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4.如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(4,2),点B坐标为(1,-3),在y轴上有一点P使PA+PB的值最小,则点P的坐标为(
A.(2,0)
B.(-2,0)
C.(0,2)
D.(0,-2)
D
).A.(2,0)
B.(-2,0)
C.(0,2)
D.(0,-2)
答案
4. D 解析 如图,设过点 A,且分别与x 轴、y 轴垂直的直线分别交 x 轴、y 轴于点 H,E,作点 B 关于 y 轴的对称点 B',BB'交 y 轴于点 D,直线 AH,BB'交于点 C,连接 AB',交 y 轴于点 P,此时AP+PB=AP+PB'=AB'的值最小.
∵点 B 坐标为(1,-3),
∴B'(-1,-3),
∴B'C=AC=5,
∴∠AB'C=45°,
∴PD=B'D=1.
∵OD=|-3|=3,
∴OP=2,
∴P(0,-2).
故选 D.
解析
【分析】
这是平面直角坐标系中的“两定一动”型最短路径问题，解题思路如下：①根据两点之间线段最短，要使y轴上的点P满足PA+PB最小，可通过轴对称转化线段长度：作点B关于y轴的对称点B'，由轴对称性质可知PB=PB'，因此PA+PB=PA+PB'，当A、P、B'三点共线时，PA+PB'的和等于AB'，此时和最小；②先求出点B关于y轴对称的点B'的坐标；③再求出直线AB'的解析式，该直线与y轴的交点即为所求点P的坐标。
【解析】
作点B关于y轴的对称点B'，连接AB'交y轴于点P，此时PA+PB=PA+PB'=AB'，值最小。
已知点B坐标为(1,-3)，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，因此B'的坐标为(-1,-3)。
设直线AB'的解析式为y=kx+b（k≠0），将A(4,2)、B'(-1,-3)代入解析式得：
$\begin{cases}4k+b=2\\-k+b=-3\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得：$5k=5$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$-k+b=-3$，得：$-1+b=-3$，解得$b=-2$。
因此直线AB'的解析式为$y=x-2$。
y轴上的点横坐标为0，将x=0代入$y=x-2$，得y=-2，因此点P的坐标为(0,-2)。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，一次函数的应用
【点评】
本题是最短路径的经典考法，解题的核心是利用轴对称将折线段的和转化为两点之间的线段长度，结合平面直角坐标系的坐标运算或一次函数知识即可求解，需要熟练掌握轴对称的性质和一次函数解析式的求法。
【难度系数】
0.7
这是平面直角坐标系中的“两定一动”型最短路径问题，解题思路如下：①根据两点之间线段最短，要使y轴上的点P满足PA+PB最小，可通过轴对称转化线段长度：作点B关于y轴的对称点B'，由轴对称性质可知PB=PB'，因此PA+PB=PA+PB'，当A、P、B'三点共线时，PA+PB'的和等于AB'，此时和最小；②先求出点B关于y轴对称的点B'的坐标；③再求出直线AB'的解析式，该直线与y轴的交点即为所求点P的坐标。
【解析】
作点B关于y轴的对称点B'，连接AB'交y轴于点P，此时PA+PB=PA+PB'=AB'，值最小。
已知点B坐标为(1,-3)，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，因此B'的坐标为(-1,-3)。
设直线AB'的解析式为y=kx+b（k≠0），将A(4,2)、B'(-1,-3)代入解析式得：
$\begin{cases}4k+b=2\\-k+b=-3\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得：$5k=5$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$-k+b=-3$，得：$-1+b=-3$，解得$b=-2$。
因此直线AB'的解析式为$y=x-2$。
y轴上的点横坐标为0，将x=0代入$y=x-2$，得y=-2，因此点P的坐标为(0,-2)。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，一次函数的应用
【点评】
本题是最短路径的经典考法，解题的核心是利用轴对称将折线段的和转化为两点之间的线段长度，结合平面直角坐标系的坐标运算或一次函数知识即可求解，需要熟练掌握轴对称的性质和一次函数解析式的求法。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC = 10$，$△ ABC$的面积是40，$AD$平分$∠ BAC$。若$P$，$Q$分别是$AD$和$AC$上的动点，则$PC+PQ$的最小值是
8
。答案
5. 8 解析
∵AB=AC,AD 平分∠BAC,
∴AD 垂直平分 BC.
如图,过点 B 作 BQ⊥AC 于点 Q,BQ交 AD 于点 P,则此时 PC+PQ 取最小值,最小值为 BQ 的长.
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC · BQ=\frac{1}{2}×10×BQ=40$,
∴BQ=8.
解析
【分析】
本题属于最短路径求最值问题，解题思路如下：首先由$AB=AC$、$AD$平分$∠BAC$，可知AD是等腰$△ ABC$的对称轴，点C与点B关于AD对称，因此$PC=PB$，就可以把$PC+PQ$的最小值转化为$PB+PQ$的最小值；再根据垂线段最短的性质，当B、P、Q三点共线且$BQ⊥AC$时，$PB+PQ$的长度最小，最小值就是AC边上的高BQ的长度；最后结合三角形面积公式就能计算出BQ的长度。
【解析】
∵$AB=AC$，$AD$平分$∠BAC$，
∴AD垂直平分BC，即点B和点C关于AD对称，
∴$PC=PB$，则$PC+PQ=PB+PQ$。
过点B作$BQ⊥AC$于点Q，BQ交AD于点P，此时$PB+PQ$取得最小值，最小值为BQ的长（垂线段最短）。
已知$△ ABC$的面积是40，$AC=10$，由三角形面积公式：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC · BQ$
代入得$\frac{1}{2}×10×BQ=40$，
解得$BQ=8$。
【答案】8
【知识点】
等腰三角形三线合一；最短路径问题；三角形面积计算
【点评】
本题是最短路径的典型题型，解题关键是利用等腰三角形的对称性完成线段转化，将两条线段之和的最值转化为点到直线的距离，再结合垂线段最短和面积公式求解，较好地考查了几何转化思想和性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
本题属于最短路径求最值问题，解题思路如下：首先由$AB=AC$、$AD$平分$∠BAC$，可知AD是等腰$△ ABC$的对称轴，点C与点B关于AD对称，因此$PC=PB$，就可以把$PC+PQ$的最小值转化为$PB+PQ$的最小值；再根据垂线段最短的性质，当B、P、Q三点共线且$BQ⊥AC$时，$PB+PQ$的长度最小，最小值就是AC边上的高BQ的长度；最后结合三角形面积公式就能计算出BQ的长度。
【解析】
∵$AB=AC$，$AD$平分$∠BAC$，
∴AD垂直平分BC，即点B和点C关于AD对称，
∴$PC=PB$，则$PC+PQ=PB+PQ$。
过点B作$BQ⊥AC$于点Q，BQ交AD于点P，此时$PB+PQ$取得最小值，最小值为BQ的长（垂线段最短）。
已知$△ ABC$的面积是40，$AC=10$，由三角形面积公式：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC · BQ$
代入得$\frac{1}{2}×10×BQ=40$，
解得$BQ=8$。
【答案】8
【知识点】
等腰三角形三线合一；最短路径问题；三角形面积计算
【点评】
本题是最短路径的典型题型，解题关键是利用等腰三角形的对称性完成线段转化，将两条线段之和的最值转化为点到直线的距离，再结合垂线段最短和面积公式求解，较好地考查了几何转化思想和性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
6.已知M，N两地间隔两条河流，第一条河流的河岸为直线j，k，第二条河流的河岸为直线l，g，所有的河岸皆平行。现要在两条河上分别修两座桥AB，CD，两座桥修在何处，才能使从M到N的路径M—A—B—C—D—N最短？且河上的桥必须与河岸垂直。（要求：保留作图痕迹，不写画法）
答案
6. 解 如图,两座桥 AB,CD 即为所求.
解析
【分析】
本题为造桥选址类的最短路径问题，解题核心是利用平移消去固定长度的桥的影响，转化为两点之间线段最短的基础模型。思考步骤如下：①桥需与河岸垂直，因此AB、CD的长度分别等于两条河的宽度，是固定值，只需保证MA+BC+DN的长度和最短即可；②利用平移的性质，将点M沿垂直河岸的方向向第一条河对岸平移，平移距离等于第一条河的宽度，得到点M'，此时MA=M'B；同理将点N沿垂直河岸的方向向第二条河对岸平移，平移距离等于第二条河的宽度，得到点N'，此时DN=CN'；③原路径非桥段的和转化为M'B+BC+CN'，根据两点之间线段最短，连接M'N'，与河岸k、l的交点就是B、C的位置，最后作出垂直河岸的桥即可。
【解析】
根据平移的性质与两点之间线段最短的原理作图：
1. 将点M沿垂直于直线j的方向向下平移，平移距离等于河岸j、k之间的宽度，得到点$M'$；
2. 将点N沿垂直于直线g的方向向上平移，平移距离等于河岸l、g之间的宽度，得到点$N'$；
3. 连接$M'N'$，分别与直线k交于点B、与直线l交于点C；
4. 过点B作$AB⊥ j$，垂足为A，过点C作$CD⊥ g$，垂足为D，此时AB、CD即为所求的两座桥，路径$M-A-B-C-D-N$最短。
【答案】
如图，两座桥AB，CD即为所求。
【知识点】
最短路径问题、平移的性质、两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型应用题型，通过平移转化将未知问题转化为已学的线段最短模型，重点考察转化思想的运用和动手作图的能力。
【难度系数】
0.6
本题为造桥选址类的最短路径问题，解题核心是利用平移消去固定长度的桥的影响，转化为两点之间线段最短的基础模型。思考步骤如下：①桥需与河岸垂直，因此AB、CD的长度分别等于两条河的宽度，是固定值，只需保证MA+BC+DN的长度和最短即可；②利用平移的性质，将点M沿垂直河岸的方向向第一条河对岸平移，平移距离等于第一条河的宽度，得到点M'，此时MA=M'B；同理将点N沿垂直河岸的方向向第二条河对岸平移，平移距离等于第二条河的宽度，得到点N'，此时DN=CN'；③原路径非桥段的和转化为M'B+BC+CN'，根据两点之间线段最短，连接M'N'，与河岸k、l的交点就是B、C的位置，最后作出垂直河岸的桥即可。
【解析】
根据平移的性质与两点之间线段最短的原理作图：
1. 将点M沿垂直于直线j的方向向下平移，平移距离等于河岸j、k之间的宽度，得到点$M'$；
2. 将点N沿垂直于直线g的方向向上平移，平移距离等于河岸l、g之间的宽度，得到点$N'$；
3. 连接$M'N'$，分别与直线k交于点B、与直线l交于点C；
4. 过点B作$AB⊥ j$，垂足为A，过点C作$CD⊥ g$，垂足为D，此时AB、CD即为所求的两座桥，路径$M-A-B-C-D-N$最短。
【答案】
如图，两座桥AB，CD即为所求。
【知识点】
最短路径问题、平移的性质、两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型应用题型，通过平移转化将未知问题转化为已学的线段最短模型，重点考察转化思想的运用和动手作图的能力。
【难度系数】
0.6
7.如图，在$△ ABC$区域内，小羊从路边AB某点出发跑到水沟边AC喝水，然后跑向路边BC吃草，最后跑回到出发点处休息，为使所跑总路程最短，小羊应从AB边上的哪一点出发？又按怎样的路线奔跑？
答案
7. 解 如图①,在 AB 上取一点 P.作点 P 关于 AC 的对称点 P',关于 BC 的对称点 P'',连接 CP,CP',CP'',P'P'',P'P''交 AC 于点 K,交 BC 于点 T,
由对称性可知,CP'=CP=CP'',∠P'CA=∠PCA,∠P''CB=∠PCB,PK=P'K,PT=P''T,
∴PK+KT+PT=P'K+KT+P''T.
∵P',K,T,P''共线,
∴从点 P 出发,此时 PK+KT+PT=P'P''最小.
∵∠P'CA=∠PCA,∠P''CB=∠PCB,
∴∠P'CA+∠P''CB=∠PCA+∠PCB=∠ACB,
∴∠P'CP''=2∠ACB,
∴△P'CP''是顶角固定的等腰三角形.
当腰长最小时,底边 P'P''最小,即当CP 最小时,小羊奔跑的路线最短,如图②,
∴过点 C 作 AB 的垂线,垂足 P 即为小羊出发的点,此时沿路线 P→K→T→P 奔跑,所跑总路程最短.
解析
【分析】
解决这道三角形内最短闭合路径问题，可按两步思考：第一步先固定AB上的出发点P，要找从P出发经AC、BC再返回P的最短路径，可利用轴对称性质将折线路径转化为两点之间的线段，根据“两点之间线段最短”得到固定P时的最短路径长度；第二步分析该最短长度和P点位置的关系，发现路径长度由CP的长度决定，再根据“垂线段最短”找到CP最小时P的位置，即可得到最优解。
【解析】
1. 在AB边上任取一点P，分别作点P关于AC的对称点$P'$，关于BC的对称点$P''$，连接$CP、CP'、CP''、P'P''$，设$P'P''$与AC交于点K，与BC交于点T。
2. 由轴对称性质可得：$CP'=CP=CP''$，$∠ P'CA=∠ PCA$，$∠ P''CB=∠ PCB$，$PK=P'K$，$PT=P''T$，因此总路程$PK+KT+PT=P'K+KT+P''T$。
3. 根据“两点之间线段最短”，当$P'、K、T、P''$四点共线时，$P'K+KT+P''T$的长度最小，等于$P'P''$，即固定点P时，最短路径为$P\to K\to T\to P$，总路程为$P'P''$。
4. 推导角的关系可得：$∠ P'CP''=∠ P'CA+∠ ACB+∠ P''CB=∠ PCA+∠ ACB+∠ PCB=2∠ ACB$，即$△ P'CP''$是顶角固定为$2∠ ACB$的等腰三角形，其底边$P'P''$的长度随腰长$CP$的减小而减小。
5. 根据“垂线段最短”，当$CP⊥ AB$时，$CP$的长度最小，此时底边$P'P''$最短，即总路程最短。
【答案】
小羊应从过点C作AB的垂线的垂足P点出发，沿路线$P\to K\to T\to P$奔跑，所跑总路程最短。
如图①,在 AB 上取一点 P.作点 P 关于 AC 的对称点 P',关于 BC 的对称点 P'',连接 CP,CP',CP'',P'P'',P'P''交 AC 于点 K,交 BC 于点 T,
由对称性可知,CP'=CP=CP'',∠P'CA=∠PCA,∠P''CB=∠PCB,PK=P'K,PT=P''T,
∴PK+KT+PT=P'K+KT+P''T.
∵P',K,T,P''共线,
∴从点 P 出发,此时 PK+KT+PT=P'P''最小.
∵∠P'CA=∠PCA,∠P''CB=∠PCB,
∴∠P'CA+∠P''CB=∠PCA+∠PCB=∠ACB,
∴∠P'CP''=2∠ACB,
∴△P'CP''是顶角固定的等腰三角形.
当腰长最小时,底边 P'P''最小,即当CP 最小时,小羊奔跑的路线最短,如图②,
∴过点 C 作 AB 的垂线,垂足 P 即为小羊出发的点,此时沿路线 P→K→T→P 奔跑,所跑总路程最短.
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，垂线段最短
【点评】
本题是最短路径的变式应用，核心是通过轴对称变换将折线路径转化为直线段，再结合等腰三角形的性质和垂线段最短的结论找到最优方案，侧重考查转化思想的运用，需要学生灵活迁移基础的最短路径模型解决新问题。
【难度系数】
0.4
解决这道三角形内最短闭合路径问题，可按两步思考：第一步先固定AB上的出发点P，要找从P出发经AC、BC再返回P的最短路径，可利用轴对称性质将折线路径转化为两点之间的线段，根据“两点之间线段最短”得到固定P时的最短路径长度；第二步分析该最短长度和P点位置的关系，发现路径长度由CP的长度决定，再根据“垂线段最短”找到CP最小时P的位置，即可得到最优解。
【解析】
1. 在AB边上任取一点P，分别作点P关于AC的对称点$P'$，关于BC的对称点$P''$，连接$CP、CP'、CP''、P'P''$，设$P'P''$与AC交于点K，与BC交于点T。
2. 由轴对称性质可得：$CP'=CP=CP''$，$∠ P'CA=∠ PCA$，$∠ P''CB=∠ PCB$，$PK=P'K$，$PT=P''T$，因此总路程$PK+KT+PT=P'K+KT+P''T$。
3. 根据“两点之间线段最短”，当$P'、K、T、P''$四点共线时，$P'K+KT+P''T$的长度最小，等于$P'P''$，即固定点P时，最短路径为$P\to K\to T\to P$，总路程为$P'P''$。
4. 推导角的关系可得：$∠ P'CP''=∠ P'CA+∠ ACB+∠ P''CB=∠ PCA+∠ ACB+∠ PCB=2∠ ACB$，即$△ P'CP''$是顶角固定为$2∠ ACB$的等腰三角形，其底边$P'P''$的长度随腰长$CP$的减小而减小。
5. 根据“垂线段最短”，当$CP⊥ AB$时，$CP$的长度最小，此时底边$P'P''$最短，即总路程最短。
【答案】
小羊应从过点C作AB的垂线的垂足P点出发，沿路线$P\to K\to T\to P$奔跑，所跑总路程最短。
如图①,在 AB 上取一点 P.作点 P 关于 AC 的对称点 P',关于 BC 的对称点 P'',连接 CP,CP',CP'',P'P'',P'P''交 AC 于点 K,交 BC 于点 T,
由对称性可知,CP'=CP=CP'',∠P'CA=∠PCA,∠P''CB=∠PCB,PK=P'K,PT=P''T,
∴PK+KT+PT=P'K+KT+P''T.
∵P',K,T,P''共线,
∴从点 P 出发,此时 PK+KT+PT=P'P''最小.
∵∠P'CA=∠PCA,∠P''CB=∠PCB,
∴∠P'CA+∠P''CB=∠PCA+∠PCB=∠ACB,
∴∠P'CP''=2∠ACB,
∴△P'CP''是顶角固定的等腰三角形.
当腰长最小时,底边 P'P''最小,即当CP 最小时,小羊奔跑的路线最短,如图②,
∴过点 C 作 AB 的垂线,垂足 P 即为小羊出发的点,此时沿路线 P→K→T→P 奔跑,所跑总路程最短.
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，垂线段最短
【点评】
本题是最短路径的变式应用，核心是通过轴对称变换将折线路径转化为直线段，再结合等腰三角形的性质和垂线段最短的结论找到最优方案，侧重考查转化思想的运用，需要学生灵活迁移基础的最短路径模型解决新问题。
【难度系数】
0.4
