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一、平方根的意义法
1. 解方程：$\frac{1}{2}x^2=2.$
1. 解方程：$\frac{1}{2}x^2=2.$
答案
1. 解:$\frac{1}{2}x^2=2$，两边同时乘以2，得$x^2=4$，根据平方根的意义，得$x=\pm2$，即$x_1=2,x_2=-2.$
解析
【分析】
这是一道不含一次项的一元二次方程求解题目，适合用平方根的意义（直接开平方法）解题。首先要先把方程中$x^2$的系数化为1，将方程整理为$x^2=a$的形式，再判断$a$的符号，若$a≥0$，就可以根据平方根的意义求出方程的两个根，注意不要遗漏负根。
【解析】
解：$\frac{1}{2}x^2=2$，
两边同时乘以2，得$x^2=4$，
根据平方根的意义，得$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$，
即$x_1=2,x_2=-2$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
1. 平方根的意义
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题关键是先将方程变形为$x^2=a(a≥0)$的形式，开平方时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.9
这是一道不含一次项的一元二次方程求解题目，适合用平方根的意义（直接开平方法）解题。首先要先把方程中$x^2$的系数化为1，将方程整理为$x^2=a$的形式，再判断$a$的符号，若$a≥0$，就可以根据平方根的意义求出方程的两个根，注意不要遗漏负根。
【解析】
解：$\frac{1}{2}x^2=2$，
两边同时乘以2，得$x^2=4$，
根据平方根的意义，得$x=\pm\sqrt{4}=\pm2$，
即$x_1=2,x_2=-2$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
1. 平方根的意义
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题关键是先将方程变形为$x^2=a(a≥0)$的形式，开平方时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.9
2. 解方程：$9-(x-1)^2=0.$
答案
2. 解:移项得$(x-1)^2=9$，开平方得$x-1=\pm3$，当$x-1=3$时,$x=4$;当$x-1=-3$时,$x=-2$;故方程的解为$x_1=4,x_2=-2.$
解析
【分析】
观察方程结构，可将$(x-1)$看作一个整体，先通过移项将方程变形为“完全平方式=非负常数”的形式，符合直接开平方法解一元二次方程的特征，接下来只需对等式两边开平方，转化为两个一元一次方程分别求解即可，注意开平方时要取正负两个值，避免漏解。
【解析】
解：移项得$(x-1)^2=9$，
开平方得$x-1=\pm3$，
当$x-1=3$时，解得$x=4$；
当$x-1=-3$时，解得$x=-2$。
故原方程的解为$x_1=4,x_2=-2$。
【答案】
$x_1=4,x_2=-2$
【知识点】
直接开平方法；平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心是利用整体思想将完全平方式看作整体求解，易错点是开平方时遗漏负的平方根导致漏解。
【难度系数】
0.8
观察方程结构，可将$(x-1)$看作一个整体，先通过移项将方程变形为“完全平方式=非负常数”的形式，符合直接开平方法解一元二次方程的特征，接下来只需对等式两边开平方，转化为两个一元一次方程分别求解即可，注意开平方时要取正负两个值，避免漏解。
【解析】
解：移项得$(x-1)^2=9$，
开平方得$x-1=\pm3$，
当$x-1=3$时，解得$x=4$；
当$x-1=-3$时，解得$x=-2$。
故原方程的解为$x_1=4,x_2=-2$。
【答案】
$x_1=4,x_2=-2$
【知识点】
直接开平方法；平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心是利用整体思想将完全平方式看作整体求解，易错点是开平方时遗漏负的平方根导致漏解。
【难度系数】
0.8
3. 解方程:$(x-2)^2=(2x+3)^2.$
答案
解:$\because (x-2)^2=(2x+3)^2$，$\therefore x-2=2x+3$ 或 $x-2=-(2x+3)$，解得$x_1=-5,x_2=-\frac{1}{3}.$
解析
【分析】
观察方程特征，等号两边都是完全平方式，根据平方根的性质：若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，因此可以将原一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，这种直接开平方的方法比展开整理成一般形式求解更简便，解题时注意不要遗漏互为相反数的情况，避免漏解。
【解析】
解：$\because (x-2)^2=(2x+3)^2$
$\therefore$ 根据平方根的性质，得 $x-2=2x+3$ 或 $x-2=-(2x+3)$
分别解这两个一元一次方程：
当$x-2=2x+3$时，移项得$x-2x=3+2$，合并同类项得$-x=5$，解得$x=-5$；
当$x-2=-(2x+3)$时，去括号得$x-2=-2x-3$，移项得$x+2x=-3+2$，合并同类项得$3x=-1$，解得$x=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$x_1=-5,x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 平方根的性质；2. 直接开平方法解一元二次方程；3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，针对两边均为完全平方式的方程，优先选用直接开平方法可简化计算，解题时需注意平方相等的两个数存在相等和互为相反数两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
观察方程特征，等号两边都是完全平方式，根据平方根的性质：若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，因此可以将原一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，这种直接开平方的方法比展开整理成一般形式求解更简便，解题时注意不要遗漏互为相反数的情况，避免漏解。
【解析】
解：$\because (x-2)^2=(2x+3)^2$
$\therefore$ 根据平方根的性质，得 $x-2=2x+3$ 或 $x-2=-(2x+3)$
分别解这两个一元一次方程：
当$x-2=2x+3$时，移项得$x-2x=3+2$，合并同类项得$-x=5$，解得$x=-5$；
当$x-2=-(2x+3)$时，去括号得$x-2=-2x-3$，移项得$x+2x=-3+2$，合并同类项得$3x=-1$，解得$x=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$x_1=-5,x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 平方根的性质；2. 直接开平方法解一元二次方程；3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，针对两边均为完全平方式的方程，优先选用直接开平方法可简化计算，解题时需注意平方相等的两个数存在相等和互为相反数两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
二、配方法
4.解方程：$2x^2 -4x -1=0$
4.解方程：$2x^2 -4x -1=0$
答案
4. 解:将二次项系数化为1,得$x^2-2x-\frac{1}{2}=0$，配方,得$x^2-2x+1-1-\frac{1}{2}=0$，$\therefore x^2-2x+1=\frac{3}{2}$，即$(x-1)^2=\frac{3}{2}$，$\therefore x-1=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，解得$x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}.$
解析
【分析】
本题要求用配方法解方程，解题思路如下：第一步先将二次项系数化为1，方便后续构造完全平方式，本题二次项系数为2，给方程两边同时除以2即可；第二步将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧转化为完全平方的形式；第三步对等式两边直接开平方，注意平方根有正负两种情况，最后分别求解得到方程的两个根即可。
【解析】
解：将二次项系数化为1，得$x^2 - 2x - \frac{1}{2} = 0$，
配方，得$x^2 - 2x + 1 - 1 - \frac{1}{2} = 0$，
$\therefore x^2 - 2x + 1 = \frac{3}{2}$，即$(x - 1)^2 = \frac{3}{2}$，
$\therefore x - 1 = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$，
解得$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}, x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}, x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，解题时需严格遵循配方法的操作步骤，特别注意配方时等式两边要同时加上一次项系数一半的平方，开平方时不要漏了负的平方根，掌握基础步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题要求用配方法解方程，解题思路如下：第一步先将二次项系数化为1，方便后续构造完全平方式，本题二次项系数为2，给方程两边同时除以2即可；第二步将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧转化为完全平方的形式；第三步对等式两边直接开平方，注意平方根有正负两种情况，最后分别求解得到方程的两个根即可。
【解析】
解：将二次项系数化为1，得$x^2 - 2x - \frac{1}{2} = 0$，
配方，得$x^2 - 2x + 1 - 1 - \frac{1}{2} = 0$，
$\therefore x^2 - 2x + 1 = \frac{3}{2}$，即$(x - 1)^2 = \frac{3}{2}$，
$\therefore x - 1 = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$，
解得$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}, x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}, x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，解题时需严格遵循配方法的操作步骤，特别注意配方时等式两边要同时加上一次项系数一半的平方，开平方时不要漏了负的平方根，掌握基础步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
5. 解方程：$\frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{3}x - 2 = 0.$
答案
5. 解:去分母,得$2x^2+x-6=0.$将二次项系数化为1,得$x^2+\frac{1}{2}x-3=0.$配方,得$x^2+\frac{1}{2}x+(\frac{1}{4})^2-(\frac{1}{4})^2-3=0.$即$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{49}{16}.$ $\therefore x+\frac{1}{4}=\pm\frac{7}{4}.$解得$x_1=\frac{3}{2},x_2=-2.$
解析
【分析】
原方程含有分数系数，直接计算易出错，首先可利用等式的性质去分母，将其转化为整系数的一元二次方程；若选择配方法求解，可先将二次项系数化为1，再给方程两边加上一次项系数一半的平方完成配方，最后通过直接开平方法即可求出方程的解。
【解析】
解：去分母，得$2x^2 + x - 6 = 0$，
将二次项系数化为1，得$x^2 + \frac{1}{2}x - 3 = 0$，
配方，得$x^2 + \frac{1}{2}x + (\frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2 - 3 = 0$，
即$(x + \frac{1}{4})^2 = \frac{49}{16}$，
$\therefore x + \frac{1}{4} = \pm \frac{7}{4}$，
解得$x_1 = \frac{3}{2}, x_2 = -2$。
【答案】
$x_1=\frac{3}{2},x_2=-2$
【知识点】
等式的性质、配方法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，解题时需注意去分母时不要漏乘常数项，配方时要保证变形前后等式的值不变，熟练掌握配方法的操作步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
原方程含有分数系数，直接计算易出错，首先可利用等式的性质去分母，将其转化为整系数的一元二次方程；若选择配方法求解，可先将二次项系数化为1，再给方程两边加上一次项系数一半的平方完成配方，最后通过直接开平方法即可求出方程的解。
【解析】
解：去分母，得$2x^2 + x - 6 = 0$，
将二次项系数化为1，得$x^2 + \frac{1}{2}x - 3 = 0$，
配方，得$x^2 + \frac{1}{2}x + (\frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2 - 3 = 0$，
即$(x + \frac{1}{4})^2 = \frac{49}{16}$，
$\therefore x + \frac{1}{4} = \pm \frac{7}{4}$，
解得$x_1 = \frac{3}{2}, x_2 = -2$。
【答案】
$x_1=\frac{3}{2},x_2=-2$
【知识点】
等式的性质、配方法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，解题时需注意去分母时不要漏乘常数项，配方时要保证变形前后等式的值不变，熟练掌握配方法的操作步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
三、公式法
6. (2025 厦门月考)解方程：$x^2 + x - 3 = 0.$
6. (2025 厦门月考)解方程：$x^2 + x - 3 = 0.$
答案
6. 解:$x^2+x-3=0$，$a=1,b=1,c=-3$，$b^2-4ac=1^2-4×1×(-3)=13$，$x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$，$x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}.$
解析
【分析】
本题要求用公式法解一元二次方程，解题思路如下：第一步，先确认方程是否为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，本题给出的方程已经是一般形式，可直接确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值；第二步，计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实数根，若$\Delta≥0$则有实根，若$\Delta＜0$则无实根；第三步，若有实根，将$a、b、\Delta$的值代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，计算即可得到方程的两个根。
【解析】
解：已知方程$x^2 + x - 3 = 0$是一元二次方程的一般形式，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-3$，
先计算根的判别式：
$\Delta=b^2-4ac=1^2 - 4×1×(-3)=1 + 12=13＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$，
即方程的两个根为：$x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程求根公式；根的判别式
【点评】
本题是基础运算题，重点考查对公式法解一元二次方程步骤的掌握，解题时需注意准确确定常数项的符号，避免判别式计算出错，熟记求根公式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
本题要求用公式法解一元二次方程，解题思路如下：第一步，先确认方程是否为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，本题给出的方程已经是一般形式，可直接确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值；第二步，计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实数根，若$\Delta≥0$则有实根，若$\Delta＜0$则无实根；第三步，若有实根，将$a、b、\Delta$的值代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，计算即可得到方程的两个根。
【解析】
解：已知方程$x^2 + x - 3 = 0$是一元二次方程的一般形式，
其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=1$，常数项$c=-3$，
先计算根的判别式：
$\Delta=b^2-4ac=1^2 - 4×1×(-3)=1 + 12=13＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$，
即方程的两个根为：$x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程求根公式；根的判别式
【点评】
本题是基础运算题，重点考查对公式法解一元二次方程步骤的掌握，解题时需注意准确确定常数项的符号，避免判别式计算出错，熟记求根公式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
7.解方程:$(2x-1)^2=4x.$
答案
7. 解:方程化为一般形式为$4x^2-8x+1=0.$ $\because a=4,b=-8,c=1$，$\therefore b^2-4ac=(-8)^2-4×4×1=48＞0$，$\therefore x=\frac{8\pm\sqrt{48}}{2×4}=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}$，解得$x_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}.$
解析
【分析】
要解该一元二次方程，首先需将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$。第一步先利用完全平方公式展开方程左侧的平方项，再通过移项、合并同类项得到一般式；之后确定系数$a、b、c$的取值，计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，若$\Delta＞0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后化简根式即可得到方程的解。
【解析】
解：先展开方程左边并整理为一般形式：
$(2x-1)^2=4x$
$4x^2-4x+1=4x$
移项合并同类项得：$4x^2-8x+1=0$
其中二次项系数$a=4$，一次项系数$b=-8$，常数项$c=1$，
计算根的判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4×4×1=64-16=48＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：
$x=\frac{-(-8)\pm\sqrt{48}}{2×4}=\frac{8\pm4\sqrt{3}}{8}=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}$
即$x_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
一元二次方程求根公式；根的判别式；完全平方公式
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，解题核心是先将原方程转化为标准一般形式，再按求根公式的解题步骤计算即可，计算过程中要注意系数符号，以及最终根式结果的化简，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.7
要解该一元二次方程，首先需将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$。第一步先利用完全平方公式展开方程左侧的平方项，再通过移项、合并同类项得到一般式；之后确定系数$a、b、c$的取值，计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断根的情况，若$\Delta＞0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后化简根式即可得到方程的解。
【解析】
解：先展开方程左边并整理为一般形式：
$(2x-1)^2=4x$
$4x^2-4x+1=4x$
移项合并同类项得：$4x^2-8x+1=0$
其中二次项系数$a=4$，一次项系数$b=-8$，常数项$c=1$，
计算根的判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4×4×1=64-16=48＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式得：
$x=\frac{-(-8)\pm\sqrt{48}}{2×4}=\frac{8\pm4\sqrt{3}}{8}=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}$
即$x_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
一元二次方程求根公式；根的判别式；完全平方公式
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，解题核心是先将原方程转化为标准一般形式，再按求根公式的解题步骤计算即可，计算过程中要注意系数符号，以及最终根式结果的化简，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.7
四、因式分解法
8. (2026 沈阳月考)解方程：$x(x-2)=x-2$。
8. (2026 沈阳月考)解方程：$x(x-2)=x-2$。
答案
8. 解:$x(x-2)=x-2$，$x(x-2)-(x-2)=0$，$(x-2)(x-1)=0$，$x-2=0$ 或 $x-1=0$，$x_1=2,x_2=1.$
解析
【分析】
本题用因式分解法求解方程，首先注意不能直接在方程两边同时除以$(x-2)$，否则会丢失$x=2$这个根。正确解题思路为：先移项使方程右边为0，再对左边的多项式提取公因式$(x-2)$，转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：移项，得$x(x-2)-(x-2)=0$，
提取公因式$(x-2)$，得$(x-2)(x-1)=0$，
$\therefore x-2=0$ 或 $x-1=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=2,x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查因式分解法的应用，解题时需注意不要直接两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的问题，熟练掌握提公因式分解因式的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题用因式分解法求解方程，首先注意不能直接在方程两边同时除以$(x-2)$，否则会丢失$x=2$这个根。正确解题思路为：先移项使方程右边为0，再对左边的多项式提取公因式$(x-2)$，转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的解。
【解析】
解：移项，得$x(x-2)-(x-2)=0$，
提取公因式$(x-2)$，得$(x-2)(x-1)=0$，
$\therefore x-2=0$ 或 $x-1=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=2,x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查因式分解法的应用，解题时需注意不要直接两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的问题，熟练掌握提公因式分解因式的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9.解方程:$2(x-3)^2=x^2-9.$
答案
9. 解:$\because 2(x-3)^2=x^2-9$，$\therefore 2(x-3)^2-(x+3)(x-3)=0$，则$(x-3)(x-9)=0$，$\therefore x-3=0$ 或 $x-9=0$，解得$x_1=3,x_2=9.$
解析
【分析】
观察方程结构，右边$x^2-9$符合平方差公式的形式，可分解为$(x+3)(x-3)$，左边含有$(x-3)^2$项，因此优先选择因式分解法求解，避免直接展开计算带来的麻烦。解题时先移项，将所有项移到等号左边，再提取公因式$(x-3)$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后分别令每个因式为0求解即可。
【解析】
解：$\because 2(x-3)^2=x^2-9$
将右边利用平方差公式分解后移项，得：
$2(x-3)^2-(x+3)(x-3)=0$
提取公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0$
化简括号内的代数式：
$2(x-3)-(x+3)=2x-6-x-3=x-9$
$\therefore$ 原方程可化为：$(x-3)(x-9)=0$
根据因式乘积为0的性质，得：
$x-3=0$ 或 $x-9=0$
分别解得：$x_1=3$，$x_2=9$
【答案】
$x_1=3,x_2=9$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，选用因式分解法可大幅简化计算过程，解题时注意先观察方程结构，选择最简便的解法，熟练掌握因式分解的相关公式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
观察方程结构，右边$x^2-9$符合平方差公式的形式，可分解为$(x+3)(x-3)$，左边含有$(x-3)^2$项，因此优先选择因式分解法求解，避免直接展开计算带来的麻烦。解题时先移项，将所有项移到等号左边，再提取公因式$(x-3)$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后分别令每个因式为0求解即可。
【解析】
解：$\because 2(x-3)^2=x^2-9$
将右边利用平方差公式分解后移项，得：
$2(x-3)^2-(x+3)(x-3)=0$
提取公因式$(x-3)$，得：
$(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0$
化简括号内的代数式：
$2(x-3)-(x+3)=2x-6-x-3=x-9$
$\therefore$ 原方程可化为：$(x-3)(x-9)=0$
根据因式乘积为0的性质，得：
$x-3=0$ 或 $x-9=0$
分别解得：$x_1=3$，$x_2=9$
【答案】
$x_1=3,x_2=9$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，选用因式分解法可大幅简化计算过程，解题时注意先观察方程结构，选择最简便的解法，熟练掌握因式分解的相关公式是解题的核心。
【难度系数】
0.8
10.解方程:$(x-1)(x+3)=12.$
答案
10. 解:原方程可化为$x^2+2x-15=0$，$\therefore (x+5)(x-3)=0$，$\therefore x+5=0$ 或 $x-3=0$，解得$x_1=-5,x_2=3.$
解析
【分析】
首先观察方程形式，左边是两个一次式的乘积，右边为常数12，不满足因式分解法“右侧为0”的要求，因此第一步需要先通过整式乘法展开左边，再移项将方程整理为一元二次方程的一般形式；接着观察整理后的方程，用十字相乘法对左边的二次三项式因式分解，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：展开方程左边的乘积：
$x^2 + 3x - x - 3 = 12$
合并同类项得：
$x^2 + 2x - 3 = 12$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + 2x - 15 = 0$
对左边二次三项式因式分解：
$(x + 5)(x - 3) = 0$
可得$x + 5 = 0$ 或 $x - 3 = 0$
分别解得：$x_1=-5,x_2=3$
【答案】
$x_1=-5,x_2=3$
【知识点】
一元二次方程解法，因式分解，整式乘法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时注意不能直接令左边两个一次式分别等于12的因数求解，必须先将方程整理为右侧为0的一般形式，本题用因式分解法计算比公式法更简便。
【难度系数】
0.8
首先观察方程形式，左边是两个一次式的乘积，右边为常数12，不满足因式分解法“右侧为0”的要求，因此第一步需要先通过整式乘法展开左边，再移项将方程整理为一元二次方程的一般形式；接着观察整理后的方程，用十字相乘法对左边的二次三项式因式分解，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：展开方程左边的乘积：
$x^2 + 3x - x - 3 = 12$
合并同类项得：
$x^2 + 2x - 3 = 12$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + 2x - 15 = 0$
对左边二次三项式因式分解：
$(x + 5)(x - 3) = 0$
可得$x + 5 = 0$ 或 $x - 3 = 0$
分别解得：$x_1=-5,x_2=3$
【答案】
$x_1=-5,x_2=3$
【知识点】
一元二次方程解法，因式分解，整式乘法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时注意不能直接令左边两个一次式分别等于12的因数求解，必须先将方程整理为右侧为0的一般形式，本题用因式分解法计算比公式法更简便。
【难度系数】
0.8
