积$V=360\ \mathrm{cm}^3$，代入公式得：
$15x(10-x)=360$
【答案】
$15x(10-x)=360$
【知识点】
一元二次方程的应用；长方体容积公式；几何体展开图
【点评】
本题结合长方体展开图考查列方程，解题核心是准确从展开图中提取长方体各棱长的表达式，需要学生具备基础的空间想象能力和识图分析能力。
【难度系数】
0.7
