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1. 小王准备在街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在(
C
). 答案
1. C
解析
【分析】
这是一道典型的直线同侧两定点到直线上一点距离之和最小的最短路径问题，解题思路可按以下步骤展开：①首先明确问题目标：在街道对应的直线上找一点C，使得AC+BC的和最小；②回忆相关原理：两点之间线段最短，但A、B两点在街道同侧，无法直接连线与街道相交得到最短路径，因此需要借助轴对称的性质，将其中一个点转化到街道另一侧，保证转化后该点到C的距离与原来到C的距离相等；③转化后，连接异侧的两个点，与街道的交点就是所求的C点，此时两点连线的长度就是AC+BC的最小值，对照选项即可选出正确答案。
【解析】
要使居民区A、B到街道旁送奶站C的距离之和最小，按如下方法确定C点位置：
1. 设街道所在直线为$ l $，作点A关于直线$ l $的对称点$ A' $，根据轴对称的性质，对直线$ l $上任意一点C，都有$ AC = A'C $，因此$ AC + BC = A'C + BC $。
2. 根据“两点之间，线段最短”的公理，当点C落在$ A'B $与直线$ l $的交点处时，$ A'C + BC $的长度最小，即$ AC + BC $的和最小。
观察四个选项，只有选项C的作法符合上述要求。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，最短路径作图
【点评】
本题是最短路径问题的基础题型，核心解题方法是通过轴对称实现线段的等量转化，将同侧两点的距离和问题转化为异侧两点的线段最短问题，该方法是解决很多几何最值问题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的直线同侧两定点到直线上一点距离之和最小的最短路径问题，解题思路可按以下步骤展开：①首先明确问题目标：在街道对应的直线上找一点C，使得AC+BC的和最小；②回忆相关原理：两点之间线段最短，但A、B两点在街道同侧，无法直接连线与街道相交得到最短路径，因此需要借助轴对称的性质，将其中一个点转化到街道另一侧，保证转化后该点到C的距离与原来到C的距离相等；③转化后，连接异侧的两个点，与街道的交点就是所求的C点，此时两点连线的长度就是AC+BC的最小值，对照选项即可选出正确答案。
【解析】
要使居民区A、B到街道旁送奶站C的距离之和最小，按如下方法确定C点位置：
1. 设街道所在直线为$ l $，作点A关于直线$ l $的对称点$ A' $，根据轴对称的性质，对直线$ l $上任意一点C，都有$ AC = A'C $，因此$ AC + BC = A'C + BC $。
2. 根据“两点之间，线段最短”的公理，当点C落在$ A'B $与直线$ l $的交点处时，$ A'C + BC $的长度最小，即$ AC + BC $的和最小。
观察四个选项，只有选项C的作法符合上述要求。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，最短路径作图
【点评】
本题是最短路径问题的基础题型，核心解题方法是通过轴对称实现线段的等量转化，将同侧两点的距离和问题转化为异侧两点的线段最短问题，该方法是解决很多几何最值问题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
2.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$,$CE$是$△ ABC$的两条中线,$P$是$AD$上的一个动点,则下列线段的长等于$BP+EP$最小值的是(
A.$BC$
B.$CE$
C.$AD$
D.$AC$
B
).A.$BC$
B.$CE$
C.$AD$
D.$AC$
答案
2. B
解析
【分析】
首先结合已知条件分析图形性质：由AB=AC、AD是△ABC的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是BC的垂直平分线，因此点B和点C关于直线AD对称，AD上任意一点P到B、C的距离相等，即BP=CP。此时可将BP+EP转化为CP+EP，根据“两点之间线段最短”，CP+EP的最小值就是C、E两点连线的长度，即可得到对应结论。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∴点B与点C关于直线AD对称，因此对AD上任意动点P，都有BP=CP。
∴BP+EP = CP+EP，
根据两点之间线段最短，当P为CE与AD的交点时，CP+EP取得最小值，最小值为线段CE的长度，即BP+EP的最小值等于CE的长。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【点评】
本题是“将军饮马”最短路径模型的典型应用，解题的关键是利用等腰三角形的性质找到对称点，将两条动线段的和转化为两点之间的线段长度求解，这类题型是轴对称性质的常见考法。
【难度系数】
0.7
首先结合已知条件分析图形性质：由AB=AC、AD是△ABC的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知AD是BC的垂直平分线，因此点B和点C关于直线AD对称，AD上任意一点P到B、C的距离相等，即BP=CP。此时可将BP+EP转化为CP+EP，根据“两点之间线段最短”，CP+EP的最小值就是C、E两点连线的长度，即可得到对应结论。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∴点B与点C关于直线AD对称，因此对AD上任意动点P，都有BP=CP。
∴BP+EP = CP+EP，
根据两点之间线段最短，当P为CE与AD的交点时，CP+EP取得最小值，最小值为线段CE的长度，即BP+EP的最小值等于CE的长。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【点评】
本题是“将军饮马”最短路径模型的典型应用，解题的关键是利用等腰三角形的性质找到对称点，将两条动线段的和转化为两点之间的线段长度求解，这类题型是轴对称性质的常见考法。
【难度系数】
0.7
3. 如图,要在燃气管道$l$上修建一个泵站,分别向$A,B$两处供气,泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短?请说明理由.
答案
3. 解 如图,作点 A 关于直线 l 的对称点 A',连接 A'B 交直线 l 于点 P,连接 AP,则泵站修在管道的 P 点处,可使所用的输气管线 AP+BP 最短.
理由：
在直线 l 上任取一点 E,连接 AE,BE,A'E.
∵A,A'关于直线 l 对称,
∴AP=A'P.
同理 AE=A'E,
∵AP+BP=A'P+BP=A'B,
AE+BE=A'E+BE＞A'B,
∴AP+BP＜AE+BE.
∵E 是任意取的一点,
∴AP+BP 最短.
解析
【分析】
要解决在直线l上找一点使得到A、B两点的距离和最短的问题，我们首先想到“两点之间，线段最短”的结论，但A、B在直线l的同侧，直接连接AB不与l相交，因此可以利用轴对称的性质，将点A对称到直线l的另一侧得到A'，此时直线l上任意一点到A的距离都等于到A'的距离，即可将AP+BP转化为A'P+BP。此时A'和B在l的异侧，连接A'B与l的交点P就满足A'P+BP=A'B，是最短的线段和。最后我们在l上任取另一点E，利用三角形三边关系即可证明P点是使距离和最短的点。
【解析】
步骤1：确定泵站位置
作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，A'B与直线l的交点即为所求的泵站位置P，连接AP。
步骤2：证明AP+BP最短
在直线l上任取一不与P重合的点E，连接AE、BE、A'E。
∵点A和点A'关于直线l对称，直线l是线段AA'的垂直平分线，
∴根据轴对称的性质可得$AP=A'P$，同理可得$AE=A'E$。
此时输气管线长度$AP+BP=A'P+BP=A'B$，
若选E点作为泵站，输气管线长度$AE+BE=A'E+BE$。
在$△ A'BE$中，根据三角形两边之和大于第三边，可得$A'E+BE＞A'B$，
因此$AE+BE＞AP+BP$。
由于E是直线l上任意取的异于P的点，因此AP+BP是所有可能的输气管线长度中最短的。
【答案】
如图,作点 A 关于直线 l 的对称点 A',连接 A'B 交直线 l 于点 P,连接 AP,则泵站修在管道的 P 点处,可使所用的输气管线 AP+BP 最短.
理由：
在直线 l 上任取一点 E,连接 AE,BE,A'E.
∵A,A'关于直线 l 对称,
∴AP=A'P.
同理 AE=A'E,
∵AP+BP=A'P+BP=A'B,
AE+BE=A'E+BE＞A'B,
∴AP+BP＜AE+BE.
∵E 是任意取的一点,
∴AP+BP 最短.
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系
【点评】
本题是最短路径问题中的经典题型，解题核心是利用轴对称实现线段的等量转化，将同侧两点的距离和问题转化为异侧两点的线段最短问题，同时要注意通过“任取一点”的思路验证结论的普遍性，掌握该转化思路即可轻松解决同类问题。
【难度系数】
0.7
要解决在直线l上找一点使得到A、B两点的距离和最短的问题，我们首先想到“两点之间，线段最短”的结论，但A、B在直线l的同侧，直接连接AB不与l相交，因此可以利用轴对称的性质，将点A对称到直线l的另一侧得到A'，此时直线l上任意一点到A的距离都等于到A'的距离，即可将AP+BP转化为A'P+BP。此时A'和B在l的异侧，连接A'B与l的交点P就满足A'P+BP=A'B，是最短的线段和。最后我们在l上任取另一点E，利用三角形三边关系即可证明P点是使距离和最短的点。
【解析】
步骤1：确定泵站位置
作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，A'B与直线l的交点即为所求的泵站位置P，连接AP。
步骤2：证明AP+BP最短
在直线l上任取一不与P重合的点E，连接AE、BE、A'E。
∵点A和点A'关于直线l对称，直线l是线段AA'的垂直平分线，
∴根据轴对称的性质可得$AP=A'P$，同理可得$AE=A'E$。
此时输气管线长度$AP+BP=A'P+BP=A'B$，
若选E点作为泵站，输气管线长度$AE+BE=A'E+BE$。
在$△ A'BE$中，根据三角形两边之和大于第三边，可得$A'E+BE＞A'B$，
因此$AE+BE＞AP+BP$。
由于E是直线l上任意取的异于P的点，因此AP+BP是所有可能的输气管线长度中最短的。
【答案】
如图,作点 A 关于直线 l 的对称点 A',连接 A'B 交直线 l 于点 P,连接 AP,则泵站修在管道的 P 点处,可使所用的输气管线 AP+BP 最短.
理由：
在直线 l 上任取一点 E,连接 AE,BE,A'E.
∵A,A'关于直线 l 对称,
∴AP=A'P.
同理 AE=A'E,
∵AP+BP=A'P+BP=A'B,
AE+BE=A'E+BE＞A'B,
∴AP+BP＜AE+BE.
∵E 是任意取的一点,
∴AP+BP 最短.
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系
【点评】
本题是最短路径问题中的经典题型，解题核心是利用轴对称实现线段的等量转化，将同侧两点的距离和问题转化为异侧两点的线段最短问题，同时要注意通过“任取一点”的思路验证结论的普遍性，掌握该转化思路即可轻松解决同类问题。
【难度系数】
0.7
