三、解答题
1. 已知抛物线的顶点是$(-1,-2)$且又过点$(-2,-1)$.
(1)确定抛物线的解析式；
(2)画出这个函数的图象.

1. (1) $y=(x+1)^2-2$ (2) 略

【分析】
(1) 已知抛物线顶点坐标，求解析式时优先选用二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），代入顶点坐标后仅剩参数$a$未知，再将另一个已知点代入即可求出$a$，得到完整解析式。
(2) 画二次函数图象时，先确定抛物线的对称轴、顶点，再利用二次函数的对称性选取多组对称对应点，最后用平滑曲线顺次连接各点即可。
【解析】
(1) 设抛物线的解析式为顶点式：
∵ 抛物线顶点为$(-1,-2)$
∴ 设解析式为$y=a(x+1)^2-2$（$a≠0$）
将点$(-2,-1)$代入上述解析式：
$-1=a×(-2+1)^2-2$
整理得：$-1=a-2$
解得：$a=1$
因此抛物线的解析式为$y=(x+1)^2-2$。
(2) 画图步骤参考：①确定对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标$(-1,-2)$；②列表取对称点，如$x$取$-3、-2、-1、0、1$时，对应$y$值为$2、-1、-2、-1、2$；③描点后用平滑曲线连接各点即可（图象略）。
【答案】
(1) $y=(x+1)^2-2$ (2) 略
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数图象画法
【点评】
本题属于二次函数基础题，重点考查顶点式的适用场景，已知顶点坐标时选用顶点式求解析式可简化计算，画图时要注意利用二次函数的对称性选点，保证图象符合抛物线特征。
【难度系数】
0.8

2. 已知函数$y=a(x-h)^2+k$的图象的顶点坐标为$(2,-3)$，并且经过点$(3,3)$。
(1)求出$a,h,k$的值，并写出该函数的解析式；
(2)此函数图象的对称轴是.当时，$y$随着$x$的增大而增大；当$x=$时，$y$有最值，是.

2. (1) $a=6,h=2,k=-3$；$y=6(x-2)^2-3$ (2) 直线$x=2$，$x＞2$，2，小，-3

【分析】
(1) 二次函数$y=a(x-h)^2+k$为顶点式，其顶点坐标直接对应$(h,k)$，因此可由已知顶点坐标$(2,-3)$直接确定$h$和$k$的值；仅剩下参数$a$未知，将函数经过的点$(3,3)$代入含$h$、$k$的解析式，即可求解$a$，最终得到完整的函数解析式。
(2) 结合二次函数顶点式的性质：对称轴为直线$x=h$；由$a$的正负判断开口方向，$a＞0$时开口向上，此时对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，顶点处$y$取最小值，代入对应数值即可作答。
【解析】
(1) 因为二次函数$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，已知图象顶点为$(2,-3)$，所以$h=2$，$k=-3$，函数解析式可写为$y=a(x-2)^2-3$。
将点$(3,3)$代入上述解析式，得：
$3=a(3-2)^2-3$
$3=a-3$
解得$a=6$。
因此$a=6,h=2,k=-3$，函数解析式为$y=6(x-2)^2-3$。
(2) 二次函数$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，代入$h=2$，得对称轴是直线$x=2$；
因为$a=6＞0$，函数图象开口向上，所以当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大；
开口向上的二次函数在顶点处取最小值，即当$x=2$时，$y$有最小值，最小值为$k=-3$。
【答案】
(1) $a=6,h=2,k=-3$；$y=6(x-2)^2-3$ (2) 直线$x=2$，$x＞2$，2，小，-3
【知识点】
二次函数顶点式，待定系数法求解析式，二次函数图象性质
【点评】
本题围绕二次函数顶点式的核心知识点设计，既考查了利用待定系数法求解析式的基本方法，又覆盖了顶点式下对称轴、增减性、最值的性质应用，难度较低，掌握顶点式的基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

3. 把二次函数$y_1=a(x-h)^2+k$的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数$y_2=\frac{1}{3}(x+1)^2+3$的图象.
(1)求得:$a=$,$h=$,$k=$;
(2)指出二次函数$y_1=a(x-h)^2+k$的开口方向、对称轴、顶点坐标;
(3)当$-2＜x＜5$时,求二次函数$y_1$的取值范围.

3. (1) $\frac{1}{3},2,-1$ (2) 函数图象开口向上，对称轴是直线$x=2$，顶点坐标是$(2,-1)$ (3) $\because y=\frac{1}{3}(x-2)^2-1$，$\therefore$ 当$x=2$时，$y$的最小值为$-1$。$\because x=-2$时，$y=\frac{1}{3}×(-2-2)^2-1=\frac{13}{3}$，$x=5$时，$y=\frac{1}{3}×(5-2)^2-1=2$，$\therefore$ 当$-2＜x＜5$时，$-1≤ y_1＜\frac{13}{3}$

【分析】
(1) 二次函数平移时二次项系数不变，可直接确定a的值；要求原函数的h、k，可对平移后得到的函数做逆向平移：将y₂先向下平移4个单位，再向右平移3个单位，结合“左加右减、上加下减”的平移规律即可得到y₁的顶点式，进而求出h、k。
(2) 直接根据二次函数顶点式的性质，由a的正负判断开口方向，对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h,k)即可求解。
(3) 二次函数开口向上时，顶点处取得最小值；再计算区间端点x=-2和x=5处的函数值，比较大小得到区间内的最大值上限，结合区间是开区间即可确定y₁的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 二次函数平移不改变二次项系数，
∴ $a=\frac{1}{3}$。
将$y_2=\frac{1}{3}(x+1)^2+3$先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度即可得到$y_1$：
向下平移4个单位得：$\frac{1}{3}(x+1)^2+3-4=\frac{1}{3}(x+1)^2-1$，
再向右平移3个单位，将x替换为$x-3$得：$\frac{1}{3}(x+1-3)^2-1=\frac{1}{3}(x-2)^2-1$，
对比$y_1=a(x-h)^2+k$，可得$h=2$，$k=-1$。
(2) 由(1)得$y_1=\frac{1}{3}(x-2)^2-1$，
∵ $a=\frac{1}{3}＞0$，
∴ 二次函数图象开口向上；
对称轴为直线$x=h=2$，顶点坐标为$(h,k)=(2,-1)$。
(3)
∵ $y_1=\frac{1}{3}(x-2)^2-1$开口向上，顶点为$(2,-1)$，且$x=2$在$-2＜x＜5$范围内，
∴ 当$x=2$时，$y_1$取得最小值$-1$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y_1=\frac{1}{3}×(-2-2)^2-1=\frac{1}{3}×16-1=\frac{13}{3}$；
当$x=5$时，$y_1=\frac{1}{3}×(5-2)^2-1=\frac{1}{3}×9-1=2$。
∵ $\frac{13}{3}＞2$，且$-2＜x＜5$为开区间，$x=-2$不在范围内，
∴ $y_1＜\frac{13}{3}$。
综上，当$-2＜x＜5$时，$y_1$的取值范围是$-1≤y_1＜\frac{13}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3},2,-1$
(2) 开口向上，对称轴是直线$x=2$，顶点坐标是$(2,-1)$
(3) $-1≤ y_1＜\frac{13}{3}$
【知识点】
二次函数图象平移规律，二次函数顶点式的性质，二次函数区间最值求解
【点评】
本题围绕二次函数顶点式的平移和性质展开，解题核心是熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，以及能结合开口方向和对称轴分析函数在给定区间内的取值范围，是二次函数部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7