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5*. 在函数$y=(x-m)^2$中，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，则实数$m$的值可以是
1(答案不唯一,满足m≤1即可)
（写出一个满足条件的$m$的值）。答案
5. 1(答案不唯一,满足m≤1即可)
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：当$a＞0$时抛物线开口向上，对称轴为直线$x=h$，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，左侧$y$随$x$的增大而减小。本题中函数$y=(x-m)^2$开口向上，要满足$x＞1$时$y$随$x$增大而增大，说明$x＞1$的区间需全部落在对称轴右侧，因此对称轴应不大于1，即$m≤1$，任取该范围内一个值即可。
【解析】
对于二次函数$y=(x-m)^2$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 抛物线的对称轴为直线$x=m$；
3. 开口向上的抛物线，当$x＞m$时，$y$随$x$的增大而增大；
4. 题目要求$x＞1$时$y$随$x$的增大而增大，因此对称轴需满足$m≤1$，取$m=1$即可（答案不唯一）。
【答案】
1（答案不唯一，满足$m≤1$即可）
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数的增减性应用，解题的关键是明确抛物线开口方向、对称轴位置与函数增减区间的对应关系，属于基础题型，答案具有开放性，只要符合取值范围均正确。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：当$a＞0$时抛物线开口向上，对称轴为直线$x=h$，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，左侧$y$随$x$的增大而减小。本题中函数$y=(x-m)^2$开口向上，要满足$x＞1$时$y$随$x$增大而增大，说明$x＞1$的区间需全部落在对称轴右侧，因此对称轴应不大于1，即$m≤1$，任取该范围内一个值即可。
【解析】
对于二次函数$y=(x-m)^2$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 抛物线的对称轴为直线$x=m$；
3. 开口向上的抛物线，当$x＞m$时，$y$随$x$的增大而增大；
4. 题目要求$x＞1$时$y$随$x$的增大而增大，因此对称轴需满足$m≤1$，取$m=1$即可（答案不唯一）。
【答案】
1（答案不唯一，满足$m≤1$即可）
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数的增减性应用，解题的关键是明确抛物线开口方向、对称轴位置与函数增减区间的对应关系，属于基础题型，答案具有开放性，只要符合取值范围均正确。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 已知抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=2$，且过点$(1,3)$，求$a,h$的值。
1. 已知抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=2$，且过点$(1,3)$，求$a,h$的值。
答案
1. a=3,h=2
解析
【分析】
解题时先利用二次函数顶点式的性质确定h的值：抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，题目已给出对称轴为直线$x=2$，可直接得到$h$的取值；再将已知点的坐标代入含有参数$a$的抛物线解析式，通过解方程即可求出$a$的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，且已知其对称轴为直线$x=2$，
∴$h=2$，
此时抛物线解析式为$y=a(x-2)^2$，
∵抛物线过点$(1,3)$，将$x=1$，$y=3$代入解析式得：
$3=a(1-2)^2$
计算得$3=a×1$，
∴$a=3$。
【答案】
$a=3$，$h=2$
【知识点】
二次函数顶点式性质；待定系数法求参数
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基础应用，解题关键是牢记顶点式中各参数对应的几何意义，代入点坐标计算时注意运算准确性，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时先利用二次函数顶点式的性质确定h的值：抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，题目已给出对称轴为直线$x=2$，可直接得到$h$的取值；再将已知点的坐标代入含有参数$a$的抛物线解析式，通过解方程即可求出$a$的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，且已知其对称轴为直线$x=2$，
∴$h=2$，
此时抛物线解析式为$y=a(x-2)^2$，
∵抛物线过点$(1,3)$，将$x=1$，$y=3$代入解析式得：
$3=a(1-2)^2$
计算得$3=a×1$，
∴$a=3$。
【答案】
$a=3$，$h=2$
【知识点】
二次函数顶点式性质；待定系数法求参数
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基础应用，解题关键是牢记顶点式中各参数对应的几何意义，代入点坐标计算时注意运算准确性，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 将抛物线$y=ax^2$向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点$(1,3)$，求$a$的值.
答案
$a=\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，回忆抛物线平移的性质：抛物线平移时仅位置改变，形状和开口方向不变，因此二次项系数$a$保持不变；已知新抛物线顶点横坐标为-2，即顶点坐标为$(-2,0)$，因此可直接用顶点式设出新抛物线的解析式。第二步，将已知点$(1,3)$代入所设的解析式，得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
解：
∵ 抛物线平移过程中二次项系数$a$不变，且新抛物线的顶点横坐标为-2，
∴ 设新抛物线的解析式为$y=a(x+2)^2$。
∵ 新抛物线经过点$(1,3)$，
∴ 将$x=1$，$y=3$代入解析式，得：
$3=a(1+2)^2$
整理得$3=9a$，
解得$a=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
$a=\dfrac{1}{3}$
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数顶点式；待定系数法求值
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，核心考点是抛物线平移时$a$不变的性质，以及顶点式的应用。熟练掌握平移规律和顶点式的使用方法，是解决这类问题的关键，也能为后续学习更复杂的二次函数变换打下基础。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步，回忆抛物线平移的性质：抛物线平移时仅位置改变，形状和开口方向不变，因此二次项系数$a$保持不变；已知新抛物线顶点横坐标为-2，即顶点坐标为$(-2,0)$，因此可直接用顶点式设出新抛物线的解析式。第二步，将已知点$(1,3)$代入所设的解析式，得到关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
解：
∵ 抛物线平移过程中二次项系数$a$不变，且新抛物线的顶点横坐标为-2，
∴ 设新抛物线的解析式为$y=a(x+2)^2$。
∵ 新抛物线经过点$(1,3)$，
∴ 将$x=1$，$y=3$代入解析式，得：
$3=a(1+2)^2$
整理得$3=9a$，
解得$a=\dfrac{1}{3}$。
【答案】
$a=\dfrac{1}{3}$
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数顶点式；待定系数法求值
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，核心考点是抛物线平移时$a$不变的性质，以及顶点式的应用。熟练掌握平移规律和顶点式的使用方法，是解决这类问题的关键，也能为后续学习更复杂的二次函数变换打下基础。
【难度系数】
0.8
3. 已知二次函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$.
(1)在如图所示的坐标系中描点，画出该二次函数的图象；
(2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
(3)若$-1≤x≤6$，求$y$的取值范围.
(1)在如图所示的坐标系中描点，画出该二次函数的图象；
(2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
(3)若$-1≤x≤6$，求$y$的取值范围.
答案
3. (1)画图略 (2)该二次函数图象的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,0) (3)
∵$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$,
∴当x=2时,y的最小值为0.
∵当x=-1时,$y=\frac{1}{2}(-1-2)^2=\frac{9}{2}$,当x=6时,$y=\frac{1}{2}(6-2)^2=8$,
∴由图象可得-1≤x≤6时,0≤y≤8.
∵$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$,
∴当x=2时,y的最小值为0.
∵当x=-1时,$y=\frac{1}{2}(-1-2)^2=\frac{9}{2}$,当x=6时,$y=\frac{1}{2}(6-2)^2=8$,
∴由图象可得-1≤x≤6时,0≤y≤8.
解析
【分析】
(1) 画二次函数图象采用描点法：先根据顶点式确定顶点坐标，再在对称轴两侧对称选取x值计算对应y值，列表后在坐标系中描点，最后用平滑曲线顺次连接各点即可。
(2) 对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，直接对应解析式中$h$的取值即可求解。
(3) 求指定区间内y的取值范围：先判断二次函数开口方向，确定最小值的位置（开口向上时顶点处取最小值），再计算区间两个端点对应的y值，比较大小得到最大值，最终确定y的取值范围。
【解析】
(1) ①列表：选取x的值如0、1、2、3、4，计算得对应y值分别为2、$\frac{1}{2}$、0、$\frac{1}{2}$、2；②在坐标系中描出上述点；③用平滑曲线顺次连接各点，即得该二次函数图象。（画图略）
(2) 已知二次函数解析式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$，对应$y=a(x-h)^2$的形式，其中$h=2$，因此该二次函数图象的对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$。
(3) $\because y=\frac{1}{2}(x-2)^2$中$a=\frac{1}{2}＞0$，抛物线开口向上，
$\therefore$ 顶点处函数值最小，当$x=2$时，$y$的最小值为0。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=\frac{1}{2}(-1-2)^2=\frac{9}{2}$；
当$x=6$时，$y=\frac{1}{2}(6-2)^2=8$。
$\because 8＞\frac{9}{2}$，$\therefore$ 在$-1≤x≤6$范围内，$y$的最大值为8。
综上，$-1≤x≤6$时，$y$的取值范围为$0≤y≤8$。
【答案】
(1) 画图略
(2) 对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$
(3) $0≤y≤8$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数图象画法
3. 二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础应用题型，主要考查对二次函数顶点式相关性质的掌握，以及指定区间内函数取值范围的求解方法，解题核心是抓住开口方向、对称轴，结合函数增减性判断最值，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
(1) 画二次函数图象采用描点法：先根据顶点式确定顶点坐标，再在对称轴两侧对称选取x值计算对应y值，列表后在坐标系中描点，最后用平滑曲线顺次连接各点即可。
(2) 对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，直接对应解析式中$h$的取值即可求解。
(3) 求指定区间内y的取值范围：先判断二次函数开口方向，确定最小值的位置（开口向上时顶点处取最小值），再计算区间两个端点对应的y值，比较大小得到最大值，最终确定y的取值范围。
【解析】
(1) ①列表：选取x的值如0、1、2、3、4，计算得对应y值分别为2、$\frac{1}{2}$、0、$\frac{1}{2}$、2；②在坐标系中描出上述点；③用平滑曲线顺次连接各点，即得该二次函数图象。（画图略）
(2) 已知二次函数解析式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$，对应$y=a(x-h)^2$的形式，其中$h=2$，因此该二次函数图象的对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$。
(3) $\because y=\frac{1}{2}(x-2)^2$中$a=\frac{1}{2}＞0$，抛物线开口向上，
$\therefore$ 顶点处函数值最小，当$x=2$时，$y$的最小值为0。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=\frac{1}{2}(-1-2)^2=\frac{9}{2}$；
当$x=6$时，$y=\frac{1}{2}(6-2)^2=8$。
$\because 8＞\frac{9}{2}$，$\therefore$ 在$-1≤x≤6$范围内，$y$的最大值为8。
综上，$-1≤x≤6$时，$y$的取值范围为$0≤y≤8$。
【答案】
(1) 画图略
(2) 对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$
(3) $0≤y≤8$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数图象画法
3. 二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础应用题型，主要考查对二次函数顶点式相关性质的掌握，以及指定区间内函数取值范围的求解方法，解题核心是抓住开口方向、对称轴，结合函数增减性判断最值，是巩固二次函数基础的典型习题。
【难度系数】
0.8
