1. 利用轴对称解决最短路径问题
在直线$ l $的同侧有两个点，在直线$ l $上有到这两个点的距离之和最短的点存在，可以利用来确定。

1. 轴对称

【分析】
解决同侧两点在直线上找距离和最短的点的问题时，首先明确最短路径的核心原理是两点之间线段最短。但两点在直线同侧时，直接连接两点的线段不会和直线相交，无法得到符合要求的点，因此需要通过变换把同侧点转化为异侧点，这种变换就是轴对称：利用轴对称将其中一个点对称到直线另一侧后，连接对称点和另一个点，线段与直线的交点就是所求点，因此用轴对称来确定该点。
【解析】
当两点在直线$l$同侧时，要在$l$上找一点使得到两点的距离之和最短，操作步骤为：①作其中任意一个点关于直线$l$的对称点；②连接该对称点与另一个点，所得线段与直线$l$的交点即为所求的点。整个确定点的过程利用的是轴对称的方法，因此横线处填轴对称。
【答案】
轴对称
【知识点】
最短路径问题；轴对称的应用；两点之间线段最短
【点评】
本题考查最短路径问题的基础求解方法，属于概念识记类题目，掌握将同侧点通过轴对称转化为异侧点的核心思路即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 利用平移解决最短路径问题
在画最短路径问题的过程中，若两个点出现在平行直线的异侧时，可用的方法，转化为求直线异侧的两个点到直线上某一点所连线段的和最小的问题。

2. 平移

【分析】
解决这道题首先要明确最短路径问题的核心转化思路：我们已学过两点之间线段最短是解决最短路径的核心依据，当遇到涉及平行直线的最短路径问题（如造桥选址问题）时，直接连接两点的路径不符合路径要经过平行直线间固定长度垂线段的要求，此时可以通过平移的方法，将其中一个点沿垂直于平行直线的方向平移平行直线间的距离，即可将原问题转化为我们熟悉的“直线异侧两点到直线上某一点的线段和最小”的问题，进而用两点之间线段最短求解。
【解析】
在处理平行直线相关的最短路径问题时，若两点位于平行直线异侧，可利用平移的方法，消去路径中固定长度的垂线段（如桥的长度），将复杂的最短路径问题转化为求直线异侧两点到直线上某点连线段和最小的经典问题，因此此处应填平移。
【答案】
平移
【知识点】
平移的应用；最短路径问题；两点之间线段最短
【点评】
本题考查平移在最短路径问题中的基础应用，是造桥选址类最短路径问题的核心转化方法，要求同学们理解转化思想在最短路径问题中的运用，熟练区分不同类型最短路径问题的处理技巧。
【难度系数】
0.8

典例1 如图，某大型农场拟在公路$l$旁修建一个农产品储藏加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地$A$，$B$的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益。请你在图中标明加工厂所在的位置$C$，使$A$，$B$两地到储藏加工厂的路程之和最短。（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）

解：
作点A关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，交直线$l$于点$C$，点$C$即为所求的加工厂位置，保留对称点辅助作图痕迹、线段$A'B$的作图痕迹即可。

【分析】
首先明确题目要求：在直线$l$上找一点$C$，使得$AC+BC$的和最小。我们已知“两点之间线段最短”，但此时$A$、$B$两点都在直线$l$的同侧，直接连接$AB$不与直线$l$相交，无法直接得到符合要求的点$C$，因此需要进行转化：利用轴对称的性质，作其中一个点关于直线$l$的对称点，此时直线$l$上任意一点到原点点和对称点的距离相等，就可以把$AC$的长度转化为对称点到$C$的长度，进而将求$AC+BC$最小值的问题转化为求对称点到$B$点的最短距离，再根据两点之间线段最短，连接对称点和$B$点，与直线$l$的交点即为所求的$C$点。
【解析】
1. 作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，根据轴对称的性质，对于直线$l$上任意一点$C$，都有$AC=A'C$，因此$AC+BC=A'C+BC$。
2. 根据“两点之间，线段最短”，当$A'$、$C$、$B$三点共线时，$A'C+BC$的和最小，最小值等于线段$A'B$的长度，因此连接$A'B$，$A'B$与直线$l$的交点就是所求的点$C$。
作图时保留作对称点的辅助线痕迹、线段$A'B$的作图痕迹即可。
【答案】
作点A关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，交直线$l$于点$C$，点$C$即为所求的加工厂位置，保留对称点辅助作图痕迹、线段$A'B$的作图痕迹即可。
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径问题的典型实际应用，解题核心是利用轴对称将同侧两点的最短路径问题转化为异侧两点的线段最值问题，运用了数学中的转化思想，是平面几何路径最值类的基础题型，掌握该转化方法即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8

举一反三 如图,在正方形网格中有M,N两点,在直线l上找一点P使$PM+PN$最短,则点P应选在().

A.A点
B.B点
C.C点
D.D点

1. 【举一反三】C

【分析】
这是典型的直线同侧两点最短路径问题，解题思路遵循“对称转化+连线找交点”的逻辑：首先由于M、N在直线l同侧，直接连线无法与直线l相交得到最短路径，因此需要利用轴对称将其中一个点转移到直线另一侧，保证转化后对应的线段长度与原线段相等；再根据“两点之间线段最短”的原理，连接对称点和另一个点，该线段与直线l的交点就是使PM+PN最短的P点。
【解析】
我们用轴对称法求解：
1. 作点M关于直线l的对称点$M'$，根据轴对称的性质，对于直线l上任意一点P，都有$PM=PM'$，因此$PM+PN=PM'+PN$；
2. 根据两点之间线段最短，$PM'+PN$的最小值就是线段$M'N$的长度，此时线段$M'N$与直线l的交点即为满足条件的点P；
3. 结合网格观察可得，线段$M'N$与直线l的交点为C点，因此点P应选在C点。
【答案】C
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题考查最短路径的基础应用，核心是通过轴对称将同侧两点转化为异侧两点，再结合线段公理确定最短路径的交点，是几何实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.7

2. 利用平移解决最短路径问题
典例2 如图，从A地到B地要经过一条小河，河的两岸$EF// GH$，现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？

解：
作法：
1. 过点A作$AA'⊥ EF$，且使$AA'$的长度等于河两岸$EF$、$GH$之间的宽度；
2. 连接$A'B$，交$GH$于点$C$；
3. 过点$C$作$CD⊥ GH$，交$EF$于点$D$。
则$CD$即为所求的桥的位置，此时从A地到B地的总路程最短。
证明：
由作法得$CD⊥ EF$，结合$EF// GH$，可知$CD// AA'$，且$CD=AA'$，因此四边形$AA'CD$是平行四边形，得$AD=A'C$。
此时A到B的总路程为$AD+DC+CB=A'C+CB+CD=A'B+CD$。
若任选其他建桥位置$C'D'$（$C'D'⊥ GH$，$D'$在$EF$上），同理可得对应总路程为$AD'+D'C'+C'B=A'C'+C'B+C'D'$。
因为$CD=C'D'$，根据两点之间线段最短，可得$A'C'+C'B＞A'B$，因此$AD'+D'C'+C'B＞AD+DC+CB$。
故上述选择的桥的位置满足从A地到B地的路程最短。

【分析】
解决本题首先要明确：桥垂直于河岸，因此桥的长度是固定值（等于河的宽度），总路程的长短仅由A到桥的上端口、桥的下端口到B的两段路程之和决定。我们可以通过平移转化思路：将点A沿垂直河岸的方向向下平移河宽的长度得到点A'，此时A到桥上端口的路程等价于A'到桥下端口的路程，问题就转化为求A'到B的最短路径，根据“两点之间线段最短”，连接A'B与GH的交点就是桥下端口的最优位置，再作垂直于河岸的线段即可得到桥的位置。
【解析】
作法：
1. 过点A作$AA'⊥ EF$，且使$AA'$的长度等于河两岸$EF$、$GH$之间的宽度；
2. 连接$A'B$，交$GH$于点$C$；
3. 过点$C$作$CD⊥ GH$，交$EF$于点$D$，则$CD$即为所求的桥的位置。
证明：
由作法得$CD⊥ EF$，结合$EF// GH$，可知$CD// AA'$，且$CD=AA'$，因此四边形$AA'CD$是平行四边形，可得$AD=A'C$。
此时A到B的总路程为$AD+DC+CB=A'C+CB+CD=A'B+CD$。
若任选其他建桥位置$C'D'$（$C'D'⊥ GH$，$D'$在$EF$上），同理可得对应总路程为$AD'+D'C'+C'B=A'C'+C'B+C'D'$。
因为$CD=C'D'$，根据两点之间线段最短，可得$A'C'+C'B＞A'B$，因此$AD'+D'C'+C'B＞AD+DC+CB$，故CD为最优建桥位置。
【答案】
1. 过点A作$AA'⊥ EF$，且使$AA'$的长度等于河两岸$EF$、$GH$之间的宽度；2. 连接$A'B$，交$GH$于点$C$；3. 过点$C$作$CD⊥ GH$，交$EF$于点$D$，$CD$即为所求的桥的位置，此时总路程最短。
【知识点】
1. 最短路径问题 2. 平移的应用 3. 两点之间线段最短
【点评】
本题是典型的造桥选址类最短路径问题，解题核心是通过平移将固定长度的桥长从总路程中分离，把可变路径转化为两点之间的线段问题，利用转化思想结合线段公理即可求解，掌握平移转化的思路是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6

举一反三 如图，直线 $ l_1, l_2 $ 表示一条河的两岸，且 $ l_1 // l_2 $. 现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线(). A. $ PF \rightarrow FQ $ B. $ PE \rightarrow EQ $ C. $ PE \rightarrow EF \rightarrow FQ $ D. $ PE \rightarrow EF \rightarrow FQ $
典例解析
典例1
解 点C的位置如图.
典例2
解 如图，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽，连接BC，与河岸GH相交于点M，过点M作 $ NM ⊥ EF $ 于点N，则MN为所建桥的位置.

2. 【举一反三】C

【分析】
本题属于造桥选址类的最短路径问题，解题核心在于桥长为固定值，因此只需考虑除桥长外的两段路径之和最短。思考步骤如下：①明确总路程构成：从P到桥靠近$l_1$的端点的距离+桥长+桥靠近$l_2$的端点到Q的距离，桥长是定值，因此只需让另外两段路程的和最小；②利用平移的性质，将其中一个村庄沿垂直河岸的方向平移河宽的距离，把分散的两段路径转化为同一条折线上的两段，再结合“两点之间线段最短”即可确定最优的桥址，进而得到最短路径。
【解析】
由于桥与河岸垂直，因此桥的长度是固定值（等于河宽），要使总路程最短，只需保证P到桥靠$l_1$端点的距离与Q到桥靠$l_2$端点的距离之和最小。
我们采用平移法求解：将点P沿垂直于$l_1$的方向平移，平移距离等于河宽，得到对应点$P'$，根据平移的性质，此时$PE=P'F$，因此$PE+FQ=P'F+FQ$。
根据“两点之间，线段最短”，连接$P'Q$，与$l_2$的交点即为最优的桥靠$l_2$的端点F，过F作$EF⊥l_1$交$l_1$于点E，EF就是桥的位置。因此最短路径为$PE→EF→FQ$。
【答案】
C
【知识点】
最短路径问题，平移的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是典型的造桥选址最短路径模型题，解题的关键是抓住桥长固定的特点，通过平移将分散的线段转化为可直接利用线段公理求解的形式，考查对最短路径模型的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.7