3. 选择合适的方法解下列方程：
(1)$(1-x)^2=1$；
(2)$x(x+5)=24$；
(3)$3(x-5)^2=x^2-25$；
(4)$4x^2-3x-1=0$。

3. 解:(1)$x_1=0,x_2=2$.
(2)$x_1=-8,x_2=3$.
(3)$x_1=5,x_2=10$.
(4)$x_1=1,x_2=-\frac{1}{4}$.

【分析】
解一元二次方程需先观察方程结构，选择最优解法简化计算：
(1)方程左边是完全平方形式，右边为非负常数，适合用直接开平方法求解；
(2)先展开整理为一元二次方程一般式，观察系数特征适合用十字相乘法因式分解求解；
(3)右侧可利用平方差公式因式分解，左右两侧有公因式$(x-5)$，移项提公因式后用因式分解法求解更简便；
(4)为一元二次方程一般式，系数简单，适合用十字相乘法因式分解求解。
【解析】
(1) 对$(1-x)^2=1$直接开平方，得$1-x=\pm1$
当$1-x=1$时，解得$x=0$；当$1-x=-1$时，解得$x=2$
(2) 展开整理原方程得$x^2+5x-24=0$
十字相乘法因式分解得$(x+8)(x-3)=0$
则$x+8=0$或$x-3=0$，解得$x_1=-8,x_2=3$
(3) 右侧因式分解得$x^2-25=(x-5)(x+5)$，原方程化为$3(x-5)^2=(x-5)(x+5)$
移项得$3(x-5)^2-(x-5)(x+5)=0$，提公因式$(x-5)$得$(x-5)[3(x-5)-(x+5)]=0$
化简得$(x-5)(2x-20)=0$，则$x-5=0$或$2x-20=0$，解得$x_1=5,x_2=10$
(4) 对$4x^2-3x-1=0$十字相乘法因式分解得$(4x+1)(x-1)=0$
则$4x+1=0$或$x-1=0$，解得$x_1=1,x_2=-\frac{1}{4}$
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=2$
(2)$x_1=-8,x_2=3$
(3)$x_1=5,x_2=10$
(4)$x_1=1,x_2=-\frac{1}{4}$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解、直接开平方法
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，解题时优先根据方程特征选择简便解法，可有效提升解题效率和准确率，需注意因式分解的正确性，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.85

4. (2026银川期末)在解一元二次方程$x^2 -2x -8=0$时,小明的解法如下,请按要求完成下列问题.
第一步:$x^2 -2x=8$,
第二步:$x^2 -2x +1=8$,
第三步:$(x-1)^2=8$,
第四步:$x-1=2\sqrt{2}$或$x-1=-2\sqrt{2}$,
第五步:$x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$.
(1)小明第三步配方的依据是;
A.完全平方公式 B.平方差公式
C.多项式与多项式乘法法则
(2)上述解题过程中,第步开始出现错误,错误的原因是,此方程正确的解是;
(3)用合适的方法解方程:$2y^2 -9y +5=0$.

4. (1) A
(2) 二 没有给等号右边加1 $x_1=4,x_2=-2$
(3) 解:$2y^2-9y+5=0$,
$\because a=2,b=-9,c=5$,
$\therefore b^2-4ac=(-9)^2-4×2×5=41$,
$\therefore y=\frac{-(-9)\pm\sqrt{41}}{2×2}$,
$\therefore y_1=\frac{9+\sqrt{41}}{4},y_2=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$.

【分析】
(1) 首先回忆配方的原理：将二次三项式转化为完全平方的形式，用到的是完全平方公式，据此判断选项即可；
(2) 回顾配方法解一元二次方程的规则：移项后需要在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，保证等式仍成立，对比小明的解题步骤即可找到错误位置和原因，再按正确步骤求解得到方程的根；
(3) 观察方程$2y^2 -9y +5=0$的系数，不易进行因式分解，因此选用公式法求解：先确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 第三步将$x^2-2x+1$变形为$(x-1)^2$，依据的是完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，故选A；
(2) 根据等式的基本性质，等式两边加上同一个数，等式仍成立。小明第二步仅在等式左边加了1，等号右边没有加1，因此从第二步开始出错；
正确解法如下：
移项得$x^2-2x=8$，
配方得$x^2-2x+1=8+1$，即$(x-1)^2=9$，
开方得$x-1=3$或$x-1=-3$，
解得$x_1=4$，$x_2=-2$；
(3) 用公式法解方程$2y^2 -9y +5=0$：
这里$a=2$，$b=-9$，$c=5$，
先计算判别式：$\Delta =b^2-4ac=(-9)^2-4×2×5=81-40=41＞0$，
代入求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$y=\frac{-(-9)\pm\sqrt{41}}{2×2}=\frac{9\pm\sqrt{41}}{4}$，
即$y_1=\frac{9+\sqrt{41}}{4}$，$y_2=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$。
【答案】
(1) A
(2) 二；没有给等号右边加1；$x_1=4,x_2=-2$
(3) $y_1=\frac{9+\sqrt{41}}{4},y_2=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题围绕一元二次方程的解法设题，重点考查配方法的变形规则和公式法的应用，易错点是配方法时忽略等号右边也要加上相同的常数，熟练掌握一元二次方程的常见解法是解题的关键。
【难度系数】
0.7

5. (2026淮南月考)【阅读材料】方程$(x^2 -1)^2 -5(x^2 -1)+4=0$是一个一元四次方程，我们可以把$x^2 -1$看成一个整体，设$x^2 -1=y$，则原方程可化为$y^2 -5y +4=0$. ①
解方程①可得$y_1=1,y_2=4$.
当$y=1$时，$x^2 -1=1$，即$x^2=2$，$\therefore x=\pm\sqrt{2}$；
当$y=4$时，$x^2 -1=4$，即$x^2=5$，$\therefore x=\pm\sqrt{5}$.
$\therefore$原方程的解为$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2},x_3=\sqrt{5},x_4=-\sqrt{5}$.
【解决问题】
(1)方程$x^4 -16=0$的解为；
(2)已知$(x^2 + y^2 +1)(x^2 + y^2 +3)=8$，求$x^2 + y^2$的值；
(3)请仿照材料中的方法，解方程：$(x^2 -3x)^2 -6(x^2 -3x)=0$.

5. (1) $x_1=2,x_2=-2$
(2) 解:设$m=x^2+y^2$,则原方程可化为$(m+1)(m+3)=8$,
整理,得$m^2+4m-5=0$,
解得$m_1=-5,m_2=1$,
又$\because x^2+y^2≥0$,
$\therefore x^2+y^2=1$.
(3) 解:设$x^2-3x=y$,则原方程可化为$y^2-6y=0$,
解得$y_1=0,y_2=6$,
当$y=0$时,$x^2-3x=0$,解得$x_1=0,x_2=3$,
当$y=6$时,$x^2-3x=6$,解得$x_3=\frac{3-\sqrt{33}}{2},x_4=\frac{3+\sqrt{33}}{2}$,
$\therefore$原方程的解为$x_1=0,x_2=3,x_3=\frac{3-\sqrt{33}}{2},x_4=\frac{3+\sqrt{33}}{2}$.

【分析】
本题运用整体换元的思想，将高次方程或含有重复代数式的方程转化为我们熟悉的一元二次方程求解，降低解题难度：
(1) 把$x^4$看成$(x^2)^2$，设$x^2=y$，将四次方程降为二次方程求解，注意$x^2$是非负数，舍去负根后再求$x$的值；
(2) 把$x^2+y^2$看作整体设为$m$，结合$x^2+y^2$的非负性，转化为关于$m$的一元二次方程求解，最后舍去不符合取值范围的根；
(3) 仿照材料方法，把$x^2-3x$设为$y$，先解关于$y$的一元二次方程，再分别代入求解关于$x$的一元二次方程，即可得到原方程的所有解。
【解析】
(1) 方程$x^4 -16=0$可变形为$(x^2)^2 -16=0$，
设$x^2=y$（$y≥0$），则方程化为$y^2 -16=0$，
解得$y_1=4$，$y_2=-4$（不符合$y≥0$，舍去），
$\therefore x^2=4$，解得$x_1=2$，$x_2=-2$。
(2) 设$m=x^2+y^2$（$m≥0$），则原方程可化为$(m+1)(m+3)=8$，
展开整理得：$m^2+4m-5=0$，
因式分解得$(m+5)(m-1)=0$，
解得$m_1=-5$，$m_2=1$，
$\because m=x^2+y^2≥0$，$\therefore m=-5$舍去，
$\therefore x^2+y^2=1$。
(3) 设$x^2-3x=y$，则原方程可化为$y^2 -6y=0$，
因式分解得$y(y-6)=0$，解得$y_1=0$，$y_2=6$。
当$y=0$时，$x^2-3x=0$，即$x(x-3)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=3$；
当$y=6$时，$x^2-3x=6$，即$x^2-3x-6=0$，
由求根公式得$x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×1×(-6)}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{33}}{2}$，
即$x_3=\frac{3-\sqrt{33}}{2}$，$x_4=\frac{3+\sqrt{33}}{2}$。
综上，原方程的解为$x_1=0,x_2=3,x_3=\frac{3-\sqrt{33}}{2},x_4=\frac{3+\sqrt{33}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=-2$
(2) $x^2+y^2=1$
(3) $x_1=0,x_2=3,x_3=\frac{3-\sqrt{33}}{2},x_4=\frac{3+\sqrt{33}}{2}$
【知识点】
换元法解方程，一元二次方程的解法，平方的非负性
【点评】
本题重点考查转化思想在解方程中的应用，通过换元法将复杂方程转化为基础的一元二次方程求解，解题过程中要注意隐含的取值限制，对求解出的根要验证是否符合题意，合理取舍，能有效锻炼学生的逻辑思维和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7