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一、选择题
1. 对于二次函数$y=3x^2 -12x +13$的图象,下列说法正确的是(
A.开口向下
B.对称轴是直线$x=-2$
C.顶点坐标是$(2,1)$
D.函数有最大值
1. 对于二次函数$y=3x^2 -12x +13$的图象,下列说法正确的是(
C
)A.开口向下
B.对称轴是直线$x=-2$
C.顶点坐标是$(2,1)$
D.函数有最大值
答案
1. C
解析
【分析】
要判断二次函数图象相关性质是否正确，我们可以先回忆二次函数$y=ax^2+bx+c$的核心性质：$a$的正负决定开口方向和最值类型，再通过配方法或者公式法求出对称轴、顶点坐标，逐一验证四个选项即可得出正确答案。
【解析】
解法一：公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$：
1. 开口判断：$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，A选项错误；开口向上的抛物线有最小值，无最大值，D选项错误。
2. 对称轴计算：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=3,b=-12$，得$x=-\frac{-12}{2×3}=2$，因此对称轴是直线$x=2$，B选项错误。
3. 顶点纵坐标计算：顶点纵坐标公式为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入数据得$\frac{4×3×13-(-12)^2}{4×3}=\frac{156-144}{12}=1$，因此顶点坐标为$(2,1)$，C选项正确。
解法二：配方法
将函数解析式化为顶点式：
$y=3x^2-12x+13=3(x^2-4x)+13=3(x^2-4x+4-4)+13=3(x-2)^2+1$
由顶点式可知：抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,1)$，函数有最小值1，因此A、B、D错误，C正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数顶点坐标求法；二次函数最值判断
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握通过公式法或配方法推导二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值的方法，熟练运用两种方法可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数图象相关性质是否正确，我们可以先回忆二次函数$y=ax^2+bx+c$的核心性质：$a$的正负决定开口方向和最值类型，再通过配方法或者公式法求出对称轴、顶点坐标，逐一验证四个选项即可得出正确答案。
【解析】
解法一：公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$：
1. 开口判断：$a=3＞0$，因此抛物线开口向上，A选项错误；开口向上的抛物线有最小值，无最大值，D选项错误。
2. 对称轴计算：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=3,b=-12$，得$x=-\frac{-12}{2×3}=2$，因此对称轴是直线$x=2$，B选项错误。
3. 顶点纵坐标计算：顶点纵坐标公式为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入数据得$\frac{4×3×13-(-12)^2}{4×3}=\frac{156-144}{12}=1$，因此顶点坐标为$(2,1)$，C选项正确。
解法二：配方法
将函数解析式化为顶点式：
$y=3x^2-12x+13=3(x^2-4x)+13=3(x^2-4x+4-4)+13=3(x-2)^2+1$
由顶点式可知：抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,1)$，函数有最小值1，因此A、B、D错误，C正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与性质；二次函数顶点坐标求法；二次函数最值判断
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握通过公式法或配方法推导二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值的方法，熟练运用两种方法可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 二次函数$y=ax^2+bx+a^2-1$的图象如图1所示，则a的值为(
A.-2
B.-1
C.1
D.2
B
)A.-2
B.-1
C.1
D.2
答案
2. B
解析
【分析】
解题可分两步思考：第一步，先根据二次函数图像的开口方向判断a的正负，排除不符合的选项；第二步，结合图像过原点的特征，代入坐标列方程求解a，再结合a的正负筛选最终结果。首先观察到抛物线开口向下，说明二次项系数a＜0，可先排除正数的选项；再看到抛物线经过原点，将原点坐标代入解析式即可得到关于a的方程，求解后结合a＜0的条件就能确定正确答案。
【解析】
1. 由二次函数图像开口向下，可得$a＜0$，因此排除选项C（$a=1＞0$）和D（$a=2＞0$）。
2. 观察图像可知抛物线经过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入解析式$y=ax^2+bx+a^2-1$，得：
$0 = 0 + 0 + a^2 - 1$
即$a^2=1$，解得$a=1$或$a=-1$。
3. 结合第一步得到的$a＜0$的结论，舍去$a=1$，因此$a=-1$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题关键是从图像中提取有效信息，先通过开口方向缩小参数的取值范围，再代入特殊点坐标求解，注意求出参数后要结合取值范围筛选结果，避免错选。
【难度系数】
0.7
解题可分两步思考：第一步，先根据二次函数图像的开口方向判断a的正负，排除不符合的选项；第二步，结合图像过原点的特征，代入坐标列方程求解a，再结合a的正负筛选最终结果。首先观察到抛物线开口向下，说明二次项系数a＜0，可先排除正数的选项；再看到抛物线经过原点，将原点坐标代入解析式即可得到关于a的方程，求解后结合a＜0的条件就能确定正确答案。
【解析】
1. 由二次函数图像开口向下，可得$a＜0$，因此排除选项C（$a=1＞0$）和D（$a=2＞0$）。
2. 观察图像可知抛物线经过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入解析式$y=ax^2+bx+a^2-1$，得：
$0 = 0 + 0 + a^2 - 1$
即$a^2=1$，解得$a=1$或$a=-1$。
3. 结合第一步得到的$a＜0$的结论，舍去$a=1$，因此$a=-1$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题关键是从图像中提取有效信息，先通过开口方向缩小参数的取值范围，再代入特殊点坐标求解，注意求出参数后要结合取值范围筛选结果，避免错选。
【难度系数】
0.7
3. 已知点$(-1,y_1),(0,y_2),(1,y_3)$在函数$y=3x^2+6x+12$的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是(
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_2＞y_3＞y_1$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
D
)A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_2＞y_3＞y_1$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
答案
3. D
解析
【分析】
要比较$y_1,y_2,y_3$的大小，有两种符合学段要求的解题思路：一是直接代入法，将三个点的横坐标分别代入函数表达式，计算出对应的函数值后直接比较大小；二是性质判断法，先根据二次函数的系数确定开口方向、求出对称轴，再根据“开口向上的二次函数，点到对称轴的水平距离越远，对应函数值越大”的规律比较大小，两种方法都简单易操作。
【解析】
方法一：代入计算法
将各点横坐标分别代入$y=3x^2+6x+12$：
当$x=-1$时，$y_1=3×(-1)^2 + 6×(-1) +12=3-6+12=9$；
当$x=0$时，$y_2=3×0^2 + 6×0 +12=12$；
当$x=1$时，$y_3=3×1^2 + 6×1 +12=3+6+12=21$；
因为$21＞12＞9$，所以$y_3＞y_2＞y_1$。
方法二：性质判断法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，本题中$a=3＞0$，所以抛物线开口向上；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×3}=-1$；
开口向上时，点的横坐标到对称轴的距离越远，对应函数值越大：
点$(-1,y_1)$到对称轴距离为$\vert-1 - (-1)\vert=0$；
点$(0,y_2)$到对称轴距离为$\vert0 - (-1)\vert=1$；
点$(1,y_3)$到对称轴距离为$\vert1 - (-1)\vert=2$；
因为$2＞1＞0$，所以$y_3＞y_2＞y_1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数值计算；二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数函数值比较的常规题型，两种解题方法各有优势，代入法思路直接不易出错，性质法计算量小效率更高，建议熟练掌握两种方法，可根据题目情况灵活选用。
【难度系数】
0.9
要比较$y_1,y_2,y_3$的大小，有两种符合学段要求的解题思路：一是直接代入法，将三个点的横坐标分别代入函数表达式，计算出对应的函数值后直接比较大小；二是性质判断法，先根据二次函数的系数确定开口方向、求出对称轴，再根据“开口向上的二次函数，点到对称轴的水平距离越远，对应函数值越大”的规律比较大小，两种方法都简单易操作。
【解析】
方法一：代入计算法
将各点横坐标分别代入$y=3x^2+6x+12$：
当$x=-1$时，$y_1=3×(-1)^2 + 6×(-1) +12=3-6+12=9$；
当$x=0$时，$y_2=3×0^2 + 6×0 +12=12$；
当$x=1$时，$y_3=3×1^2 + 6×1 +12=3+6+12=21$；
因为$21＞12＞9$，所以$y_3＞y_2＞y_1$。
方法二：性质判断法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，本题中$a=3＞0$，所以抛物线开口向上；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×3}=-1$；
开口向上时，点的横坐标到对称轴的距离越远，对应函数值越大：
点$(-1,y_1)$到对称轴距离为$\vert-1 - (-1)\vert=0$；
点$(0,y_2)$到对称轴距离为$\vert0 - (-1)\vert=1$；
点$(1,y_3)$到对称轴距离为$\vert1 - (-1)\vert=2$；
因为$2＞1＞0$，所以$y_3＞y_2＞y_1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数值计算；二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数函数值比较的常规题型，两种解题方法各有优势，代入法思路直接不易出错，性质法计算量小效率更高，建议熟练掌握两种方法，可根据题目情况灵活选用。
【难度系数】
0.9
4. 二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象的最高点是$(-1,-3)$，则$b,c$的值是（
A.$b=2,c=4$
B.$b=2,c=-4$
C.$b=-2,c=4$
D.$b=-2,c=-4$
D
）A.$b=2,c=4$
B.$b=2,c=-4$
C.$b=-2,c=4$
D.$b=-2,c=-4$
答案
4. D
解析
【分析】
首先，二次函数$y=ax^2+bx+c$中，当$a＜0$时图象开口向下，图象的最高点就是它的顶点，因此题中给出的$(-1,-3)$就是该二次函数的顶点坐标。接下来我们可以利用二次函数顶点坐标公式，分别对顶点的横、纵坐标列等式，联立求解即可得到$b$、$c$的值；也可以先写出二次函数的顶点式，展开后和原式对比系数得到$b$、$c$的值。
【解析】
方法一：利用顶点坐标公式求解
∵二次函数$y=-x^2+bx+c$中$a=-1＜0$，
∴该函数图象开口向下，最高点$(-1,-3)$就是函数的顶点。
二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入已知条件得：
$-\frac{b}{2×(-1)}=-1$，
化简得$\frac{b}{2}=-1$，解得$b=-2$。
顶点纵坐标为$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，将$a=-1$、$b=-2$、$y=-3$代入得：
$\frac{4×(-1)× c - (-2)^2}{4×(-1)}=-3$，
化简得$\frac{-4c-4}{-4}=-3$，即$c+1=-3$，解得$c=-4$。
方法二：利用顶点式求解
已知函数最高点（顶点）为$(-1,-3)$，且$a=-1$，可设二次函数顶点式为$y=-(x+1)^2-3$，
展开得：$y=-(x^2+2x+1)-3=-x^2-2x-4$，
与原式$y=-x^2+bx+c$对比系数，得$b=-2$，$c=-4$。
综上可得$b=-2$，$c=-4$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点性质、待定系数法、顶点坐标公式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是明确开口向下的二次函数的最高点对应其顶点，再结合顶点相关公式即可快速求解，是二次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
首先，二次函数$y=ax^2+bx+c$中，当$a＜0$时图象开口向下，图象的最高点就是它的顶点，因此题中给出的$(-1,-3)$就是该二次函数的顶点坐标。接下来我们可以利用二次函数顶点坐标公式，分别对顶点的横、纵坐标列等式，联立求解即可得到$b$、$c$的值；也可以先写出二次函数的顶点式，展开后和原式对比系数得到$b$、$c$的值。
【解析】
方法一：利用顶点坐标公式求解
∵二次函数$y=-x^2+bx+c$中$a=-1＜0$，
∴该函数图象开口向下，最高点$(-1,-3)$就是函数的顶点。
二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，代入已知条件得：
$-\frac{b}{2×(-1)}=-1$，
化简得$\frac{b}{2}=-1$，解得$b=-2$。
顶点纵坐标为$y=\frac{4ac-b^2}{4a}$，将$a=-1$、$b=-2$、$y=-3$代入得：
$\frac{4×(-1)× c - (-2)^2}{4×(-1)}=-3$，
化简得$\frac{-4c-4}{-4}=-3$，即$c+1=-3$，解得$c=-4$。
方法二：利用顶点式求解
已知函数最高点（顶点）为$(-1,-3)$，且$a=-1$，可设二次函数顶点式为$y=-(x+1)^2-3$，
展开得：$y=-(x^2+2x+1)-3=-x^2-2x-4$，
与原式$y=-x^2+bx+c$对比系数，得$b=-2$，$c=-4$。
综上可得$b=-2$，$c=-4$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点性质、待定系数法、顶点坐标公式
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是明确开口向下的二次函数的最高点对应其顶点，再结合顶点相关公式即可快速求解，是二次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$在平面直角坐标系中的位置如图2所示，则下列结论中正确的是(
A.$a＞0$
B.$b＜0$
C.$c＜0$
D.$a+b+c＞0$
D
)A.$a＞0$
B.$b＜0$
C.$c＜0$
D.$a+b+c＞0$
答案
5. D
解析
【分析】
解决这道题需结合二次函数图象特征逐步推导各选项正误：首先根据抛物线开口方向判断a的符号；再结合对称轴位置判断b的符号；接着根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号；最后代入x=1，根据对应点的位置判断a+b+c的正负，最终选出正确选项。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 判断a的符号：抛物线开口向下，因此$a＜0$，A选项错误；
2. 判断b的符号：抛物线对称轴在y轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，已知$a＜0$，不等式两边同乘负数$2a$，不等号方向改变，可得$-b＜0$，因此$b＞0$，B选项错误；
3. 判断c的符号：抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$，C选项错误；
4. 判断$a+b+c$的符号：当$x=1$时，函数值$y=a×1^2+b×1+c=a+b+c$，由图象可知x=1时对应抛物线上的点在x轴上方，即$y＞0$，因此$a+b+c＞0$，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数特殊点函数值；二次函数性质
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考题，核心考查图象特征和系数的对应关系，熟练运用开口方向、对称轴位置、坐标轴交点、特殊点函数值的对应规律即可快速解题，是二次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
解决这道题需结合二次函数图象特征逐步推导各选项正误：首先根据抛物线开口方向判断a的符号；再结合对称轴位置判断b的符号；接着根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号；最后代入x=1，根据对应点的位置判断a+b+c的正负，最终选出正确选项。
【解析】
逐一分析各选项：
1. 判断a的符号：抛物线开口向下，因此$a＜0$，A选项错误；
2. 判断b的符号：抛物线对称轴在y轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，已知$a＜0$，不等式两边同乘负数$2a$，不等号方向改变，可得$-b＜0$，因此$b＞0$，B选项错误；
3. 判断c的符号：抛物线与y轴交于正半轴，因此$c＞0$，C选项错误；
4. 判断$a+b+c$的符号：当$x=1$时，函数值$y=a×1^2+b×1+c=a+b+c$，由图象可知x=1时对应抛物线上的点在x轴上方，即$y＞0$，因此$a+b+c＞0$，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数关系；二次函数特殊点函数值；二次函数性质
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考题，核心考查图象特征和系数的对应关系，熟练运用开口方向、对称轴位置、坐标轴交点、特殊点函数值的对应规律即可快速解题，是二次函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 抛物线$y=-2x^2+6x-1$的顶点坐标为
1. 抛物线$y=-2x^2+6x-1$的顶点坐标为
$(\frac{3}{2},\frac{7}{2})$
，对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$
。答案
1. 顶点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{7}{2})$，对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题考查二次函数一般式求顶点坐标与对称轴，解题可采用公式法：先确定二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$中$a、b、c$的取值，再代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出对称轴，最后将对称轴的x值代入解析式求出对应y值，即可得到顶点坐标；也可直接代入顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$直接求解，计算时要注意$a$为负数，避免符号出错。
【解析】
对于抛物线$y=-2x^2+6x-1$，可知$a=-2$，$b=6$，$c=-1$：
1. 求对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入数值计算得：
$x=-\frac{6}{2×(-2)}=\frac{3}{2}$，即对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$。
2. 求顶点纵坐标：将$x=\frac{3}{2}$代入抛物线解析式得：
$y=-2×(\frac{3}{2})^2 +6×\frac{3}{2} -1$
$=-2×\frac{9}{4} +9 -1$
$=-\frac{9}{2} +8$
$=\frac{7}{2}$
因此顶点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{7}{2})$。
【答案】
顶点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{7}{2})$，对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$
【知识点】
二次函数顶点坐标求法；二次函数对称轴求法
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是对二次函数一般式相关公式的记忆与运用，计算时注意负数的运算符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数一般式求顶点坐标与对称轴，解题可采用公式法：先确定二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$中$a、b、c$的取值，再代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求出对称轴，最后将对称轴的x值代入解析式求出对应y值，即可得到顶点坐标；也可直接代入顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$直接求解，计算时要注意$a$为负数，避免符号出错。
【解析】
对于抛物线$y=-2x^2+6x-1$，可知$a=-2$，$b=6$，$c=-1$：
1. 求对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入数值计算得：
$x=-\frac{6}{2×(-2)}=\frac{3}{2}$，即对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$。
2. 求顶点纵坐标：将$x=\frac{3}{2}$代入抛物线解析式得：
$y=-2×(\frac{3}{2})^2 +6×\frac{3}{2} -1$
$=-2×\frac{9}{4} +9 -1$
$=-\frac{9}{2} +8$
$=\frac{7}{2}$
因此顶点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{7}{2})$。
【答案】
顶点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{7}{2})$，对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$
【知识点】
二次函数顶点坐标求法；二次函数对称轴求法
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，核心是对二次函数一般式相关公式的记忆与运用，计算时注意负数的运算符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
2. 已知二次函数$y=\frac{1}{4}x^2 - \frac{5}{2}x +6$，当x=
5
时，y有最小
值为$-\frac{1}{4}$
；当x＜5
时，y随着x的增大而减小。答案
2. 5，小，$-\frac{1}{4}$，＜5
解析
【分析】
本题考查二次函数的基本性质，解题思路如下：1. 先根据二次项系数a的正负判断抛物线开口方向，确定y存在最大值还是最小值；2. 利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算对称轴，对称轴对应的x值就是函数取最值时的x值；3. 将对称轴的x值代入函数解析式算出最值；4. 结合开口方向，判断y随x增大而减小的区间：开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，开口向下时则相反。
【解析】
对于二次函数$y=\frac{1}{4}x^2 - \frac{5}{2}x +6$，可得$a=\frac{1}{4}$，$b=-\frac{5}{2}$，$c=6$。
1. 判断最值类型：$\because a=\frac{1}{4}＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，y有最小值。
2. 计算函数取最值时的x值：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{-\frac{5}{2}}{2×\frac{1}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}}=5$，即x=5时，y取最值。
3. 计算最值：将x=5代入解析式得：
$y=\frac{1}{4}×5^2 - \frac{5}{2}×5 +6=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+6=\frac{25}{4}-\frac{50}{4}+\frac{24}{4}=-\frac{1}{4}$。
4. 判断增减性：$\because$ 抛物线开口向上，对称轴为直线x=5，$\therefore$ 当x＜5时，y随着x的增大而减小。
【答案】
5，小，$-\frac{1}{4}$，＜5
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的增减性；二次函数对称轴计算
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题的核心是掌握二次项系数与开口方向的关系、对称轴及顶点值的计算方法，牢记不同开口方向下的增减性规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的基本性质，解题思路如下：1. 先根据二次项系数a的正负判断抛物线开口方向，确定y存在最大值还是最小值；2. 利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算对称轴，对称轴对应的x值就是函数取最值时的x值；3. 将对称轴的x值代入函数解析式算出最值；4. 结合开口方向，判断y随x增大而减小的区间：开口向上时，对称轴左侧y随x增大而减小，开口向下时则相反。
【解析】
对于二次函数$y=\frac{1}{4}x^2 - \frac{5}{2}x +6$，可得$a=\frac{1}{4}$，$b=-\frac{5}{2}$，$c=6$。
1. 判断最值类型：$\because a=\frac{1}{4}＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，y有最小值。
2. 计算函数取最值时的x值：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{-\frac{5}{2}}{2×\frac{1}{4}}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}}=5$，即x=5时，y取最值。
3. 计算最值：将x=5代入解析式得：
$y=\frac{1}{4}×5^2 - \frac{5}{2}×5 +6=\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+6=\frac{25}{4}-\frac{50}{4}+\frac{24}{4}=-\frac{1}{4}$。
4. 判断增减性：$\because$ 抛物线开口向上，对称轴为直线x=5，$\therefore$ 当x＜5时，y随着x的增大而减小。
【答案】
5，小，$-\frac{1}{4}$，＜5
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的增减性；二次函数对称轴计算
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题的核心是掌握二次项系数与开口方向的关系、对称轴及顶点值的计算方法，牢记不同开口方向下的增减性规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图3所示，则$ac$
＜
0(填“＞”“＜”或“=”).答案
3. ＜
解析
【分析】
要判断ac与0的大小关系，需分别确定a、c的符号：①先根据二次函数图象的开口方向判断a的正负；②再根据图象与y轴的交点位置判断c的正负；③最后根据有理数乘法的符号法则判断ac的符号即可。
【解析】
解：由二次函数的图象可得：
1. 抛物线开口向下，因此二次项系数$a ＜ 0$；
2. 抛物线与y轴交于正半轴，当$x=0$时，$y=c$，因此常数项$c ＞ 0$；
3. 根据“异号两数相乘得负”的运算法则，可得$ac ＜ 0$。
【答案】
＜
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 有理数乘法符号判断
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题型，解题关键是牢记二次函数系数a、c与图象特征的对应关系，掌握后可快速完成解答。
【难度系数】
0.9
要判断ac与0的大小关系，需分别确定a、c的符号：①先根据二次函数图象的开口方向判断a的正负；②再根据图象与y轴的交点位置判断c的正负；③最后根据有理数乘法的符号法则判断ac的符号即可。
【解析】
解：由二次函数的图象可得：
1. 抛物线开口向下，因此二次项系数$a ＜ 0$；
2. 抛物线与y轴交于正半轴，当$x=0$时，$y=c$，因此常数项$c ＞ 0$；
3. 根据“异号两数相乘得负”的运算法则，可得$ac ＜ 0$。
【答案】
＜
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系
2. 有理数乘法符号判断
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题型，解题关键是牢记二次函数系数a、c与图象特征的对应关系，掌握后可快速完成解答。
【难度系数】
0.9
4. 如图4,已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点$(-1,0),(1,-2)$,当y随x的增大而增大时,x的取值范围是
$＞\frac{1}{2}$
;当$y＜-2$时,x的取值范围是$0＜x＜1$
.答案
4. $＞\frac{1}{2}$，$0＜x＜1$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要利用待定系数法求出二次函数的完整解析式，再结合二次函数的性质分步求解：①先将已知的两个点代入解析式，列二元一次方程组求出b、c的值；②根据解析式求出对称轴，结合开口方向判断y随x增大而增大的区间；③令y=-2求出对应的x值，再结合开口方向确定y＜-2时x的取值范围。
【解析】
1. 求二次函数解析式：
将点$(-1,0)$、$(1,-2)$代入$y=x^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}(-1)^2 - b + c = 0 \\1^2 + b + c = -2\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}1 - b + c = 0 \quad \mathrm{(1)} \\1 + b + c = -2 \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
用(1)+(2)消去b，得$2+2c=-2$，解得$c=-2$；
将$c=-2$代入(1)，得$1 - b -2 = 0$，解得$b=-1$。
因此二次函数解析式为$y=x^2 - x - 2$。
2. 求y随x增大而增大时x的取值范围：
二次函数$y=x^2 - x - 2$中，$a=1＞0$，开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$。
开口向上的抛物线，对称轴右侧y随x的增大而增大，因此当$x＞\frac{1}{2}$时，y随x的增大而增大。
3. 求$y＜-2$时x的取值范围：
令$y=-2$，则$x^2 - x - 2 = -2$，整理得$x^2 - x = 0$，即$x(x-1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$。
因为抛物线开口向上，函数值小于-2的部分在两个交点之间，即$0＜x＜1$。
【答案】
$x＞\frac{1}{2}$；$0＜x＜1$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的增减性；二次函数与不等式
【点评】
本题考查二次函数基本性质的应用，解题核心是先求出函数解析式，再结合抛物线的开口方向、对称轴分析函数增减性和不等式解集，渗透了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要利用待定系数法求出二次函数的完整解析式，再结合二次函数的性质分步求解：①先将已知的两个点代入解析式，列二元一次方程组求出b、c的值；②根据解析式求出对称轴，结合开口方向判断y随x增大而增大的区间；③令y=-2求出对应的x值，再结合开口方向确定y＜-2时x的取值范围。
【解析】
1. 求二次函数解析式：
将点$(-1,0)$、$(1,-2)$代入$y=x^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}(-1)^2 - b + c = 0 \\1^2 + b + c = -2\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}1 - b + c = 0 \quad \mathrm{(1)} \\1 + b + c = -2 \quad \mathrm{(2)}\end{cases}$
用(1)+(2)消去b，得$2+2c=-2$，解得$c=-2$；
将$c=-2$代入(1)，得$1 - b -2 = 0$，解得$b=-1$。
因此二次函数解析式为$y=x^2 - x - 2$。
2. 求y随x增大而增大时x的取值范围：
二次函数$y=x^2 - x - 2$中，$a=1＞0$，开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$。
开口向上的抛物线，对称轴右侧y随x的增大而增大，因此当$x＞\frac{1}{2}$时，y随x的增大而增大。
3. 求$y＜-2$时x的取值范围：
令$y=-2$，则$x^2 - x - 2 = -2$，整理得$x^2 - x = 0$，即$x(x-1)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$。
因为抛物线开口向上，函数值小于-2的部分在两个交点之间，即$0＜x＜1$。
【答案】
$x＞\frac{1}{2}$；$0＜x＜1$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的增减性；二次函数与不等式
【点评】
本题考查二次函数基本性质的应用，解题核心是先求出函数解析式，再结合抛物线的开口方向、对称轴分析函数增减性和不等式解集，渗透了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
5*. 已知二次函数$y=x^2-2x(-1≤x≤t-1)$，当$x=-1$时，函数取得最大值，当$x=1$时，函数取得最小值，则t的取值范围是
$2≤t≤4$
。答案
5. $2≤t≤4$
解析
【分析】首先将二次函数化为顶点式，明确其开口方向、对称轴及最值位置：①要使最小值在x=1处取得，需保证x=1在给定的自变量区间[-1, t-1]内，即可求出t的下限；②要使最大值在x=-1处取得，根据开口向上的二次函数“点离对称轴越远，函数值越大”的性质，需保证区间右端点t-1到对称轴的距离不超过左端点-1到对称轴的距离，即可求出t的上限，综合两个范围得到最终结果。
【解析】先将二次函数配方得：
$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$
∴该函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点为$(1,-1)$，即$x=1$时函数取最小值。
第一步：
∵$x=1$需在区间$[-1, t-1]$内才能取到题目要求的最小值
∴$t-1≥1$，解得$t≥2$
第二步：$x=-1$到对称轴$x=1$的距离为$1-(-1)=2$
要使$x=-1$时函数取最大值，需满足区间右端点$t-1$到对称轴的距离不超过2，即：
$(t-1)-1≤2$（因$t-1≥1$，无需加绝对值）
解得$t≤4$
综合两步可得：$2≤ t≤4$
【答案】$2≤ t≤4$
【知识点】二次函数图象性质；二次函数区间最值；不等式求解
【点评】本题是二次函数区间最值的典型题型，核心考查对称轴与给定区间的位置关系对最值的影响，解题时需分别结合最小值、最大值的限制条件推导参数范围，注意端点值可取的情况不要漏判。
【难度系数】0.6
【解析】先将二次函数配方得：
$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$
∴该函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点为$(1,-1)$，即$x=1$时函数取最小值。
第一步：
∵$x=1$需在区间$[-1, t-1]$内才能取到题目要求的最小值
∴$t-1≥1$，解得$t≥2$
第二步：$x=-1$到对称轴$x=1$的距离为$1-(-1)=2$
要使$x=-1$时函数取最大值，需满足区间右端点$t-1$到对称轴的距离不超过2，即：
$(t-1)-1≤2$（因$t-1≥1$，无需加绝对值）
解得$t≤4$
综合两步可得：$2≤ t≤4$
【答案】$2≤ t≤4$
【知识点】二次函数图象性质；二次函数区间最值；不等式求解
【点评】本题是二次函数区间最值的典型题型，核心考查对称轴与给定区间的位置关系对最值的影响，解题时需分别结合最小值、最大值的限制条件推导参数范围，注意端点值可取的情况不要漏判。
【难度系数】0.6
三、解答题
1. 用配方法把下列二次函数化为$y=a(x-h)^2+k$的形式:
(1)$y=x^2-8x+10$
(2)$y=-3x^2+2x-1$
(3)$y=ax^2+bx+c$
1. 用配方法把下列二次函数化为$y=a(x-h)^2+k$的形式:
(1)$y=x^2-8x+10$
(2)$y=-3x^2+2x-1$
(3)$y=ax^2+bx+c$
答案
1. (1)$y=(x-4)^2-6$ (2)$y=-3(x-\frac{1}{3})^2-\frac{2}{3}$ (3)$y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
解析
【分析】
要将二次函数一般式化为顶点式，核心是利用完全平方公式进行配方，解题思路如下：①先观察二次项系数：若系数不为1，先将二次项、一次项提取公因式a，把括号内的二次项系数化为1；②对括号内的部分，加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的数，保证式子的值不变；③把括号内的三项写成完全平方的形式，再合并常数项，最终整理为$y=a(x-h)^2+k$的形式即可。
【解析】
(1) 对于$y=x^2-8x+10$，二次项系数为1，直接配方：
$\begin{aligned}y&=x^2-8x+16-16+10\\&=(x-4)^2-6\end{aligned}$
(2) 对于$y=-3x^2+2x-1$，先提取二次项系数$-3$，再配方：
$\begin{aligned}y&=-3(x^2-\frac{2}{3}x)-1\\&=-3(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}-\frac{1}{9})-1\\&=-3[(x-\frac{1}{3})^2-\frac{1}{9}]-1\\&=-3(x-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}-1\\&=-3(x-\frac{1}{3})^2-\frac{2}{3}\end{aligned}$
(3) 对于$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），先提取二次项系数$a$，再配方：
$\begin{aligned}y&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2})+c\\&=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}]+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
【答案】
(1)$y=(x-4)^2-6$ (2)$y=-3(x-\frac{1}{3})^2-\frac{2}{3}$ (3)$y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
【知识点】
配方法的应用；二次函数一般式转顶点式；完全平方公式
【点评】
本题是二次函数变形的基础题型，核心考察配方的操作步骤，解题时需注意二次项系数不为1时要先提取系数，变形过程中必须保证原式的值不变，熟练掌握本题的配方方法是后续学习二次函数图象、性质的基础。
【难度系数】
0.7
要将二次函数一般式化为顶点式，核心是利用完全平方公式进行配方，解题思路如下：①先观察二次项系数：若系数不为1，先将二次项、一次项提取公因式a，把括号内的二次项系数化为1；②对括号内的部分，加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的数，保证式子的值不变；③把括号内的三项写成完全平方的形式，再合并常数项，最终整理为$y=a(x-h)^2+k$的形式即可。
【解析】
(1) 对于$y=x^2-8x+10$，二次项系数为1，直接配方：
$\begin{aligned}y&=x^2-8x+16-16+10\\&=(x-4)^2-6\end{aligned}$
(2) 对于$y=-3x^2+2x-1$，先提取二次项系数$-3$，再配方：
$\begin{aligned}y&=-3(x^2-\frac{2}{3}x)-1\\&=-3(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}-\frac{1}{9})-1\\&=-3[(x-\frac{1}{3})^2-\frac{1}{9}]-1\\&=-3(x-\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}-1\\&=-3(x-\frac{1}{3})^2-\frac{2}{3}\end{aligned}$
(3) 对于$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），先提取二次项系数$a$，再配方：
$\begin{aligned}y&=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\\&=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2})+c\\&=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}]+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c\\&=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\end{aligned}$
【答案】
(1)$y=(x-4)^2-6$ (2)$y=-3(x-\frac{1}{3})^2-\frac{2}{3}$ (3)$y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
【知识点】
配方法的应用；二次函数一般式转顶点式；完全平方公式
【点评】
本题是二次函数变形的基础题型，核心考察配方的操作步骤，解题时需注意二次项系数不为1时要先提取系数，变形过程中必须保证原式的值不变，熟练掌握本题的配方方法是后续学习二次函数图象、性质的基础。
【难度系数】
0.7
