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3.下表是嘉淇同学用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（
解：$x^2 -4x=4$，
$x^2 -4x +4=4$，……①
$(x-2)^2=$
$$，……②
$x-2=\pm2$，……③
$x_1=4,x_2=0$，……④
A.①
B.②
C.③
D.④
A
）解：$x^2 -4x=4$，
$x^2 -4x +4=4$，……①
$(x-2)^2=$
$$，……②$x-2=\pm2$，……③
$x_1=4,x_2=0$，……④
A.①
B.②
C.③
D.④
答案
3. A
解析
【分析】
要判断哪一步出现错误，首先回忆配方法解一元二次方程的步骤：当一元二次方程二次项系数为1时，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再进行后续计算，逐步骤核对解题过程即可找到错误步骤。
【解析】
根据配方法的规则和等式的基本性质，等式两边需要同时加上同一个数，等式仍然成立。
原方程为$x^2-4x=4$，一次项系数是$-4$，一次项系数一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，因此等式两边应该同时加4，正确的变形应为$x^2-4x+4=4+4=8$。
嘉淇的步骤①仅在方程左边加了4，右边没有加4，仍然为4，不符合等式的性质，因此开始出现错误的是步骤①。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、等式的基本性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的操作规范，解题的关键是牢记配方时等式两边必须同时加上同一个数（一次项系数一半的平方），避免出现只给左侧加常数的低级错误。
【难度系数】
0.8
要判断哪一步出现错误，首先回忆配方法解一元二次方程的步骤：当一元二次方程二次项系数为1时，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再进行后续计算，逐步骤核对解题过程即可找到错误步骤。
【解析】
根据配方法的规则和等式的基本性质，等式两边需要同时加上同一个数，等式仍然成立。
原方程为$x^2-4x=4$，一次项系数是$-4$，一次项系数一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，因此等式两边应该同时加4，正确的变形应为$x^2-4x+4=4+4=8$。
嘉淇的步骤①仅在方程左边加了4，右边没有加4，仍然为4，不符合等式的性质，因此开始出现错误的是步骤①。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、等式的基本性质
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的操作规范，解题的关键是牢记配方时等式两边必须同时加上同一个数（一次项系数一半的平方），避免出现只给左侧加常数的低级错误。
【难度系数】
0.8
4.填空：
(1)$x^2 - 20x +$
(2)$x^2 +$
(3)$x^2 + 5x +$
(1)$x^2 - 20x +$
100
$=(x -$ 10
$)^2$；(2)$x^2 +$
18
$x + 81=(x +$ 9
$)^2$；(3)$x^2 + 5x +$
$\frac{25}{4}$
$=(x +$ $\frac{5}{2}$
$)^2$。答案
4.(1) 100 10
(2) 18 9
(3) $\frac{25}{4}$ $\frac{5}{2}$
(2) 18 9
(3) $\frac{25}{4}$ $\frac{5}{2}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题核心是熟记完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。对于形如$x^2+mx$的式子配方时，常数项为一次项系数$m$一半的平方，即$(\frac{m}{2})^2$，据此规律逐一计算各小题即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一分析：
(1) 式子中一次项系数为$-20$，其一半为$\frac{-20}{2}=-10$，平方为$(-10)^2=100$，因此$x^2-20x+100=(x-10)^2$，依次填100、10；
(2) 式子中常数项为$81=9^2$，对应公式里$b=9$，因此一次项系数为$2×1×9=18$，因此$x^2+18x+81=(x+9)^2$，依次填18、9；
(3) 式子中一次项系数为$5$，其一半为$\frac{5}{2}$，平方为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，因此$x^2+5x+\frac{25}{4}=(x+\frac{5}{2})^2$，依次填$\frac{25}{4}$、$\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) 100，10；(2) 18，9；(3) $\frac{25}{4}$，$\frac{5}{2}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握完全平方公式的结构特征，配方时牢记“常数项是一次项系数一半的平方”的规律即可快速解题，是后续学习一元二次方程配方法求解的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题核心是熟记完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。对于形如$x^2+mx$的式子配方时，常数项为一次项系数$m$一半的平方，即$(\frac{m}{2})^2$，据此规律逐一计算各小题即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一分析：
(1) 式子中一次项系数为$-20$，其一半为$\frac{-20}{2}=-10$，平方为$(-10)^2=100$，因此$x^2-20x+100=(x-10)^2$，依次填100、10；
(2) 式子中常数项为$81=9^2$，对应公式里$b=9$，因此一次项系数为$2×1×9=18$，因此$x^2+18x+81=(x+9)^2$，依次填18、9；
(3) 式子中一次项系数为$5$，其一半为$\frac{5}{2}$，平方为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，因此$x^2+5x+\frac{25}{4}=(x+\frac{5}{2})^2$，依次填$\frac{25}{4}$、$\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) 100，10；(2) 18，9；(3) $\frac{25}{4}$，$\frac{5}{2}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握完全平方公式的结构特征，配方时牢记“常数项是一次项系数一半的平方”的规律即可快速解题，是后续学习一元二次方程配方法求解的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
5. (2026 南阳月考)如果方程$x^2 +4x +n=0$可以配方成$(x+2)^2=1$，那么$n=$
3
.答案
5. 3
解析
【分析】
解题可以从两个方向入手：① 先将已知配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，再和原方程对比常数项即可求出n的值；② 对原方程按照配方法的步骤进行配方，再和题目给出的配方结果对比，建立关于n的方程求解即可。两种方法都很直观，配方法的核心是给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式。
【解析】
方法一：展开配方后的方程对比系数
将$(x+2)^2=1$利用完全平方公式展开，得：
$x^2 + 4x + 4 = 1$
移项整理为一般形式：
$x^2 + 4x + 3 = 0$
已知原方程为$x^2 + 4x + n = 0$，两个方程是同一个方程，对应常数项相等，因此$n=3$。
方法二：对原方程配方后对比
原方程$x^2 + 4x + n = 0$移项得：
$x^2 + 4x = -n$
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{4}{2})^2=4$，得：
$x^2 + 4x + 4 = 4 - n$
左边写成完全平方式：$(x+2)^2 = 4 - n$
由题意可知配方结果为$(x+2)^2 = 1$，因此：
$4 - n = 1$
解得$n=3$。
【答案】
3
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是基础题型，主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法的操作步骤，或是利用展开对比系数的方法都可以快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题可以从两个方向入手：① 先将已知配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，再和原方程对比常数项即可求出n的值；② 对原方程按照配方法的步骤进行配方，再和题目给出的配方结果对比，建立关于n的方程求解即可。两种方法都很直观，配方法的核心是给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边凑成完全平方式。
【解析】
方法一：展开配方后的方程对比系数
将$(x+2)^2=1$利用完全平方公式展开，得：
$x^2 + 4x + 4 = 1$
移项整理为一般形式：
$x^2 + 4x + 3 = 0$
已知原方程为$x^2 + 4x + n = 0$，两个方程是同一个方程，对应常数项相等，因此$n=3$。
方法二：对原方程配方后对比
原方程$x^2 + 4x + n = 0$移项得：
$x^2 + 4x = -n$
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{4}{2})^2=4$，得：
$x^2 + 4x + 4 = 4 - n$
左边写成完全平方式：$(x+2)^2 = 4 - n$
由题意可知配方结果为$(x+2)^2 = 1$，因此：
$4 - n = 1$
解得$n=3$。
【答案】
3
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是基础题型，主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法的操作步骤，或是利用展开对比系数的方法都可以快速得出结果。
【难度系数】
0.9
6. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 2x -7 =0$；
(2)$x^2 -6x =16$；
(3)$x^2 +5x +7 =3x +11$；
(4)$x^2 -2\sqrt{3}x +2 =0$。
(1)$x^2 - 2x -7 =0$；
(2)$x^2 -6x =16$；
(3)$x^2 +5x +7 =3x +11$；
(4)$x^2 -2\sqrt{3}x +2 =0$。
答案
6. 解:(1)$x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$.
(2)$x_1=-2,x_2=8$.
(3)原方程可化为 $x^2 +2x=4$,
配方,得$(x+1)^2=5$,
开方,得 $x+1=\pm\sqrt{5}$,
解得 $x_1=\sqrt{5}-1,x_2=-\sqrt{5}-1$.
(4)移项,得 $x^2 -2\sqrt{3}x=-2$,
配方,得$(x-\sqrt{3})^2=1$,
开方,得 $x-\sqrt{3}=\pm1$,
解得 $x_1=\sqrt{3}+1,x_2=\sqrt{3}-1$.
(2)$x_1=-2,x_2=8$.
(3)原方程可化为 $x^2 +2x=4$,
配方,得$(x+1)^2=5$,
开方,得 $x+1=\pm\sqrt{5}$,
解得 $x_1=\sqrt{5}-1,x_2=-\sqrt{5}-1$.
(4)移项,得 $x^2 -2\sqrt{3}x=-2$,
配方,得$(x-\sqrt{3})^2=1$,
开方,得 $x-\sqrt{3}=\pm1$,
解得 $x_1=\sqrt{3}+1,x_2=\sqrt{3}-1$.
解析
【分析】
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通用解题思路为：①整理方程，将常数项移到等号右侧，使方程左侧仅含二次项和一次项；②配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，右侧为常数；③直接开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；④分别求解一元一次方程得到原方程的根。四个小题均按照该步骤计算即可，注意第(3)题需要先合并同类项整理方程，第(4)题一次项系数带根号，计算一次项系数一半的平方时注意运算正确。
【解析】
(1) 移项，得$x^2 - 2x =7$，
配方，左右两边同时加1（一次项系数-2一半的平方），得$x^2 -2x +1 =7+1$，即$(x-1)^2=8$，
开平方，得$x-1=\pm 2\sqrt{2}$，
解得$x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$。
(2) 方程已经为左侧含二次项、一次项，右侧为常数的形式，
配方，左右两边同时加9（一次项系数-6一半的平方），得$x^2-6x+9=16+9$，即$(x-3)^2=25$，
开平方，得$x-3=\pm5$，
解得$x_1=-2,x_2=8$。
(3) 整理原方程，移项合并同类项：
$x^2 +5x +7 -3x -11=0$，即$x^2 +2x=4$，
配方，左右两边同时加1（一次项系数2一半的平方），得$x^2+2x+1=4+1$，即$(x+1)^2=5$，
开平方，得$x+1=\pm\sqrt{5}$，
解得$x_1=\sqrt{5}-1,x_2=-\sqrt{5}-1$。
(4) 移项，得$x^2 -2\sqrt{3}x=-2$，
配方，左右两边同时加3（一次项系数$-2\sqrt{3}$一半的平方：$(-\sqrt{3})^2=3$），得$x^2 -2\sqrt{3}x +3 = -2+3$，即$(x-\sqrt{3})^2=1$，
开平方，得$x-\sqrt{3}=\pm1$，
解得$x_1=\sqrt{3}+1,x_2=\sqrt{3}-1$。
【答案】
(1)$x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$
(2)$x_1=-2,x_2=8$
(3)$x_1=\sqrt{5}-1,x_2=-\sqrt{5}-1$
(4)$x_1=\sqrt{3}+1,x_2=\sqrt{3}-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，核心是掌握配方法的操作步骤，计算时要注意一次项系数的符号，开平方时不要遗漏负根，对于带根号的系数运算要细心，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通用解题思路为：①整理方程，将常数项移到等号右侧，使方程左侧仅含二次项和一次项；②配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，右侧为常数；③直接开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；④分别求解一元一次方程得到原方程的根。四个小题均按照该步骤计算即可，注意第(3)题需要先合并同类项整理方程，第(4)题一次项系数带根号，计算一次项系数一半的平方时注意运算正确。
【解析】
(1) 移项，得$x^2 - 2x =7$，
配方，左右两边同时加1（一次项系数-2一半的平方），得$x^2 -2x +1 =7+1$，即$(x-1)^2=8$，
开平方，得$x-1=\pm 2\sqrt{2}$，
解得$x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$。
(2) 方程已经为左侧含二次项、一次项，右侧为常数的形式，
配方，左右两边同时加9（一次项系数-6一半的平方），得$x^2-6x+9=16+9$，即$(x-3)^2=25$，
开平方，得$x-3=\pm5$，
解得$x_1=-2,x_2=8$。
(3) 整理原方程，移项合并同类项：
$x^2 +5x +7 -3x -11=0$，即$x^2 +2x=4$，
配方，左右两边同时加1（一次项系数2一半的平方），得$x^2+2x+1=4+1$，即$(x+1)^2=5$，
开平方，得$x+1=\pm\sqrt{5}$，
解得$x_1=\sqrt{5}-1,x_2=-\sqrt{5}-1$。
(4) 移项，得$x^2 -2\sqrt{3}x=-2$，
配方，左右两边同时加3（一次项系数$-2\sqrt{3}$一半的平方：$(-\sqrt{3})^2=3$），得$x^2 -2\sqrt{3}x +3 = -2+3$，即$(x-\sqrt{3})^2=1$，
开平方，得$x-\sqrt{3}=\pm1$，
解得$x_1=\sqrt{3}+1,x_2=\sqrt{3}-1$。
【答案】
(1)$x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$
(2)$x_1=-2,x_2=8$
(3)$x_1=\sqrt{5}-1,x_2=-\sqrt{5}-1$
(4)$x_1=\sqrt{3}+1,x_2=\sqrt{3}-1$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，核心是掌握配方法的操作步骤，计算时要注意一次项系数的符号，开平方时不要遗漏负根，对于带根号的系数运算要细心，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
7. 当 y 为何值时，代数式 $2y^2 - 6y + 7$ 的值与代数式 $y^2 - y + 6$ 的值相等？
答案
7. 解:根据题意,得 $2y^2 -6y+7=y^2 -y+6$,
即 $y^2 -5y+1=0$,
$y^2 -5y+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}$,
$(y-\frac{5}{2})^2=\frac{21}{4}$,
$y-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{21}}{2}$,
解得 $y_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},y_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$.
即 $y^2 -5y+1=0$,
$y^2 -5y+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}$,
$(y-\frac{5}{2})^2=\frac{21}{4}$,
$y-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{21}}{2}$,
解得 $y_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},y_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$.
解析
【分析】
要解决该问题，首先根据“两个代数式的值相等”的等量关系列出方程，再将方程整理为一元二次方程的标准形式，最后用配方法求解方程，得到的解即为所求的y值。具体思路：第一步根据题意列等式，第二步移项合并同类项化简为一元二次方程，第三步通过配方法求解方程。
【解析】
解：根据题意，两个代数式值相等，列方程得：
$2y^2 -6y+7=y^2 -y+6$
移项并合并同类项，得：
$y^2 -5y+1=0$
将常数项移到等号右侧：
$y^2 -5y=-1$
配方，等号两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，得：
$y^2 -5y+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}$
左侧化为完全平方式，右侧计算得：
$(y-\frac{5}{2})^2=\frac{21}{4}$
两边同时开平方：
$y-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{21}}{2}$
移项求解得：
$y_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},y_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$
【答案】
$y_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},y_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$
【知识点】
列一元二次方程；配方法解一元二次方程
【点评】
本题为基础题型，核心考查根据等量关系列方程的能力，熟练掌握一元二次方程的解法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决该问题，首先根据“两个代数式的值相等”的等量关系列出方程，再将方程整理为一元二次方程的标准形式，最后用配方法求解方程，得到的解即为所求的y值。具体思路：第一步根据题意列等式，第二步移项合并同类项化简为一元二次方程，第三步通过配方法求解方程。
【解析】
解：根据题意，两个代数式值相等，列方程得：
$2y^2 -6y+7=y^2 -y+6$
移项并合并同类项，得：
$y^2 -5y+1=0$
将常数项移到等号右侧：
$y^2 -5y=-1$
配方，等号两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，得：
$y^2 -5y+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}$
左侧化为完全平方式，右侧计算得：
$(y-\frac{5}{2})^2=\frac{21}{4}$
两边同时开平方：
$y-\frac{5}{2}=\pm\frac{\sqrt{21}}{2}$
移项求解得：
$y_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},y_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$
【答案】
$y_1=\frac{5+\sqrt{21}}{2},y_2=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$
【知识点】
列一元二次方程；配方法解一元二次方程
【点评】
本题为基础题型，核心考查根据等量关系列方程的能力，熟练掌握一元二次方程的解法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
8. (2026 渭南月考)若关于$x$的方程$(x-2)^2=-b$是由方程$x^2+ax-b=0$配方后得到的，则$a+b$的值为 （
A.$-6$
B.$-8$
C.$6$
D.$-2$
A
）A.$-6$
B.$-8$
C.$6$
D.$-2$
答案
8. A
解析
【分析】
解题思路如下：首先，我们可以将配方后得到的方程展开为一元二次方程的一般形式，因为它是由原方程配方得到的，所以两个方程是同一个方程，对应项的系数相等。接下来我们只需要分别对应一次项系数、常数项列出等式，求出a、b的值，最后计算a+b即可得到答案。
【解析】
第一步：展开配方后的方程
将$(x-2)^2=-b$左边展开，得：
$x^2 - 4x + 4 = -b$
移项整理为一般形式：
$x^2 - 4x + 4 + b = 0$
第二步：对比系数求参数
因为该方程是由$x^2 + ax - b = 0$配方得到的，所以两个方程对应项系数相等：
一次项系数：$a = -4$
常数项：$4 + b = -b$
解关于b的方程：
$4 = -b - b$
$2b = -4$
$b = -2$
第三步：计算$a+b$
将$a=-4$，$b=-2$代入得：
$a + b = -4 + (-2) = -6$
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；方程系数对应相等
【点评】
本题考查配方的逆运算，解题的关键是掌握完全平方公式的展开形式，理解配方前后两个方程为同一方程、对应系数相等的特点，即可快速求出参数计算结果。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，我们可以将配方后得到的方程展开为一元二次方程的一般形式，因为它是由原方程配方得到的，所以两个方程是同一个方程，对应项的系数相等。接下来我们只需要分别对应一次项系数、常数项列出等式，求出a、b的值，最后计算a+b即可得到答案。
【解析】
第一步：展开配方后的方程
将$(x-2)^2=-b$左边展开，得：
$x^2 - 4x + 4 = -b$
移项整理为一般形式：
$x^2 - 4x + 4 + b = 0$
第二步：对比系数求参数
因为该方程是由$x^2 + ax - b = 0$配方得到的，所以两个方程对应项系数相等：
一次项系数：$a = -4$
常数项：$4 + b = -b$
解关于b的方程：
$4 = -b - b$
$2b = -4$
$b = -2$
第三步：计算$a+b$
将$a=-4$，$b=-2$代入得：
$a + b = -4 + (-2) = -6$
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；方程系数对应相等
【点评】
本题考查配方的逆运算，解题的关键是掌握完全平方公式的展开形式，理解配方前后两个方程为同一方程、对应系数相等的特点，即可快速求出参数计算结果。
【难度系数】
0.7
9. 一个直角三角形的两边长分别是方程$x^2 -8x +15=0$的两个根，则这个直角三角形的周长为
12或$\sqrt{34}+8$
。答案
9. 12或$\sqrt{34}+8$
解析
【分析】
首先先求解一元二次方程得到直角三角形的两条已知边长，再根据直角三角形的边的性质分类讨论：①已知两边均为直角边；②已知两边中较长边为斜边、较短边为直角边。分别利用勾股定理计算第三边，再验证是否符合三角形三边关系，最后计算对应周长即可。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -8x +15=0$
因式分解得：$(x-3)(x-5)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=5$，即直角三角形的两条边长为3和5。
第二步：分情况讨论
情况1：3和5均为直角边
由勾股定理得，斜边长为$\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$，满足三角形三边关系
此时周长为$3+5+\sqrt{34}=8+\sqrt{34}$
情况2：5为斜边，3为直角边
由勾股定理得，另一条直角边长为$\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，满足三角形三边关系
此时周长为$3+4+5=12$
综上，这个直角三角形的周长为12或$\sqrt{34}+8$
【答案】
12或$\sqrt{34}+8$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 勾股定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略题干未明确两条边是直角边还是斜边，未分类讨论导致漏解，解题时需注意审题，对不确定的边长情况分类验证后再计算。
【难度系数】
0.6
首先先求解一元二次方程得到直角三角形的两条已知边长，再根据直角三角形的边的性质分类讨论：①已知两边均为直角边；②已知两边中较长边为斜边、较短边为直角边。分别利用勾股定理计算第三边，再验证是否符合三角形三边关系，最后计算对应周长即可。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -8x +15=0$
因式分解得：$(x-3)(x-5)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=5$，即直角三角形的两条边长为3和5。
第二步：分情况讨论
情况1：3和5均为直角边
由勾股定理得，斜边长为$\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$，满足三角形三边关系
此时周长为$3+5+\sqrt{34}=8+\sqrt{34}$
情况2：5为斜边，3为直角边
由勾股定理得，另一条直角边长为$\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$，满足三角形三边关系
此时周长为$3+4+5=12$
综上，这个直角三角形的周长为12或$\sqrt{34}+8$
【答案】
12或$\sqrt{34}+8$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 勾股定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略题干未明确两条边是直角边还是斜边，未分类讨论导致漏解，解题时需注意审题，对不确定的边长情况分类验证后再计算。
【难度系数】
0.6
10. 现定义一种运算$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$，例如$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}=1×4 -2×3$。若$\begin{vmatrix} x & 1-x \\ 1 & x-2 \end{vmatrix}=5$，求$x$的值。
答案
10. 解:$\because \begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$,
$\therefore \begin{vmatrix} x & 1-x \\ 1 & x-2 \end{vmatrix}=5$,即 $x(x-2)-1×(1-x)=5$,
整理,得 $x^2 -x=6$,
配方,得$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{25}{4}$,
解得 $x_1=-2,x_2=3$.
$\therefore x$ 的值为 $-2$ 或 $3$.
$\therefore \begin{vmatrix} x & 1-x \\ 1 & x-2 \end{vmatrix}=5$,即 $x(x-2)-1×(1-x)=5$,
整理,得 $x^2 -x=6$,
配方,得$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{25}{4}$,
解得 $x_1=-2,x_2=3$.
$\therefore x$ 的值为 $-2$ 或 $3$.
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路可分为三步：第一步先理解给出的新运算规则：二阶行列式$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}$的运算结果等于左上角元素与右下角元素的乘积，减去左下角元素与右上角元素的乘积；第二步将题目中待计算的行列式，对应替换规则里的a、b、c、d，转化为我们熟悉的含x的代数方程；第三步求解得到的一元二次方程，即可得到x的值。
【解析】
解：根据题中定义的运算规则$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{vmatrix} x & 1-x \\ 1 & x-2 \end{vmatrix}=x(x-2)-1×(1-x)=5$
展开并整理方程：
$x^2 -2x -1 +x =5$
$x^2 -x =6$
配方，方程两边同时加上$\frac{1}{4}$得：
$x^2 -x + (\frac{1}{2})^2 = 6 + \frac{1}{4}$
即$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{25}{4}$
开平方得：$x-\frac{1}{2}=\pm\frac{5}{2}$
解得$x_1=3$，$x_2=-2$。
【答案】
$x$的值为$-2$或$3$
【知识点】
1. 新定义运算 2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于新定义类基础题型，重点考查对新运算规则的理解转化能力，以及一元二次方程的计算能力，只要准确按照规则将新运算转化为常规方程，注意计算过程中的符号问题，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题思路可分为三步：第一步先理解给出的新运算规则：二阶行列式$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}$的运算结果等于左上角元素与右下角元素的乘积，减去左下角元素与右上角元素的乘积；第二步将题目中待计算的行列式，对应替换规则里的a、b、c、d，转化为我们熟悉的含x的代数方程；第三步求解得到的一元二次方程，即可得到x的值。
【解析】
解：根据题中定义的运算规则$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{vmatrix} x & 1-x \\ 1 & x-2 \end{vmatrix}=x(x-2)-1×(1-x)=5$
展开并整理方程：
$x^2 -2x -1 +x =5$
$x^2 -x =6$
配方，方程两边同时加上$\frac{1}{4}$得：
$x^2 -x + (\frac{1}{2})^2 = 6 + \frac{1}{4}$
即$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{25}{4}$
开平方得：$x-\frac{1}{2}=\pm\frac{5}{2}$
解得$x_1=3$，$x_2=-2$。
【答案】
$x$的值为$-2$或$3$
【知识点】
1. 新定义运算 2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题属于新定义类基础题型，重点考查对新运算规则的理解转化能力，以及一元二次方程的计算能力，只要准确按照规则将新运算转化为常规方程，注意计算过程中的符号问题，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
