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1. 下列抛物线的顶点坐标是$(2,1)$的是(
A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -1$
B.$y=3(x+2)^2 +1$
C.$y=2(x-2)^2 +1$
D.$y=-\frac{1}{4}(x-1)^2 +2$
C
)A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -1$
B.$y=3(x+2)^2 +1$
C.$y=2(x-2)^2 +1$
D.$y=-\frac{1}{4}(x-1)^2 +2$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数顶点式的性质：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其顶点坐标为$(h,k)$。本题要求抛物线顶点坐标为$(2,1)$，即需要找到表达式中$h=2$、$k=1$的选项，注意括号内为$x-h$，不要混淆$h$的符号，接下来逐个核对选项即可。
【解析】
根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$）的顶点坐标为$(h,k)$，逐一分析选项：
选项A：$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -1$中，$h=2$，$k=-1$，顶点坐标为$(2,-1)$，不符合要求，排除；
选项B：$y=3(x+2)^2 +1$可变形为$y=3[x-(-2)]^2 +1$，即$h=-2$，$k=1$，顶点坐标为$(-2,1)$，不符合要求，排除；
选项C：$y=2(x-2)^2 +1$中，$h=2$，$k=1$，顶点坐标为$(2,1)$，符合要求；
选项D：$y=-\frac{1}{4}(x-1)^2 +2$中，$h=1$，$k=2$，顶点坐标为$(1,2)$，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对二次函数顶点式的掌握程度，解题的易错点是容易混淆顶点式中$h$的符号，牢记公式即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆二次函数顶点式的性质：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其顶点坐标为$(h,k)$。本题要求抛物线顶点坐标为$(2,1)$，即需要找到表达式中$h=2$、$k=1$的选项，注意括号内为$x-h$，不要混淆$h$的符号，接下来逐个核对选项即可。
【解析】
根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$）的顶点坐标为$(h,k)$，逐一分析选项：
选项A：$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -1$中，$h=2$，$k=-1$，顶点坐标为$(2,-1)$，不符合要求，排除；
选项B：$y=3(x+2)^2 +1$可变形为$y=3[x-(-2)]^2 +1$，即$h=-2$，$k=1$，顶点坐标为$(-2,1)$，不符合要求，排除；
选项C：$y=2(x-2)^2 +1$中，$h=2$，$k=1$，顶点坐标为$(2,1)$，符合要求；
选项D：$y=-\frac{1}{4}(x-1)^2 +2$中，$h=1$，$k=2$，顶点坐标为$(1,2)$，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考察对二次函数顶点式的掌握程度，解题的易错点是容易混淆顶点式中$h$的符号，牢记公式即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
2. 抛物线$y=3x^2$先向上平移2个单位，后向右平移3个单位，所得抛物线是(
A.$y=3(x+3)^2 -2$
B.$y=3(x+3)^2 +2$
C.$y=3(x-3)^2 -2$
D.$y=3(x-3)^2 +2$
D
)A.$y=3(x+3)^2 -2$
B.$y=3(x+3)^2 +2$
C.$y=3(x-3)^2 -2$
D.$y=3(x-3)^2 +2$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的平移变换，解题核心是牢记“左加右减，上加下减”的平移规律：①上下平移是对函数整体的值进行调整，向上平移则常数项加平移距离，向下平移则常数项减平移距离；②左右平移是对自变量x单独进行调整，向左平移则给x加上平移距离，向右平移则给x减去平移距离，注意加减操作仅针对x本身，要给x单独加括号。解题时按照题目给出的平移顺序逐步变换表达式即可。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=3x^2$：
第一步，先向上平移2个单位，根据“上加下减”的规律，可得平移后的解析式为：
$y=3x^2 + 2$
第二步，再向右平移3个单位，根据“左加右减”的规律，将解析式中的$x$替换为$(x-3)$，可得最终解析式为：
$y=3(x-3)^2 + 2$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考点是平移规则的应用，易错点是容易混淆左右平移的加减方向，熟练掌握“左加右减、上加下减”的规律即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数图象的平移变换，解题核心是牢记“左加右减，上加下减”的平移规律：①上下平移是对函数整体的值进行调整，向上平移则常数项加平移距离，向下平移则常数项减平移距离；②左右平移是对自变量x单独进行调整，向左平移则给x加上平移距离，向右平移则给x减去平移距离，注意加减操作仅针对x本身，要给x单独加括号。解题时按照题目给出的平移顺序逐步变换表达式即可。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=3x^2$：
第一步，先向上平移2个单位，根据“上加下减”的规律，可得平移后的解析式为：
$y=3x^2 + 2$
第二步，再向右平移3个单位，根据“左加右减”的规律，将解析式中的$x$替换为$(x-3)$，可得最终解析式为：
$y=3(x-3)^2 + 2$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考点是平移规则的应用，易错点是容易混淆左右平移的加减方向，熟练掌握“左加右减、上加下减”的规律即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
3. 已知抛物线$y=(x-2)^2+1$，下列结论错误的是(
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴为直线$x=2$
C.抛物线的顶点坐标为$(2,1)$
D.当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大
D
)A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴为直线$x=2$
C.抛物线的顶点坐标为$(2,1)$
D.当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质，解题时先从给定的抛物线解析式中提取参数$a、h、k$的值，再依次结合各性质判断每个选项的正误，最终选出错误结论即可。具体思路为：首先根据$a$的正负判断开口方向，再根据顶点式直接得对称轴和顶点坐标，最后结合开口方向与对称轴分析函数的增减性。
【解析】
对于抛物线$y=(x-2)^2+1$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=1$，$h=2$，$k=1$：
选项A：$\because a=1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，A结论正确；
选项B：抛物线对称轴为直线$x=h=2$，B结论正确；
选项C：抛物线的顶点坐标为$(h,k)$，即$(2,1)$，C结论正确；
选项D：$\because$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，$\therefore$当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，而非增大，D结论错误。
题目要求选择错误的结论，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数的顶点与对称轴
【点评】
本题属于基础常考题，核心是对二次函数顶点式各参数对应性质的识记，熟练掌握顶点式下开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性的判断方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质，解题时先从给定的抛物线解析式中提取参数$a、h、k$的值，再依次结合各性质判断每个选项的正误，最终选出错误结论即可。具体思路为：首先根据$a$的正负判断开口方向，再根据顶点式直接得对称轴和顶点坐标，最后结合开口方向与对称轴分析函数的增减性。
【解析】
对于抛物线$y=(x-2)^2+1$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=1$，$h=2$，$k=1$：
选项A：$\because a=1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，A结论正确；
选项B：抛物线对称轴为直线$x=h=2$，B结论正确；
选项C：抛物线的顶点坐标为$(h,k)$，即$(2,1)$，C结论正确；
选项D：$\because$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，$\therefore$当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，而非增大，D结论错误。
题目要求选择错误的结论，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数的顶点与对称轴
【点评】
本题属于基础常考题，核心是对二次函数顶点式各参数对应性质的识记，熟练掌握顶点式下开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性的判断方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4. 已知二次函数$y=(x-m)^2 -1$，当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小，则$m$的取值范围是（$\quad$）
A.$m=1$
B.$m＞1$
C.$m≥1$
D.$m≤1$
A.$m=1$
B.$m＞1$
C.$m≥1$
D.$m≤1$
答案
C
解析
【分析】
首先根据二次函数的顶点式确定抛物线的开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性规律分析：开口向上的抛物线，在对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大。题目要求x＜1时y随x增大而减小，说明x＜1的区间需全部位于对称轴左侧（含对称轴与x=1重合的情况），据此即可推导m的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=(x-m)^2 -1$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该函数为顶点式，对称轴为直线$x=m$；
3. 开口向上的抛物线中，当$x＜m$时，$y$随$x$的增大而减小；
已知当$x＜1$时$y$随$x$的增大而减小，说明$x＜1$的区间是$x＜m$的子集，因此对称轴$x=m$应大于等于1，即$m≥1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数对称轴
【点评】
本题考查二次函数的增减性应用，解题关键是先明确抛物线的开口方向和对称轴，再结合增减性判断区间与对称轴的位置关系，需注意端点值是否符合要求，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先根据二次函数的顶点式确定抛物线的开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性规律分析：开口向上的抛物线，在对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大。题目要求x＜1时y随x增大而减小，说明x＜1的区间需全部位于对称轴左侧（含对称轴与x=1重合的情况），据此即可推导m的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=(x-m)^2 -1$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该函数为顶点式，对称轴为直线$x=m$；
3. 开口向上的抛物线中，当$x＜m$时，$y$随$x$的增大而减小；
已知当$x＜1$时$y$随$x$的增大而减小，说明$x＜1$的区间是$x＜m$的子集，因此对称轴$x=m$应大于等于1，即$m≥1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数对称轴
【点评】
本题考查二次函数的增减性应用，解题关键是先明确抛物线的开口方向和对称轴，再结合增减性判断区间与对称轴的位置关系，需注意端点值是否符合要求，避免漏解。
【难度系数】
0.7
5*. 二次函数$y=(x+m)^2+n$的图象如图所示，则一次函数$y=mx+n$的图象经过(
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限
D.第二、三、四象限
D
)A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限
D.第二、三、四象限
答案
5. D
解析
【分析】
解题时先从二次函数的顶点式入手，先明确二次函数$y=(x+m)^2+n$的顶点坐标为$(-m,n)$；再结合图像判断顶点所在象限，得到顶点横、纵坐标的符号，进而推导$m$、$n$的正负；最后根据一次函数的系数与图象的关系，判断一次函数经过的象限即可。
【解析】
1. 确定二次函数顶点坐标：二次函数$y=(x+m)^2+n$是顶点式，其顶点坐标为$(-m, n)$。
2. 结合图像判断顶点位置：由题图可知，二次函数的顶点在第四象限，因此顶点的横坐标为正、纵坐标为负，即：
$\begin{cases}-m ＞ 0 \\n ＜ 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m ＜ 0 \\n ＜ 0\end{cases}$
3. 分析一次函数图象：对于一次函数$y=mx+n$，斜率$m＜0$，说明直线从左上向右下倾斜；截距$n＜0$，说明直线与$y$轴交于负半轴，因此该一次函数的图象经过第二、三、四象限。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质，一次函数图象与系数关系，象限坐标特征
【点评】
本题是二次函数与一次函数图象性质的综合基础题，解题的核心是准确掌握二次函数顶点式的顶点坐标规律，以及一次函数斜率、截距对应的图象特征，易错点是容易混淆二次函数顶点式中顶点横坐标的符号。
【难度系数】
0.7
解题时先从二次函数的顶点式入手，先明确二次函数$y=(x+m)^2+n$的顶点坐标为$(-m,n)$；再结合图像判断顶点所在象限，得到顶点横、纵坐标的符号，进而推导$m$、$n$的正负；最后根据一次函数的系数与图象的关系，判断一次函数经过的象限即可。
【解析】
1. 确定二次函数顶点坐标：二次函数$y=(x+m)^2+n$是顶点式，其顶点坐标为$(-m, n)$。
2. 结合图像判断顶点位置：由题图可知，二次函数的顶点在第四象限，因此顶点的横坐标为正、纵坐标为负，即：
$\begin{cases}-m ＞ 0 \\n ＜ 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}m ＜ 0 \\n ＜ 0\end{cases}$
3. 分析一次函数图象：对于一次函数$y=mx+n$，斜率$m＜0$，说明直线从左上向右下倾斜；截距$n＜0$，说明直线与$y$轴交于负半轴，因此该一次函数的图象经过第二、三、四象限。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质，一次函数图象与系数关系，象限坐标特征
【点评】
本题是二次函数与一次函数图象性质的综合基础题，解题的核心是准确掌握二次函数顶点式的顶点坐标规律，以及一次函数斜率、截距对应的图象特征，易错点是容易混淆二次函数顶点式中顶点横坐标的符号。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 抛物线$y=2(x-1)^2+1$的对称轴是
1. 抛物线$y=2(x-1)^2+1$的对称轴是
直线x=1
，顶点坐标是(1,1)
。答案
1. 直线x=1，(1,1)
解析
【分析】
首先观察给出的二次函数解析式，属于$y=a(x-h)^2+k$的顶点式形式，回忆顶点式的相关性质：对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。接下来对应提取解析式中的$h$和$k$即可，注意括号内是$x-h$，因此$h$的符号要判断准确，不要误将此处的$h$认成-1。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=2(x-1)^2+1$，是二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其中$a=2$，$h=1$，$k=1$。
根据顶点式的性质：
1. 对称轴为直线$x=h$，代入$h=1$，得对称轴为直线$x=1$；
2. 顶点坐标为$(h,k)$，代入$h=1$、$k=1$，得顶点坐标为$(1,1)$。
【答案】
直线$x=1$，$(1,1)$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数对称轴、二次函数顶点坐标
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数顶点式的性质应用，解题关键是准确记忆顶点式中参数$h$、$k$对应的几何意义，注意避免$h$的符号判断错误即可快速得分。
【难度系数】
0.9
首先观察给出的二次函数解析式，属于$y=a(x-h)^2+k$的顶点式形式，回忆顶点式的相关性质：对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。接下来对应提取解析式中的$h$和$k$即可，注意括号内是$x-h$，因此$h$的符号要判断准确，不要误将此处的$h$认成-1。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=2(x-1)^2+1$，是二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$），其中$a=2$，$h=1$，$k=1$。
根据顶点式的性质：
1. 对称轴为直线$x=h$，代入$h=1$，得对称轴为直线$x=1$；
2. 顶点坐标为$(h,k)$，代入$h=1$、$k=1$，得顶点坐标为$(1,1)$。
【答案】
直线$x=1$，$(1,1)$
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数对称轴、二次函数顶点坐标
【点评】
本题是基础题型，核心考查二次函数顶点式的性质应用，解题关键是准确记忆顶点式中参数$h$、$k$对应的几何意义，注意避免$h$的符号判断错误即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 将函数$y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -2$的图象向
上
平移2
个单位可得函数$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$的图象，再向右
平移1
个单位可得函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象。答案
2. 上，2，右，1
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象平移规律：平移不改变二次项系数$a$的大小，上下平移看常数项$k$的变化，遵循“上加下减”（即函数整体加$n$就向上平移$n$个单位，减$n$就向下平移$n$个单位）；左右平移看自变量部分的变化，遵循“左加右减”（即自变量部分加$n$就向左平移$n$个单位，减$n$就向右平移$n$个单位）。也可以通过对比两个函数的顶点坐标变化，判断平移的方向和距离。
【解析】
第一步：对比$y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -2$和$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$：
两个函数的自变量部分完全相同，仅常数项从$-2$变为$0$，相当于给原函数整体加2，根据“上加下减”的规律，可知需将原图象向上平移2个单位。
第二步：对比$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$和$y=\frac{1}{2}x^2$：
两个函数的常数项均为0，自变量部分从$x+1$变为$x$，相当于自变量部分减1，根据“左加右减”的规律，可知需将图象向右平移1个单位。
也可通过顶点坐标验证：$y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -2$的顶点为$(-1,-2)$，$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$的顶点为$(-1,0)$，$y=\frac{1}{2}x^2$的顶点为$(0,0)$，顶点从$(-1,-2)$到$(-1,0)$是向上平移2个单位，再到$(0,0)$是向右平移1个单位，结果一致。
【答案】
上，2，右，1
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式的性质
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心是熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移规律，也可通过顶点坐标的变化辅助判断，避免平移方向搞混。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象平移规律：平移不改变二次项系数$a$的大小，上下平移看常数项$k$的变化，遵循“上加下减”（即函数整体加$n$就向上平移$n$个单位，减$n$就向下平移$n$个单位）；左右平移看自变量部分的变化，遵循“左加右减”（即自变量部分加$n$就向左平移$n$个单位，减$n$就向右平移$n$个单位）。也可以通过对比两个函数的顶点坐标变化，判断平移的方向和距离。
【解析】
第一步：对比$y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -2$和$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$：
两个函数的自变量部分完全相同，仅常数项从$-2$变为$0$，相当于给原函数整体加2，根据“上加下减”的规律，可知需将原图象向上平移2个单位。
第二步：对比$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$和$y=\frac{1}{2}x^2$：
两个函数的常数项均为0，自变量部分从$x+1$变为$x$，相当于自变量部分减1，根据“左加右减”的规律，可知需将图象向右平移1个单位。
也可通过顶点坐标验证：$y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -2$的顶点为$(-1,-2)$，$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$的顶点为$(-1,0)$，$y=\frac{1}{2}x^2$的顶点为$(0,0)$，顶点从$(-1,-2)$到$(-1,0)$是向上平移2个单位，再到$(0,0)$是向右平移1个单位，结果一致。
【答案】
上，2，右，1
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式的性质
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心是熟练掌握“上加下减、左加右减”的平移规律，也可通过顶点坐标的变化辅助判断，避免平移方向搞混。
【难度系数】
0.8
3. 填写下表：
| | μlticolumn{2}{c}{开口方向} | 对称轴 | 顶点坐标 | 最 值 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=a(x-h)^2+k$ | $a＞0$ | | | 当$x=$时，$y$有最值 |
| | $a＜0$ | |
| 当$x=$时，$y$有最值 |
| | μlticolumn{2}{c}{开口方向} | 对称轴 | 顶点坐标 | 最 值 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=a(x-h)^2+k$ | $a＞0$ | | | 当$x=$时，$y$有最值 |
| | $a＜0$ | |
| 当$x=$时，$y$有最值 |答案
解：
| | μlticolumn{2}{c}{开口方向} | 对称轴 | 顶点坐标 | 最 值 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=a(x-h)^2+k$ | $a＞0$ | 向上 | 直线$x=h$ | $(h,k)$ | 当$x=h$时，$y$有最小值$k$ |
| | $a＜0$ | 向下 | 直线$x=h$ | $(h,k)$ | 当$x=h$时，$y$有最大值$k$ |
| | μlticolumn{2}{c}{开口方向} | 对称轴 | 顶点坐标 | 最 值 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=a(x-h)^2+k$ | $a＞0$ | 向上 | 直线$x=h$ | $(h,k)$ | 当$x=h$时，$y$有最小值$k$ |
| | $a＜0$ | 向下 | 直线$x=h$ | $(h,k)$ | 当$x=h$时，$y$有最大值$k$ |
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本性质，解题时可结合参数意义和结构特征逐步推导：1. 先判断开口方向：$a$的符号决定抛物线开口朝向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；2. 由顶点式的结构直接得对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；3. 结合开口方向判断最值：开口向上时顶点是图像最低点，对应$y$的最小值；开口向下时顶点是图像最高点，对应$y$的最大值，取最值时$x$的值为顶点横坐标$h$，最值为顶点纵坐标$k$。
【解析】
1. 当$a＞0$时：
开口方向为向上，对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；由于开口向上，顶点是图像最低点，因此当$x=h$时，$y$有最小值$k$。
2. 当$a＜0$时：
开口方向为向下，对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；由于开口向下，顶点是图像最高点，因此当$x=h$时，$y$有最大值$k$。
【答案】
$a＞0$行依次填：向上，直线$x=h$，$(h,k)$，$h$，小，$k$；
$a＜0$行依次填：向下，直线$x=h$，$(h,k)$，$h$，大，$k$。
（完整填表如下：
| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 最 值 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=a(x-h)^2+k$ | $a＞0$ | 向上 | 直线$x=h$ | $(h,k)$ | 当$x=h$时，$y$有最小值$k$ |
| | $a＜0$ | 向下 | 直线$x=h$ | $(h,k)$ | 当$x=h$时，$y$有最大值$k$ |
）
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数开口与a的关系
3. 二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数基础概念题，重点考查顶点式各参数对应的性质，是后续解决二次函数综合问题的基础，需要熟练记忆掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本性质，解题时可结合参数意义和结构特征逐步推导：1. 先判断开口方向：$a$的符号决定抛物线开口朝向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；2. 由顶点式的结构直接得对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；3. 结合开口方向判断最值：开口向上时顶点是图像最低点，对应$y$的最小值；开口向下时顶点是图像最高点，对应$y$的最大值，取最值时$x$的值为顶点横坐标$h$，最值为顶点纵坐标$k$。
【解析】
1. 当$a＞0$时：
开口方向为向上，对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；由于开口向上，顶点是图像最低点，因此当$x=h$时，$y$有最小值$k$。
2. 当$a＜0$时：
开口方向为向下，对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；由于开口向下，顶点是图像最高点，因此当$x=h$时，$y$有最大值$k$。
【答案】
$a＞0$行依次填：向上，直线$x=h$，$(h,k)$，$h$，小，$k$；
$a＜0$行依次填：向下，直线$x=h$，$(h,k)$，$h$，大，$k$。
（完整填表如下：
| | 开口方向 | 对称轴 | 顶点坐标 | 最 值 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=a(x-h)^2+k$ | $a＞0$ | 向上 | 直线$x=h$ | $(h,k)$ | 当$x=h$时，$y$有最小值$k$ |
| | $a＜0$ | 向下 | 直线$x=h$ | $(h,k)$ | 当$x=h$时，$y$有最大值$k$ |
）
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数开口与a的关系
3. 二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数基础概念题，重点考查顶点式各参数对应的性质，是后续解决二次函数综合问题的基础，需要熟练记忆掌握。
【难度系数】
0.9
4. 已知点$P_1(-2,y_1),P_2(-1,y_2),P_3(5,y_3)$都在二次函数$y=-(x-1)^2+\dfrac{4}{3}$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为________。
答案
$y_2＞y_1＞y_3$
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，首先结合二次函数顶点式的性质分析：该二次函数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，此时抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大。因此解题步骤为：①先确定二次函数的开口方向和对称轴；②分别计算三个点到对称轴的水平距离；③根据“开口向下，距离对称轴越近，y值越大”的规律，即可比较三个y值的大小。
【解析】
解：
∵二次函数解析式为$y=-(x-1)^2+\dfrac{4}{3}$，
∴$a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，且抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大。
分别计算三个点到对称轴$x=1$的距离：
点$P_1(-2,y_1)$到直线$x=1$的距离：$|-2-1|=3$；
点$P_2(-1,y_2)$到直线$x=1$的距离：$|-1-1|=2$；
点$P_3(5,y_3)$到直线$x=1$的距离：$|5-1|=4$。
∵$2＜3＜4$，
∴对应的函数值大小为$y_2＞y_1＞y_3$。
【答案】
$y_2＞y_1＞y_3$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
【点评】
本题考查二次函数的图象性质，解题关键是熟练掌握顶点式下抛物线开口方向、对称轴的判断方法，利用点到对称轴的距离比较函数值大小，相比代入求值的方法更简便快捷。
【难度系数】
0.8
要比较三个点的函数值大小，首先结合二次函数顶点式的性质分析：该二次函数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，此时抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大。因此解题步骤为：①先确定二次函数的开口方向和对称轴；②分别计算三个点到对称轴的水平距离；③根据“开口向下，距离对称轴越近，y值越大”的规律，即可比较三个y值的大小。
【解析】
解：
∵二次函数解析式为$y=-(x-1)^2+\dfrac{4}{3}$，
∴$a=-1＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，且抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大。
分别计算三个点到对称轴$x=1$的距离：
点$P_1(-2,y_1)$到直线$x=1$的距离：$|-2-1|=3$；
点$P_2(-1,y_2)$到直线$x=1$的距离：$|-1-1|=2$；
点$P_3(5,y_3)$到直线$x=1$的距离：$|5-1|=4$。
∵$2＜3＜4$，
∴对应的函数值大小为$y_2＞y_1＞y_3$。
【答案】
$y_2＞y_1＞y_3$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
【点评】
本题考查二次函数的图象性质，解题关键是熟练掌握顶点式下抛物线开口方向、对称轴的判断方法，利用点到对称轴的距离比较函数值大小，相比代入求值的方法更简便快捷。
【难度系数】
0.8
