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2. 某抛物线的部分图象如图5所示，对称轴为直线$x=1$，图象与$y$轴交于点$(0,3)$，与$x$轴的一个交点为$(-1,0)$。
(1)求该抛物线与$x$轴的另一个交点坐标，以及抛物线的解析式；
(2)当$x$为何值时，函数值为$-5$？
(1)求该抛物线与$x$轴的另一个交点坐标，以及抛物线的解析式；
(2)当$x$为何值时，函数值为$-5$？
答案
2. (1)$(3,0)$，$y=-x^2+2x+3$ (2)令$y=-5$,则$-x^2+2x+3=-5$,解得$x_1=-2,x_2=4$,所以当x的值为-2或4时,函数值为-5.
解析
【分析】
（1）求解抛物线与x轴的另一个交点时，可利用二次函数的对称性：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，两点横坐标的平均值等于对称轴对应的x值，据此即可算出另一个交点坐标；求抛物线解析式时，可采用待定系数法，设一般式$y=ax²+bx+c（a≠0）$，将已知的点坐标和对称轴条件代入，解方程组即可求出系数，得到解析式。
（2）求函数值为-5时对应的x值，只需将$y=-5$代入已求出的抛物线解析式，转化为一元二次方程求解即可。
【解析】
(1) 设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$
∵抛物线的对称轴为直线$x=1$，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称
∴$\frac{-1+x}{2}=1$，解得$x=3$
即抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(3,0)$
设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$
将点$(-1,0)$、$(0,3)$代入解析式，结合对称轴公式$-\frac{b}{2a}=1$，可得：
$\begin{cases}c=3 \\a-b+c=0 \\-\frac{b}{2a}=1\end{cases}$
将$c=3$和$b=-2a$代入$a-b+c=0$，得：
$a - (-2a) + 3 = 0$，解得$a=-1$，则$b=2$
∴抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$
(2) 令$y=-5$，代入解析式得：
$-x^2+2x+3=-5$
整理得$x^2-2x-8=0$
因式分解得$(x-4)(x+2)=0$
解得$x_1=-2$，$x_2=4$
即当$x$的值为$-2$或$4$时，函数值为$-5$
【答案】
(1) 与x轴的另一个交点坐标为$(3,0)$，抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$；(2) $x=-2$或$x=4$
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题关键是灵活运用二次函数的对称性简化计算，再通过待定系数法确定解析式，最后将函数值问题转化为一元二次方程求解，熟练掌握相关基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
（1）求解抛物线与x轴的另一个交点时，可利用二次函数的对称性：抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，两点横坐标的平均值等于对称轴对应的x值，据此即可算出另一个交点坐标；求抛物线解析式时，可采用待定系数法，设一般式$y=ax²+bx+c（a≠0）$，将已知的点坐标和对称轴条件代入，解方程组即可求出系数，得到解析式。
（2）求函数值为-5时对应的x值，只需将$y=-5$代入已求出的抛物线解析式，转化为一元二次方程求解即可。
【解析】
(1) 设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$
∵抛物线的对称轴为直线$x=1$，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称
∴$\frac{-1+x}{2}=1$，解得$x=3$
即抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(3,0)$
设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$
将点$(-1,0)$、$(0,3)$代入解析式，结合对称轴公式$-\frac{b}{2a}=1$，可得：
$\begin{cases}c=3 \\a-b+c=0 \\-\frac{b}{2a}=1\end{cases}$
将$c=3$和$b=-2a$代入$a-b+c=0$，得：
$a - (-2a) + 3 = 0$，解得$a=-1$，则$b=2$
∴抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$
(2) 令$y=-5$，代入解析式得：
$-x^2+2x+3=-5$
整理得$x^2-2x-8=0$
因式分解得$(x-4)(x+2)=0$
解得$x_1=-2$，$x_2=4$
即当$x$的值为$-2$或$4$时，函数值为$-5$
【答案】
(1) 与x轴的另一个交点坐标为$(3,0)$，抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$；(2) $x=-2$或$x=4$
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题关键是灵活运用二次函数的对称性简化计算，再通过待定系数法确定解析式，最后将函数值问题转化为一元二次方程求解，熟练掌握相关基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3. 小明在抛掷实心球的过程中,实心球行进路线是一条抛物线,行进高度$y$(m)与水平距离$x$(m)之间的函数关系可以表示为$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$,铅球从出手到落地的路线如图6所示.
(1)铅球出手点离地面的高度$OA$为多少米? 铅球推出的水平距离$OB$是多少米?
(2)在抛球过程中,铅球的最大高度是多少米?
(1)铅球出手点离地面的高度$OA$为多少米? 铅球推出的水平距离$OB$是多少米?
(2)在抛球过程中,铅球的最大高度是多少米?
答案
3. (1)令$x=0$,则$y=\frac{5}{3}$,所以铅球出手点离地面的高度OA为$\frac{5}{3}$ m;令$y=0$,$-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$,解得$x_1=10,x_2=-2$(舍去),即铅球推出的距离OB是10 m. (2)$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$,当$x=4$时,y取得最大值为3,即在抛球过程中,铅球的最大高度是3 m.
解析
【分析】
(1) 出手点A在y轴上，对应水平距离x=0，因此将x=0代入函数解析式求出y值，即可得到OA的高度；铅球落地时高度y=0，因此令函数式中y=0，解所得一元二次方程，结合实际意义舍去负根，得到的正根就是OB的长度。
(2) 抛物线开口向下，顶点处y值最大，即铅球的最大高度为抛物线顶点的纵坐标，将二次函数一般式配方转化为顶点式，即可直接得到最大高度。
【解析】
(1) 求OA的高度：
当$x=0$时，代入$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$，得$y=\frac{5}{3}$，因此OA的高度为$\frac{5}{3}$m。
求OB的长度：
令$y=0$，则$-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$，
方程两边同乘12得：$-x^2+8x+20=0$，
整理得$x^2-8x-20=0$，
因式分解得$(x-10)(x+2)=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=-2$，
因为水平距离不能为负，舍去$x_2=-2$，因此OB的长度为10m。
(2) 求铅球的最大高度：
将函数解析式配方：
$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$
$=-\frac{1}{12}(x^2-8x)+\frac{5}{3}$
$=-\frac{1}{12}(x^2-8x+16-16)+\frac{5}{3}$
$=-\frac{1}{12}[(x-4)^2-16]+\frac{5}{3}$
$=-\frac{1}{12}(x-4)^2+\frac{16}{12}+\frac{5}{3}$
$=-\frac{1}{12}(x-4)^2+\frac{4}{3}+\frac{5}{3}$
$=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$
因为$-\frac{1}{12}＜0$，所以当$x=4$时，y取得最大值3，即铅球的最大高度为3m。
【答案】
(1) 铅球出手点离地面的高度OA为$\frac{5}{3}$m，铅球推出的水平距离OB是10m；
(2) 铅球的最大高度是3m。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数的最值，解一元二次方程
【点评】
本题结合投掷实心球的生活场景考查二次函数的基础应用，解题的关键是明确不同位置对应的x、y的实际意义，掌握二次函数求最值的方法，难度较低，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 出手点A在y轴上，对应水平距离x=0，因此将x=0代入函数解析式求出y值，即可得到OA的高度；铅球落地时高度y=0，因此令函数式中y=0，解所得一元二次方程，结合实际意义舍去负根，得到的正根就是OB的长度。
(2) 抛物线开口向下，顶点处y值最大，即铅球的最大高度为抛物线顶点的纵坐标，将二次函数一般式配方转化为顶点式，即可直接得到最大高度。
【解析】
(1) 求OA的高度：
当$x=0$时，代入$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$，得$y=\frac{5}{3}$，因此OA的高度为$\frac{5}{3}$m。
求OB的长度：
令$y=0$，则$-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$，
方程两边同乘12得：$-x^2+8x+20=0$，
整理得$x^2-8x-20=0$，
因式分解得$(x-10)(x+2)=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=-2$，
因为水平距离不能为负，舍去$x_2=-2$，因此OB的长度为10m。
(2) 求铅球的最大高度：
将函数解析式配方：
$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$
$=-\frac{1}{12}(x^2-8x)+\frac{5}{3}$
$=-\frac{1}{12}(x^2-8x+16-16)+\frac{5}{3}$
$=-\frac{1}{12}[(x-4)^2-16]+\frac{5}{3}$
$=-\frac{1}{12}(x-4)^2+\frac{16}{12}+\frac{5}{3}$
$=-\frac{1}{12}(x-4)^2+\frac{4}{3}+\frac{5}{3}$
$=-\frac{1}{12}(x-4)^2+3$
因为$-\frac{1}{12}＜0$，所以当$x=4$时，y取得最大值3，即铅球的最大高度为3m。
【答案】
(1) 铅球出手点离地面的高度OA为$\frac{5}{3}$m，铅球推出的水平距离OB是10m；
(2) 铅球的最大高度是3m。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数的最值，解一元二次方程
【点评】
本题结合投掷实心球的生活场景考查二次函数的基础应用，解题的关键是明确不同位置对应的x、y的实际意义，掌握二次函数求最值的方法，难度较低，实用性较强。
【难度系数】
0.7
4. 如图7,已知抛物线$y=-x^2+mx+3$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为$(3,0)$.
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标;
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标;
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.
答案
4. (1)把点B的坐标(3,0)代入抛物线$y=-x^2+mx+3$,得$0=-3^2+3m+3$,解得m=2,$\therefore y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,$\therefore$ 顶点坐标为(1,4). (2)连接BC交抛物线对称轴于点P,则此时PA+PC的值最小,由(1)得C(0,3). 设直线BC的解析式为y=kx+b,将点C,B坐标代入解析式,得$\begin{cases}0=3k+b,\\3=b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=3,\end{cases}$$\therefore$ 直线BC的解析式为y=-x+3. 当x=1时,y=-1+3=2,$\therefore$ 当PA+PC的值最小时,点P的坐标为(1,2).
解析
【分析】
(1) 已知点B在抛物线上，函数图象上的点满足函数解析式，因此将B(3,0)代入抛物线解析式即可求出m的值；再将得到的二次函数一般式配方为顶点式，就能直接得到顶点坐标。
(2) 本题属于轴对称最短路径问题：抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，因此对称轴上任意点P都满足PA=PB，故PA+PC=PB+PC，根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时PB+PC最小，即PA+PC最小。接下来先求直线BC的解析式，再将对称轴对应的x值代入解析式，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1) 将点B(3,0)代入抛物线$y=-x^2+mx+3$，得：
$0=-3^2+3m+3$
解得$m=2$
则抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$，配方得：
$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$
因此抛物线的顶点坐标为$(1,4)$。
(2) 连接BC，交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC的值最小。
在$y=-x^2+2x+3$中，令$x=0$，得$y=3$，因此点C坐标为$(0,3)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+b$，将B(3,0)、C(0,3)代入解析式，得：
$\begin{cases} 3k+b=0 \\ b=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=3 \end{cases}$
因此直线BC的解析式为$y=-x+3$。
由(1)可知抛物线对称轴为直线$x=1$，将$x=1$代入$y=-x+3$，得：
$y=-1+3=2$
即点P的坐标为$(1,2)$。
【答案】
(1) $m=2$，顶点坐标为$(1,4)$；(2) $P(1,2)$
【知识点】
二次函数的图象与性质，轴对称最短路径，待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数基础综合题，第一问考察二次函数参数求解和顶点坐标计算，属于基础考点；第二问结合轴对称最值模型，考察学生将几何问题转化为代数计算的能力，熟练掌握基础模型和计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 已知点B在抛物线上，函数图象上的点满足函数解析式，因此将B(3,0)代入抛物线解析式即可求出m的值；再将得到的二次函数一般式配方为顶点式，就能直接得到顶点坐标。
(2) 本题属于轴对称最短路径问题：抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，因此对称轴上任意点P都满足PA=PB，故PA+PC=PB+PC，根据两点之间线段最短，当B、P、C三点共线时PB+PC最小，即PA+PC最小。接下来先求直线BC的解析式，再将对称轴对应的x值代入解析式，即可得到点P的坐标。
【解析】
(1) 将点B(3,0)代入抛物线$y=-x^2+mx+3$，得：
$0=-3^2+3m+3$
解得$m=2$
则抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$，配方得：
$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$
因此抛物线的顶点坐标为$(1,4)$。
(2) 连接BC，交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC的值最小。
在$y=-x^2+2x+3$中，令$x=0$，得$y=3$，因此点C坐标为$(0,3)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+b$，将B(3,0)、C(0,3)代入解析式，得：
$\begin{cases} 3k+b=0 \\ b=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-1 \\ b=3 \end{cases}$
因此直线BC的解析式为$y=-x+3$。
由(1)可知抛物线对称轴为直线$x=1$，将$x=1$代入$y=-x+3$，得：
$y=-1+3=2$
即点P的坐标为$(1,2)$。
【答案】
(1) $m=2$，顶点坐标为$(1,4)$；(2) $P(1,2)$
【知识点】
二次函数的图象与性质，轴对称最短路径，待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数基础综合题，第一问考察二次函数参数求解和顶点坐标计算，属于基础考点；第二问结合轴对称最值模型，考察学生将几何问题转化为代数计算的能力，熟练掌握基础模型和计算方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
