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1. 配方的概念
当二次项系数为1时，将多项式加上一次项系数
当二次项系数为1时，将多项式加上一次项系数
绝对值的一半
的平方，再减去
这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法称为配方。答案
1. 绝对值的一半 减去
解析
【分析】
首先回忆完全平方公式的结构特征，完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。当二次项系数为1时，含未知数的部分一般是$x^2+mx$的形式，要把这部分凑成完全平方式，需要补充合适的常数项；同时要注意变形必须是恒等变形，即补充常数项后要保证多项式的值和原来相等，由此就能推导配方的操作步骤。
【解析】
对于二次项系数为1的多项式，例如$x^2+bx$：
1. 要将含未知数的项凑成完全平方式，根据完全平方公式，需要添加的常数项为$(\frac{b}{2})^2$，因为平方后正负不影响结果，也可以表述为一次项系数绝对值的一半的平方；
2. 为了保证多项式的值和原式相等，添加这个常数项后，必须再减去同一个数，这样变形才是恒等的。
因此两个空依次填入“绝对值的一半”和“减去”。
【答案】
绝对值的一半；减去
【知识点】
完全平方公式，配方法概念，恒等变形
【点评】
本题考查配方法的基础概念，是后续用配方法解一元二次方程、求解二次函数最值等内容的核心基础，需要准确记忆配方的操作规则，尤其要注意配方过程要保证恒等变形。
【难度系数】
0.9
首先回忆完全平方公式的结构特征，完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。当二次项系数为1时，含未知数的部分一般是$x^2+mx$的形式，要把这部分凑成完全平方式，需要补充合适的常数项；同时要注意变形必须是恒等变形，即补充常数项后要保证多项式的值和原来相等，由此就能推导配方的操作步骤。
【解析】
对于二次项系数为1的多项式，例如$x^2+bx$：
1. 要将含未知数的项凑成完全平方式，根据完全平方公式，需要添加的常数项为$(\frac{b}{2})^2$，因为平方后正负不影响结果，也可以表述为一次项系数绝对值的一半的平方；
2. 为了保证多项式的值和原式相等，添加这个常数项后，必须再减去同一个数，这样变形才是恒等的。
因此两个空依次填入“绝对值的一半”和“减去”。
【答案】
绝对值的一半；减去
【知识点】
完全平方公式，配方法概念，恒等变形
【点评】
本题考查配方法的基础概念，是后续用配方法解一元二次方程、求解二次函数最值等内容的核心基础，需要准确记忆配方的操作规则，尤其要注意配方过程要保证恒等变形。
【难度系数】
0.9
2. 配方法的概念
方程经配方、整理后就可以直接根据
来解.这种解一元二次方程的方
法叫作配方法.
方程经配方、整理后就可以直接根据
来解.这种解一元二次方程的方
法叫作配方法.
答案
2. 平方根的意义
解析
【分析】
这是考查配方法定义的基础概念题，解题时可先回忆配方法的操作流程：配方法解一元二次方程时，会先将方程整理为左边是完全平方式、右边是常数的形式，此时要降次求解，用到的就是平方根的相关性质：若一个数的平方等于非负数a，则这个数是a的平方根，可对等式两边同时开平方将二次方程转化为一次方程，由此就能确定空缺处的内容。
【解析】
配方法解一元二次方程的过程为：先将一元二次方程的二次项系数化为1，把常数项移到等号右侧，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程整理为$(x+m)^2=n$的形式；当$n≥0$时，就可以根据平方根的意义，对等式两边同时开平方，将二次方程降为一次方程求解，这种方法就叫作配方法。因此空缺处应填写平方根的意义。
【答案】
平方根的意义
【知识点】
配方法的概念；平方根的意义；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对配方法原理的理解和记忆，熟练掌握配方法的操作步骤和背后的逻辑就能轻松作答。
【难度系数】
0.9
这是考查配方法定义的基础概念题，解题时可先回忆配方法的操作流程：配方法解一元二次方程时，会先将方程整理为左边是完全平方式、右边是常数的形式，此时要降次求解，用到的就是平方根的相关性质：若一个数的平方等于非负数a，则这个数是a的平方根，可对等式两边同时开平方将二次方程转化为一次方程，由此就能确定空缺处的内容。
【解析】
配方法解一元二次方程的过程为：先将一元二次方程的二次项系数化为1，把常数项移到等号右侧，再给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程整理为$(x+m)^2=n$的形式；当$n≥0$时，就可以根据平方根的意义，对等式两边同时开平方，将二次方程降为一次方程求解，这种方法就叫作配方法。因此空缺处应填写平方根的意义。
【答案】
平方根的意义
【知识点】
配方法的概念；平方根的意义；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对配方法原理的理解和记忆，熟练掌握配方法的操作步骤和背后的逻辑就能轻松作答。
【难度系数】
0.9
【例1】填空：
(1)$x^2 -4x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$x^2 - \_\_\_\_\_\_x +16 = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(3)$x^2 +7x + \frac{49}{4} = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(4)$x^2 - \frac{2}{5}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
(1)$x^2 -4x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)$x^2 - \_\_\_\_\_\_x +16 = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(3)$x^2 +7x + \frac{49}{4} = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$；
(4)$x^2 - \frac{2}{5}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$。
答案
(1) 4 2
(2) 8 4
(3) $\frac{7}{2}$
(4) $\frac{1}{25}$ $\frac{1}{5}$
(2) 8 4
(3) $\frac{7}{2}$
(4) $\frac{1}{25}$ $\frac{1}{5}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的配方应用，解题核心是牢记完全平方公式的结构特征：$(x\pm a)^2=x^2\pm 2ax+a^2$。对于二次项系数为1的二次式，若要配成完全平方形式，需要添加的常数项是一次项系数一半的平方，反过来也可以通过常数项反推一次项系数和完全平方式里的常数项，按照这个规律逐个分析小问即可。
【解析】
根据完全平方公式$(x\pm a)^2=x^2\pm 2ax+a^2$逐一计算：
(1) 一次项系数为$-4$，其一半为$-2$，平方为$(-2)^2=4$，因此第一个空填$4$，第二个空填$2$，即$x^2-4x+4=(x-2)^2$；
(2) 常数项为$16$，即$a^2=16$，可得$a=4$（因为右侧是减号，取正值），则一次项系数为$2a=8$，因此第一个空填$8$，第二个空填$4$，即$x^2-8x+16=(x-4)^2$；
(3) 一次项系数为$7$，其一半为$\frac{7}{2}$，因此空内填$\frac{7}{2}$，即$x^2+7x+\frac{49}{4}=(x+\frac{7}{2})^2$；
(4) 一次项系数为$-\frac{2}{5}$，其一半为$-\frac{1}{5}$，平方为$(-\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}$，因此第一个空填$\frac{1}{25}$，第二个空填$\frac{1}{5}$，即$x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=(x-\frac{1}{5})^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{2}$
(2) $\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{4}$
(3) $\boldsymbol{\frac{7}{2}}$
(4) $\boldsymbol{\frac{1}{25}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{5}}$
【知识点】
完全平方公式、配方法
【点评】
本题是配方法的基础训练题，重点考查对完全平方公式结构的理解和运用，熟练掌握该知识点是后续学习解一元二次方程、二次函数最值等内容的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的配方应用，解题核心是牢记完全平方公式的结构特征：$(x\pm a)^2=x^2\pm 2ax+a^2$。对于二次项系数为1的二次式，若要配成完全平方形式，需要添加的常数项是一次项系数一半的平方，反过来也可以通过常数项反推一次项系数和完全平方式里的常数项，按照这个规律逐个分析小问即可。
【解析】
根据完全平方公式$(x\pm a)^2=x^2\pm 2ax+a^2$逐一计算：
(1) 一次项系数为$-4$，其一半为$-2$，平方为$(-2)^2=4$，因此第一个空填$4$，第二个空填$2$，即$x^2-4x+4=(x-2)^2$；
(2) 常数项为$16$，即$a^2=16$，可得$a=4$（因为右侧是减号，取正值），则一次项系数为$2a=8$，因此第一个空填$8$，第二个空填$4$，即$x^2-8x+16=(x-4)^2$；
(3) 一次项系数为$7$，其一半为$\frac{7}{2}$，因此空内填$\frac{7}{2}$，即$x^2+7x+\frac{49}{4}=(x+\frac{7}{2})^2$；
(4) 一次项系数为$-\frac{2}{5}$，其一半为$-\frac{1}{5}$，平方为$(-\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}$，因此第一个空填$\frac{1}{25}$，第二个空填$\frac{1}{5}$，即$x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=(x-\frac{1}{5})^2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{2}$
(2) $\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{4}$
(3) $\boldsymbol{\frac{7}{2}}$
(4) $\boldsymbol{\frac{1}{25}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{5}}$
【知识点】
完全平方公式、配方法
【点评】
本题是配方法的基础训练题，重点考查对完全平方公式结构的理解和运用，熟练掌握该知识点是后续学习解一元二次方程、二次函数最值等内容的重要基础。
【难度系数】
0.8
【变式】填空：$x^2 - \frac{1}{3}x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$
答案
$\frac{1}{36}$ $\frac{1}{6}$
解析
【分析】
本题考查完全平方差公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方差公式的展开形式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，本题中右边是$(x-□)^2$，对应公式里$a=x$，我们可以先根据左边一次项的系数求出第二个空的$b$值，再计算$b^2$得到第一个空需要填的常数项即可。
【解析】
根据完全平方差公式：$(x - m)^2 = x^2 - 2mx + m^2$
将题目中的式子和公式对应，可得一次项系数满足：$-2m = -\frac{1}{3}$
解得：$m = \frac{1}{6}$，即第二个空填$\frac{1}{6}$
再计算常数项：$m^2 = (\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$，即第一个空填$\frac{1}{36}$
【答案】
$\frac{1}{36}$；$\frac{1}{6}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，关键在于找准完全平方展开式中各项系数的对应关系，熟练掌握该类题型是后续用配方法求解一元二次方程的基础。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方差公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方差公式的展开形式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，本题中右边是$(x-□)^2$，对应公式里$a=x$，我们可以先根据左边一次项的系数求出第二个空的$b$值，再计算$b^2$得到第一个空需要填的常数项即可。
【解析】
根据完全平方差公式：$(x - m)^2 = x^2 - 2mx + m^2$
将题目中的式子和公式对应，可得一次项系数满足：$-2m = -\frac{1}{3}$
解得：$m = \frac{1}{6}$，即第二个空填$\frac{1}{6}$
再计算常数项：$m^2 = (\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$，即第一个空填$\frac{1}{36}$
【答案】
$\frac{1}{36}$；$\frac{1}{6}$
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，关键在于找准完全平方展开式中各项系数的对应关系，熟练掌握该类题型是后续用配方法求解一元二次方程的基础。
【难度系数】
0.8
【例2】用配方法解下列方程：
(1)$x^2 + 4x = 2$；
(2)$x^2 - 3x - \frac{7}{4} = 0$。
(1)$x^2 + 4x = 2$；
(2)$x^2 - 3x - \frac{7}{4} = 0$。
答案
解:(1)$x^2 +4x=2$,
$(x+2)^2=6$,
$x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$.
(2)$x^2 -3x-\frac{7}{4}=0$,
$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{7}{4}+\frac{9}{4}=4$,
$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{7}{2}$.
$(x+2)^2=6$,
$x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$.
(2)$x^2 -3x-\frac{7}{4}=0$,
$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{7}{4}+\frac{9}{4}=4$,
$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{7}{2}$.
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程左边转化为完全平方式，再用直接开平方法求解，通用步骤为：①二次项系数化为1（本题两个方程二次项系数均为1，可省略该步）；②将常数项移到等号右侧；③等号左右两边同时加一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；④开平方求出方程的根。
针对第（1）题，等号右侧已经是常数项，直接配方即可；针对第（2）题，先移项将常数项移到右侧，再进行配方计算。
【解析】
(1) 对原方程$x^2 + 4x = 2$配方，等号两边同时加一次项系数4一半的平方，即$(\frac{4}{2})^2=4$：
$x^2 + 4x + 4 = 2 + 4$
整理得完全平方式：$(x+2)^2=6$
开平方得：$x+2=\pm\sqrt{6}$
解得：$x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$
(2) 先对原方程$x^2 - 3x - \frac{7}{4} = 0$移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 3x = \frac{7}{4}$
再配方，等号两边同时加一次项系数-3一半的平方，即$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$：
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \frac{7}{4} + \frac{9}{4}$
整理得完全平方式：$(x-\frac{3}{2})^2=4$
开平方得：$x-\frac{3}{2}=\pm2$
解得：$x_1=\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}$
【答案】
(1)$x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$
(2)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{7}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解方程的基础应用，解题的关键是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意配方时所加常数是一次项系数一半的平方，计算时避免符号错误即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程的核心是将方程左边转化为完全平方式，再用直接开平方法求解，通用步骤为：①二次项系数化为1（本题两个方程二次项系数均为1，可省略该步）；②将常数项移到等号右侧；③等号左右两边同时加一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；④开平方求出方程的根。
针对第（1）题，等号右侧已经是常数项，直接配方即可；针对第（2）题，先移项将常数项移到右侧，再进行配方计算。
【解析】
(1) 对原方程$x^2 + 4x = 2$配方，等号两边同时加一次项系数4一半的平方，即$(\frac{4}{2})^2=4$：
$x^2 + 4x + 4 = 2 + 4$
整理得完全平方式：$(x+2)^2=6$
开平方得：$x+2=\pm\sqrt{6}$
解得：$x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$
(2) 先对原方程$x^2 - 3x - \frac{7}{4} = 0$移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 3x = \frac{7}{4}$
再配方，等号两边同时加一次项系数-3一半的平方，即$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$：
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \frac{7}{4} + \frac{9}{4}$
整理得完全平方式：$(x-\frac{3}{2})^2=4$
开平方得：$x-\frac{3}{2}=\pm2$
解得：$x_1=\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}$
【答案】
(1)$x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}$
(2)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{7}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解方程的基础应用，解题的关键是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意配方时所加常数是一次项系数一半的平方，计算时避免符号错误即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
【变式1】用配方法解方程$x^2 -8x=3$时，方程的两边同时加上一个实数，使得方程左边配成一个完全平方式，则这个实数是（
A.4
B.8
C.16
D.32
C
）A.4
B.8
C.16
D.32
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆配方法的核心原理：完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。对于二次项系数为1的一元二次方程，配方时需要在方程两边加上一次项系数一半的平方，使左边变成完全平方式。首先观察给定方程左边的$x^2-8x$，对应完全平方公式里的$a^2-2ab$部分，其中$a=x$，可算出$b$的值，进而得到需要添加的常数为$b^2$。
【解析】
对于形如$x^2+mx$的式子，配方时需添加的常数为$(\frac{m}{2})^2$。
本题中方程左边为$x^2-8x$，一次项系数$m=-8$，
因此需要添加的常数为$(\frac{-8}{2})^2=(-4)^2=16$。
添加后左边变为$x^2-8x+16=(x-4)^2$，是完全平方式，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 配方法解一元二次方程
【点评】
本题是配方法解方程的基础题型，重点考查配方的基本操作，熟练掌握二次项系数为1时的配方规则是解题的关键，为后续用配方法解方程及二次函数相关学习打好基础。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆配方法的核心原理：完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。对于二次项系数为1的一元二次方程，配方时需要在方程两边加上一次项系数一半的平方，使左边变成完全平方式。首先观察给定方程左边的$x^2-8x$，对应完全平方公式里的$a^2-2ab$部分，其中$a=x$，可算出$b$的值，进而得到需要添加的常数为$b^2$。
【解析】
对于形如$x^2+mx$的式子，配方时需添加的常数为$(\frac{m}{2})^2$。
本题中方程左边为$x^2-8x$，一次项系数$m=-8$，
因此需要添加的常数为$(\frac{-8}{2})^2=(-4)^2=16$。
添加后左边变为$x^2-8x+16=(x-4)^2$，是完全平方式，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 配方法解一元二次方程
【点评】
本题是配方法解方程的基础题型，重点考查配方的基本操作，熟练掌握二次项系数为1时的配方规则是解题的关键，为后续用配方法解方程及二次函数相关学习打好基础。
【难度系数】
0.8
【变式2】用配方法解下列方程：
(1)$x^2 -3x -1=0$；
(2)$x^2 -2x -1=3$。
(1)$x^2 -3x -1=0$；
(2)$x^2 -2x -1=3$。
答案
解:(1)$x^2 -3x-1=0$,
$x^2 -3x=1$,
$x^2 -3x+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}$,
$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{13}{4}$,
$x-\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{13}}{2}$,
解得 $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$.
(2)$x^2 -2x-1=3$,
$x^2 -2x+1=4+1$,
$(x-1)^2=5$,
$x-1=\pm\sqrt{5}$,
解得 $x_1=\sqrt{5}+1,x_2=-\sqrt{5}+1$.
$x^2 -3x=1$,
$x^2 -3x+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}$,
$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{13}{4}$,
$x-\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{13}}{2}$,
解得 $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$.
(2)$x^2 -2x-1=3$,
$x^2 -2x+1=4+1$,
$(x-1)^2=5$,
$x-1=\pm\sqrt{5}$,
解得 $x_1=\sqrt{5}+1,x_2=-\sqrt{5}+1$.
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为完全平方式的形式，再用直接开平方法求解，通用步骤如下：①移项：把常数项移到方程右侧，仅保留含未知数的项在左侧；②配方：方程左右两侧同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；③开方：对完全平方式两边同时开平方，得到两个一元一次方程；④求解：解得到的一元一次方程，即可得到原方程的根。本题两个方程的二次项系数均为1，无需额外将二次项系数化为1，直接按上述步骤计算即可。
【解析】
(1) 解$x^2 -3x -1=0$：
移项，得 $x^2 -3x=1$，
配方，一次项系数-3的一半的平方为$\frac{9}{4}$，两边同时加$\frac{9}{4}$，得 $x^2 -3x+\frac{9}{4}=1+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}$，
整理为完全平方式，得 $(x-\frac{3}{2})^2=\frac{13}{4}$，
开平方，得 $x-\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{13}}{2}$，
解得 $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$。
(2) 解$x^2 -2x -1=3$：
移项合并常数项，得 $x^2 -2x=4$，
配方，一次项系数-2的一半的平方为1，两边同时加1，得 $x^2 -2x+1=4+1=5$，
整理为完全平方式，得 $(x-1)^2=5$，
开平方，得 $x-1=\pm\sqrt{5}$，
解得 $x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$；
(2) $x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题的关键是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意配方时需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，避免出现仅左侧加常数项的错误。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为完全平方式的形式，再用直接开平方法求解，通用步骤如下：①移项：把常数项移到方程右侧，仅保留含未知数的项在左侧；②配方：方程左右两侧同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式；③开方：对完全平方式两边同时开平方，得到两个一元一次方程；④求解：解得到的一元一次方程，即可得到原方程的根。本题两个方程的二次项系数均为1，无需额外将二次项系数化为1，直接按上述步骤计算即可。
【解析】
(1) 解$x^2 -3x -1=0$：
移项，得 $x^2 -3x=1$，
配方，一次项系数-3的一半的平方为$\frac{9}{4}$，两边同时加$\frac{9}{4}$，得 $x^2 -3x+\frac{9}{4}=1+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}$，
整理为完全平方式，得 $(x-\frac{3}{2})^2=\frac{13}{4}$，
开平方，得 $x-\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{13}}{2}$，
解得 $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$。
(2) 解$x^2 -2x -1=3$：
移项合并常数项，得 $x^2 -2x=4$，
配方，一次项系数-2的一半的平方为1，两边同时加1，得 $x^2 -2x+1=4+1=5$，
整理为完全平方式，得 $(x-1)^2=5$，
开平方，得 $x-1=\pm\sqrt{5}$，
解得 $x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$；
(2) $x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，解题的关键是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意配方时需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，避免出现仅左侧加常数项的错误。
【难度系数】
0.8
1.用配方法解一元二次方程$x^2 +6x +4=0$时，其中有一步将$x^2 +6x +9=-4+9$写成$(x+3)^2=5$的形式，其依据的数学知识是（
A.等式的性质
B.完全平方公式
C.平方差公式
D.平方根的意义
B
）A.等式的性质
B.完全平方公式
C.平方差公式
D.平方根的意义
答案
1. B
解析
【分析】
拿到这道题，首先明确题目考查的是“将$x^2+6x+9$变形为$(x+3)^2$”这一步的依据，我们可以先梳理各选项知识的适用场景：首先等式性质是针对等式两边同时做相同运算、保持等式成立的依据，本步仅对左侧多项式变形，不涉及等式两边操作，可先排除A；再回忆乘法公式的结构，完全平方公式是两个数的平方和加/减两数积的2倍，等于两数和/差的平方，平方差公式是两个数平方的差的变形，显然本步结构匹配完全平方公式，排除C；而平方根的意义是对方程两边开平方求解的依据，和本步变形无关，排除D，即可确定正确选项。
【解析】
观察变形过程：$x^2+6x+9=(x+3)^2$，完全符合完全平方和公式的结构$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=x$，$b=3$，代入后刚好对应左侧的多项式，因此这一步的依据是完全平方公式。
其余选项排除理由：
A. 等式性质适用于等式两边的同步运算，本步仅对左侧代数式做恒等变形，不涉及等式两边的操作，不符合；
C. 平方差公式结构为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，和本步变形结构完全不符，不符合；
D. 平方根的意义是方程开平方求解的依据，与本步多项式变形无关，不符合。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；配方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考查配方法过程中变形的依据，只要熟练掌握完全平方公式的结构特征，能区分不同代数规则的适用场景，就能快速解答。
【难度系数】
0.9
拿到这道题，首先明确题目考查的是“将$x^2+6x+9$变形为$(x+3)^2$”这一步的依据，我们可以先梳理各选项知识的适用场景：首先等式性质是针对等式两边同时做相同运算、保持等式成立的依据，本步仅对左侧多项式变形，不涉及等式两边操作，可先排除A；再回忆乘法公式的结构，完全平方公式是两个数的平方和加/减两数积的2倍，等于两数和/差的平方，平方差公式是两个数平方的差的变形，显然本步结构匹配完全平方公式，排除C；而平方根的意义是对方程两边开平方求解的依据，和本步变形无关，排除D，即可确定正确选项。
【解析】
观察变形过程：$x^2+6x+9=(x+3)^2$，完全符合完全平方和公式的结构$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=x$，$b=3$，代入后刚好对应左侧的多项式，因此这一步的依据是完全平方公式。
其余选项排除理由：
A. 等式性质适用于等式两边的同步运算，本步仅对左侧代数式做恒等变形，不涉及等式两边的操作，不符合；
C. 平方差公式结构为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，和本步变形结构完全不符，不符合；
D. 平方根的意义是方程开平方求解的依据，与本步多项式变形无关，不符合。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；配方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考查配方法过程中变形的依据，只要熟练掌握完全平方公式的结构特征，能区分不同代数规则的适用场景，就能快速解答。
【难度系数】
0.9
2. (2026 滨州期末)用配方法解一元二次方程$x^2 +4x -3=1$时，下列变形正确的是
（
A.$(x+2)^2=8$
B.$(x+2)^2=4$
C.$(x+2)^2=1$
D.$(x+2)^2=2$
（
A
）A.$(x+2)^2=8$
B.$(x+2)^2=4$
C.$(x+2)^2=1$
D.$(x+2)^2=2$
答案
2. A
解析
【分析】
解这道题首先回忆配方法解一元二次方程的核心步骤：先将方程整理为左边仅含二次项和一次项、右边为常数项的形式，再给方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，最后计算右侧结果即可判断正确选项。
【解析】
解：首先对原方程进行移项，把常数项移到等号右侧：
$x^2 +4x = 1 + 3$
计算得：$x^2 +4x =4$
接下来进行配方，一次项系数为4，其一半的平方为$(\frac{4}{2})^2=4$，给方程左右两边同时加4：
$x^2 +4x +4 = 4 + 4$
根据完全平方公式，左边可改写为$(x+2)^2$，右侧计算得8，即：
$(x+2)^2=8$
因此变形正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的基本性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，属于常考的基础题型，熟练掌握移项、配方的步骤要点即可快速解答，配方法也是后续学习二次函数相关知识的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解这道题首先回忆配方法解一元二次方程的核心步骤：先将方程整理为左边仅含二次项和一次项、右边为常数项的形式，再给方程两边同时加一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式，最后计算右侧结果即可判断正确选项。
【解析】
解：首先对原方程进行移项，把常数项移到等号右侧：
$x^2 +4x = 1 + 3$
计算得：$x^2 +4x =4$
接下来进行配方，一次项系数为4，其一半的平方为$(\frac{4}{2})^2=4$，给方程左右两边同时加4：
$x^2 +4x +4 = 4 + 4$
根据完全平方公式，左边可改写为$(x+2)^2$，右侧计算得8，即：
$(x+2)^2=8$
因此变形正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的基本性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础操作，属于常考的基础题型，熟练掌握移项、配方的步骤要点即可快速解答，配方法也是后续学习二次函数相关知识的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
