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典例3 如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ CAB$,$BD ⊥ AD$,$DE // AC$. 求证 $AE = BE$.
答案
典例3
证明 $\because DE// AC$,
$\therefore ∠ CAD=∠ ADE$.
$\because AD$平分$∠ CAB$,$\therefore ∠ CAD=∠ EAD$,$\therefore ∠ EAD=∠ ADE$,$\therefore AE=ED$.
$\because BD⊥ AD$,$\therefore ∠ ADE+∠ EDB=90°$,$∠ DAB+∠ ABD=90°$.
又$∠ ADE=∠ DAB$,
$\therefore ∠ EDB=∠ ABD$,$\therefore DE=BE$,
$\therefore AE=BE$.
证明 $\because DE// AC$,
$\therefore ∠ CAD=∠ ADE$.
$\because AD$平分$∠ CAB$,$\therefore ∠ CAD=∠ EAD$,$\therefore ∠ EAD=∠ ADE$,$\therefore AE=ED$.
$\because BD⊥ AD$,$\therefore ∠ ADE+∠ EDB=90°$,$∠ DAB+∠ ABD=90°$.
又$∠ ADE=∠ DAB$,
$\therefore ∠ EDB=∠ ABD$,$\therefore DE=BE$,
$\therefore AE=BE$.
解析
【分析】
要证明AE=BE，可通过等线段代换的思路推导：首先结合已知的DE//AC和AD平分∠CAB，推导得到角相等，进而推出AE=DE；再利用BD⊥AD的垂直关系，通过等角的余角相等推导角相等，得到DE=BE，最后通过等量代换即可证得AE=BE。
【解析】
证明：
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ CAD=∠ ADE$。
∵ $AD$平分$∠ CAB$，
∴ $∠ CAD=∠ EAD$，
∴ $∠ EAD=∠ ADE$，
∴ $AE=ED$。
∵ $BD⊥ AD$，
∴ $∠ ADE+∠ EDB=90°$，$∠ DAB+∠ ABD=90°$。
又$∠ ADE=∠ DAB$，
∴ $∠ EDB=∠ ABD$，
∴ $DE=BE$，
∴ $AE=BE$。
【答案】
$AE=BE$，命题得证。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是找到中间线段DE搭建AE和BE的等量关系，解题时需熟练运用角的等量关系推导边的等量关系，是线段相等证明类的典型基础题型。
【难度系数】
0.75
要证明AE=BE，可通过等线段代换的思路推导：首先结合已知的DE//AC和AD平分∠CAB，推导得到角相等，进而推出AE=DE；再利用BD⊥AD的垂直关系，通过等角的余角相等推导角相等，得到DE=BE，最后通过等量代换即可证得AE=BE。
【解析】
证明：
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ CAD=∠ ADE$。
∵ $AD$平分$∠ CAB$，
∴ $∠ CAD=∠ EAD$，
∴ $∠ EAD=∠ ADE$，
∴ $AE=ED$。
∵ $BD⊥ AD$，
∴ $∠ ADE+∠ EDB=90°$，$∠ DAB+∠ ABD=90°$。
又$∠ ADE=∠ DAB$，
∴ $∠ EDB=∠ ABD$，
∴ $DE=BE$，
∴ $AE=BE$。
【答案】
$AE=BE$，命题得证。
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是找到中间线段DE搭建AE和BE的等量关系，解题时需熟练运用角的等量关系推导边的等量关系，是线段相等证明类的典型基础题型。
【难度系数】
0.75
典例4 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，$D$，$F$分别为$AB$，$AC$的中点，且$DE ⊥ AB$，$FG ⊥ AC$，点$E$，$G$在$BC$上，$BC=18\ \mathrm{cm}$，求线段$EG$的长。
答案
典例4
解 如图,连接$AE$,$AG$.
$\because D$为$AB$中点,$ED⊥ AB$,$\therefore EB=EA$,$\therefore △ ABE$为等腰三角形.同理$△ AGC$为等腰三角形.$\because ∠ BAC=120°$,$AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C=30°$,$\therefore ∠ BAE=30°$,
$\therefore ∠ AEG=60°$.同理$∠ AGE=60°$,
$\therefore △ AEG$为等边三角形,
$\therefore AE=EG=AG$.
$\because AE=BE$,$AG=GC$,$\therefore BE=EG=GC$.
$\because BE+EG+GC=BC=18\ \mathrm{cm}$,
$\therefore EG=6\ \mathrm{cm}$.
解 如图,连接$AE$,$AG$.
$\because D$为$AB$中点,$ED⊥ AB$,$\therefore EB=EA$,$\therefore △ ABE$为等腰三角形.同理$△ AGC$为等腰三角形.$\because ∠ BAC=120°$,$AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C=30°$,$\therefore ∠ BAE=30°$,
$\therefore ∠ AEG=60°$.同理$∠ AGE=60°$,
$\therefore △ AEG$为等边三角形,
$\therefore AE=EG=AG$.
$\because AE=BE$,$AG=GC$,$\therefore BE=EG=GC$.
$\because BE+EG+GC=BC=18\ \mathrm{cm}$,
$\therefore EG=6\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：DE垂直AB且D是AB中点，可知DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质可推出EB=EA；同理FG是AC的垂直平分线，可得GC=GA。接下来结合AB=AC、∠BAC=120°，可算出底角∠B=∠C=30°，进而推出∠BAE=∠CAG=30°，可得到∠AEG、∠AGE均为60°，判断△AEG是等边三角形，即AE=EG=AG，也就得到BE=EG=GC，最后结合BC的长度即可求出EG的长度。
【解析】
连接$AE$，$AG$。
$\because D$为$AB$中点，$ED⊥ AB$，
$\therefore DE$是线段$AB$的垂直平分线，
$\therefore EB=EA$，$△ ABE$为等腰三角形。
同理可得，$FG$是线段$AC$的垂直平分线，$△ AGC$为等腰三角形，$AG=GC$。
$\because AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
$\therefore ∠ B=∠ C=(180°-120°)÷2=30°$，
$\therefore ∠ BAE=∠ B=30°$，
$\therefore ∠ AEG=∠ B+∠ BAE=30°+30°=60°$。
同理可得$∠ AGE=60°$，
$\therefore ∠ EAG=180°-60°-60°=60°$，即$△ AEG$三个内角均为$60°$，
$\therefore △ AEG$为等边三角形，
$\therefore AE=EG=AG$。
又$\because AE=BE$，$AG=GC$，
$\therefore BE=EG=GC$。
$\because BE+EG+GC=BC=18\ \mathrm{cm}$，
$\therefore 3EG=18\ \mathrm{cm}$，解得$EG=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的关键是根据垂直平分线的性质添加辅助线，转化边的关系，通过判定等边三角形得到BC被三等分的结论，进而求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：DE垂直AB且D是AB中点，可知DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质可推出EB=EA；同理FG是AC的垂直平分线，可得GC=GA。接下来结合AB=AC、∠BAC=120°，可算出底角∠B=∠C=30°，进而推出∠BAE=∠CAG=30°，可得到∠AEG、∠AGE均为60°，判断△AEG是等边三角形，即AE=EG=AG，也就得到BE=EG=GC，最后结合BC的长度即可求出EG的长度。
【解析】
连接$AE$，$AG$。
$\because D$为$AB$中点，$ED⊥ AB$，
$\therefore DE$是线段$AB$的垂直平分线，
$\therefore EB=EA$，$△ ABE$为等腰三角形。
同理可得，$FG$是线段$AC$的垂直平分线，$△ AGC$为等腰三角形，$AG=GC$。
$\because AB=AC$，$∠ BAC=120°$，
$\therefore ∠ B=∠ C=(180°-120°)÷2=30°$，
$\therefore ∠ BAE=∠ B=30°$，
$\therefore ∠ AEG=∠ B+∠ BAE=30°+30°=60°$。
同理可得$∠ AGE=60°$，
$\therefore ∠ EAG=180°-60°-60°=60°$，即$△ AEG$三个内角均为$60°$，
$\therefore △ AEG$为等边三角形，
$\therefore AE=EG=AG$。
又$\because AE=BE$，$AG=GC$，
$\therefore BE=EG=GC$。
$\because BE+EG+GC=BC=18\ \mathrm{cm}$，
$\therefore 3EG=18\ \mathrm{cm}$，解得$EG=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的关键是根据垂直平分线的性质添加辅助线，转化边的关系，通过判定等边三角形得到BC被三等分的结论，进而求解。
【难度系数】
0.7
典例5 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=30°$,$DE$垂直平分$AC$,点$O$在$DE$上,$∠ OAB=∠ OBA$.
(1)求证:$△ OAB$是等边三角形.
(2)若$OD=2$,$OE=4$,求$BE$的长.
典例解析
典例1
答案 A
解析 由题意可知,只有选项A的图形能找到一条直线,使图形沿这条直线对折后两边能完全重合,故选项A最接近轴对称图形,选项B,C,D不是轴对称图形.故选A.
典例2
答案 D
解析 如图,连接$AD$,$DE$,$DF$.
$\because$点$E$和点$F$分别是点$D$关于$AB$和$AC$的对称点,$\therefore ∠ EAB=∠ BAD$,$∠ FAC=∠ CAD$.
$\because ∠ B=62°$,$∠ C=51°$,
$\therefore ∠ BAC=∠ BAD+∠ DAC=180°-62°-51°=67°$,
$\therefore ∠ EAF=∠ EAB+∠ BAD+∠ DAC+∠ CAF=2∠ BAC=134°$.
故选 D.
典例3
证明 $\because DE// AC$,
$\therefore ∠ CAD=∠ ADE$.
$\because AD$平分$∠ CAB$,$\therefore ∠ CAD=∠ EAD$,$\therefore ∠ EAD=∠ ADE$,$\therefore AE=ED$.
$\because BD⊥ AD$,$\therefore ∠ ADE+∠ EDB=90°$,$∠ DAB+∠ ABD=90°$.
又$∠ ADE=∠ DAB$,
$\therefore ∠ EDB=∠ ABD$,$\therefore DE=BE$,
$\therefore AE=BE$.
典例4
解 如图,连接$AE$,$AG$.
$\because D$为$AB$中点,$ED⊥ AB$,$\therefore EB=EA$,$\therefore △ ABE$为等腰三角形.同理$△ AGC$为等腰三角形.$\because ∠ BAC=120°$,$AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C=30°$,$\therefore ∠ BAE=30°$,
$\therefore ∠ AEG=60°$.同理$∠ AGE=60°$,
$\therefore △ AEG$为等边三角形,
$\therefore AE=EG=AG$.
$\because AE=BE$,$AG=GC$,$\therefore BE=EG=GC$.
$\because BE+EG+GC=BC=18\ \mathrm{cm}$,
$\therefore EG=6\ \mathrm{cm}$.
典例5
(1)证明 $\because DE$垂直平分$AC$,$\therefore OA=OC$,$∠ OAC=∠ OCA$.$\because ∠ OAB=∠ OBA$,
$\therefore OA=OB$,$\therefore OC=OB$,$\therefore ∠ OBC=∠ OCB$.$\because ∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=30°$,
$\therefore ∠ OAC+∠ OBC=30°$,
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}(180°-2×30°)=60°$,$\therefore △ OAB$是等边三角形.
(2)解 过点$O$作$OF⊥ BC$于点$F$(图略),$\because OD=2$,$OE=4$,$\therefore DE=OD+OE=6$.$\because ∠ ACB=30°$,$∠ CDE=90°$,$\therefore CE=2DE=12$,$∠ CED=60°$,$\therefore ∠ EOF=30°$,
$\therefore EF=\frac{1}{2}OE=2$,$\therefore CF=10$.
$\because OC=OB$,$OF⊥ BC$,$\therefore BC=2CF=20$,$\therefore BE=BC-CE=20-12=8$.
(1)求证:$△ OAB$是等边三角形.
(2)若$OD=2$,$OE=4$,求$BE$的长.
典例解析
典例1
答案 A
解析 由题意可知,只有选项A的图形能找到一条直线,使图形沿这条直线对折后两边能完全重合,故选项A最接近轴对称图形,选项B,C,D不是轴对称图形.故选A.
典例2
答案 D
解析 如图,连接$AD$,$DE$,$DF$.
$\because$点$E$和点$F$分别是点$D$关于$AB$和$AC$的对称点,$\therefore ∠ EAB=∠ BAD$,$∠ FAC=∠ CAD$.
$\because ∠ B=62°$,$∠ C=51°$,
$\therefore ∠ BAC=∠ BAD+∠ DAC=180°-62°-51°=67°$,
$\therefore ∠ EAF=∠ EAB+∠ BAD+∠ DAC+∠ CAF=2∠ BAC=134°$.
故选 D.
典例3
证明 $\because DE// AC$,
$\therefore ∠ CAD=∠ ADE$.
$\because AD$平分$∠ CAB$,$\therefore ∠ CAD=∠ EAD$,$\therefore ∠ EAD=∠ ADE$,$\therefore AE=ED$.
$\because BD⊥ AD$,$\therefore ∠ ADE+∠ EDB=90°$,$∠ DAB+∠ ABD=90°$.
又$∠ ADE=∠ DAB$,
$\therefore ∠ EDB=∠ ABD$,$\therefore DE=BE$,
$\therefore AE=BE$.
典例4
解 如图,连接$AE$,$AG$.
$\because D$为$AB$中点,$ED⊥ AB$,$\therefore EB=EA$,$\therefore △ ABE$为等腰三角形.同理$△ AGC$为等腰三角形.$\because ∠ BAC=120°$,$AB=AC$,
$\therefore ∠ B=∠ C=30°$,$\therefore ∠ BAE=30°$,
$\therefore ∠ AEG=60°$.同理$∠ AGE=60°$,
$\therefore △ AEG$为等边三角形,
$\therefore AE=EG=AG$.
$\because AE=BE$,$AG=GC$,$\therefore BE=EG=GC$.
$\because BE+EG+GC=BC=18\ \mathrm{cm}$,
$\therefore EG=6\ \mathrm{cm}$.
典例5
(1)证明 $\because DE$垂直平分$AC$,$\therefore OA=OC$,$∠ OAC=∠ OCA$.$\because ∠ OAB=∠ OBA$,
$\therefore OA=OB$,$\therefore OC=OB$,$\therefore ∠ OBC=∠ OCB$.$\because ∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=30°$,
$\therefore ∠ OAC+∠ OBC=30°$,
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}(180°-2×30°)=60°$,$\therefore △ OAB$是等边三角形.
(2)解 过点$O$作$OF⊥ BC$于点$F$(图略),$\because OD=2$,$OE=4$,$\therefore DE=OD+OE=6$.$\because ∠ ACB=30°$,$∠ CDE=90°$,$\therefore CE=2DE=12$,$∠ CED=60°$,$\therefore ∠ EOF=30°$,
$\therefore EF=\frac{1}{2}OE=2$,$\therefore CF=10$.
$\because OC=OB$,$OF⊥ BC$,$\therefore BC=2CF=20$,$\therefore BE=BC-CE=20-12=8$.
答案
典例5
(1)证明 $\because DE$垂直平分$AC$,$\therefore OA=OC$,$∠ OAC=∠ OCA$.$\because ∠ OAB=∠ OBA$,
$\therefore OA=OB$,$\therefore OC=OB$,$\therefore ∠ OBC=∠ OCB$.$\because ∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=30°$,
$\therefore ∠ OAC+∠ OBC=30°$,
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}(180°-2×30°)=60°$,$\therefore △ OAB$是等边三角形.
(2)解 过点$O$作$OF⊥ BC$于点$F$(图略),$\because OD=2$,$OE=4$,$\therefore DE=OD+OE=6$.$\because ∠ ACB=30°$,$∠ CDE=90°$,$\therefore CE=2DE=12$,$∠ CED=60°$,$\therefore ∠ EOF=30°$,
$\therefore EF=\frac{1}{2}OE=2$,$\therefore CF=10$.
$\because OC=OB$,$OF⊥ BC$,$\therefore BC=2CF=20$,$\therefore BE=BC-CE=20-12=8$.
(1)证明 $\because DE$垂直平分$AC$,$\therefore OA=OC$,$∠ OAC=∠ OCA$.$\because ∠ OAB=∠ OBA$,
$\therefore OA=OB$,$\therefore OC=OB$,$\therefore ∠ OBC=∠ OCB$.$\because ∠ ACB=∠ OCA+∠ OCB=30°$,
$\therefore ∠ OAC+∠ OBC=30°$,
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA=\frac{1}{2}(180°-2×30°)=60°$,$\therefore △ OAB$是等边三角形.
(2)解 过点$O$作$OF⊥ BC$于点$F$(图略),$\because OD=2$,$OE=4$,$\therefore DE=OD+OE=6$.$\because ∠ ACB=30°$,$∠ CDE=90°$,$\therefore CE=2DE=12$,$∠ CED=60°$,$\therefore ∠ EOF=30°$,
$\therefore EF=\frac{1}{2}OE=2$,$\therefore CF=10$.
$\because OC=OB$,$OF⊥ BC$,$\therefore BC=2CF=20$,$\therefore BE=BC-CE=20-12=8$.
解析
【分析】
(1) 要证明△OAB是等边三角形，已知∠OAB=∠OBA，说明△OAB已经是等腰三角形，只需再证明其中一个内角为60°即可。首先利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC，结合∠OAB=∠OBA可推出OA=OB，进而得到OB=OC，得到对应角相等的关系，再结合∠ACB=30°，通过三角形内角和计算出∠OAB=60°即可完成证明。
(2) 要求BE的长，首先利用含30°角的直角三角形的性质求出CE的长度，再作辅助线OF⊥BC，再次利用30°角的直角三角形性质求出EF的长，进而得到CF的长，最后利用等腰三角形三线合一的性质求出BC的总长度，用BC减去CE即可得到BE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE垂直平分AC，
∴ OA=OC，∠OAC=∠OCA。
∵ ∠OAB=∠OBA，
∴ OA=OB，
∴ OC=OB，
∴ ∠OBC=∠OCB。
∵ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=30°，
∴ ∠OAC+∠OBC=30°，
∴ ∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}(180°-2×30°)=60°$，
∴ △OAB是等边三角形。
(2) 解：
过点O作OF⊥BC于点F，
∵ OD=2，OE=4，
∴ DE=OD+OE=6。
∵ ∠ACB=30°，∠CDE=90°，
∴ CE=2DE=12，∠CED=60°，
∴ ∠EOF=30°，
∴ EF=$\frac{1}{2}$OE=2，
∴ CF=CE-EF=12-2=10。
∵ OC=OB，OF⊥BC，
∴ BC=2CF=20，
∴ BE=BC-CE=20-12=8。
【答案】
(1) △OAB是等边三角形，证明成立；
(2) BE的长为8。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了几何中常见的线段、角等量转化的方法，解题的关键是灵活运用特殊三角形的性质，合理构造辅助线搭建已知条件和所求量之间的联系，对提升几何综合分析能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△OAB是等边三角形，已知∠OAB=∠OBA，说明△OAB已经是等腰三角形，只需再证明其中一个内角为60°即可。首先利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC，结合∠OAB=∠OBA可推出OA=OB，进而得到OB=OC，得到对应角相等的关系，再结合∠ACB=30°，通过三角形内角和计算出∠OAB=60°即可完成证明。
(2) 要求BE的长，首先利用含30°角的直角三角形的性质求出CE的长度，再作辅助线OF⊥BC，再次利用30°角的直角三角形性质求出EF的长，进而得到CF的长，最后利用等腰三角形三线合一的性质求出BC的总长度，用BC减去CE即可得到BE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE垂直平分AC，
∴ OA=OC，∠OAC=∠OCA。
∵ ∠OAB=∠OBA，
∴ OA=OB，
∴ OC=OB，
∴ ∠OBC=∠OCB。
∵ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=30°，
∴ ∠OAC+∠OBC=30°，
∴ ∠OAB=∠OBA=$\frac{1}{2}(180°-2×30°)=60°$，
∴ △OAB是等边三角形。
(2) 解：
过点O作OF⊥BC于点F，
∵ OD=2，OE=4，
∴ DE=OD+OE=6。
∵ ∠ACB=30°，∠CDE=90°，
∴ CE=2DE=12，∠CED=60°，
∴ ∠EOF=30°，
∴ EF=$\frac{1}{2}$OE=2，
∴ CF=CE-EF=12-2=10。
∵ OC=OB，OF⊥BC，
∴ BC=2CF=20，
∴ BE=BC-CE=20-12=8。
【答案】
(1) △OAB是等边三角形，证明成立；
(2) BE的长为8。
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了几何中常见的线段、角等量转化的方法，解题的关键是灵活运用特殊三角形的性质，合理构造辅助线搭建已知条件和所求量之间的联系，对提升几何综合分析能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.6
