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1. 下列抛物线与x轴只有一个公共点的是(
A.$y=4x^2+2x+1$
B.$y=3x^2+1$
C.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
D.$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+3$
C
)A.$y=4x^2+2x+1$
B.$y=3x^2+1$
C.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$
D.$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+3$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断抛物线与x轴的公共点个数，核心方法是利用二次函数与对应一元二次方程的关系：对于抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，令$y=0$得到一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，方程根的个数就是抛物线与x轴的公共点个数，可通过判别式$\Delta=b^2-4ac$判断：$\Delta＞0$时有2个公共点，$\Delta=0$时有1个公共点，$\Delta＜0$时无公共点。如果是顶点式$y=a(x-h)^2+k$，也可直接看顶点纵坐标$k$：若$k=0$，顶点在x轴上，仅1个公共点。解题时逐个分析选项即可。
【解析】
我们逐一判断每个选项：
A. 对于$y=4x^2+2x+1$，$a=4,b=2,c=1$，$\Delta=2^2-4×4×1=4-16=-12＜0$，与x轴无公共点，排除；
B. 对于$y=3x^2+1$，$a=3,b=0,c=1$，$\Delta=0^2-4×3×1=-12＜0$，与x轴无公共点，排除；
C. 对于$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$，属于顶点式，顶点坐标为$(2,0)$，顶点在x轴上，因此与x轴只有1个公共点，符合要求；也可展开计算判别式验证：展开得$y=\frac{1}{2}x^2-2x+2$，$\Delta=(-2)^2-4×\frac{1}{2}×2=4-4=0$，同样可得只有1个公共点；
D. 对于$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+3$，令$y=0$，解得$\frac{1}{2}(x-3)^2=3$，即$(x-3)^2=6$，有两个不同的实根，因此与x轴有2个公共点，排除。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程判别式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数相关的基础常考题，既可以通过一般式的判别式计算判断，也可以结合顶点式的顶点位置快速得出结论，熟练掌握两种方法可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线与x轴的公共点个数，核心方法是利用二次函数与对应一元二次方程的关系：对于抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，令$y=0$得到一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，方程根的个数就是抛物线与x轴的公共点个数，可通过判别式$\Delta=b^2-4ac$判断：$\Delta＞0$时有2个公共点，$\Delta=0$时有1个公共点，$\Delta＜0$时无公共点。如果是顶点式$y=a(x-h)^2+k$，也可直接看顶点纵坐标$k$：若$k=0$，顶点在x轴上，仅1个公共点。解题时逐个分析选项即可。
【解析】
我们逐一判断每个选项：
A. 对于$y=4x^2+2x+1$，$a=4,b=2,c=1$，$\Delta=2^2-4×4×1=4-16=-12＜0$，与x轴无公共点，排除；
B. 对于$y=3x^2+1$，$a=3,b=0,c=1$，$\Delta=0^2-4×3×1=-12＜0$，与x轴无公共点，排除；
C. 对于$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$，属于顶点式，顶点坐标为$(2,0)$，顶点在x轴上，因此与x轴只有1个公共点，符合要求；也可展开计算判别式验证：展开得$y=\frac{1}{2}x^2-2x+2$，$\Delta=(-2)^2-4×\frac{1}{2}×2=4-4=0$，同样可得只有1个公共点；
D. 对于$y=-\frac{1}{2}(x-3)^2+3$，令$y=0$，解得$\frac{1}{2}(x-3)^2=3$，即$(x-3)^2=6$，有两个不同的实根，因此与x轴有2个公共点，排除。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程判别式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数相关的基础常考题，既可以通过一般式的判别式计算判断，也可以结合顶点式的顶点位置快速得出结论，熟练掌握两种方法可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
2. 抛物线$y=3(x+3)(x-1)$的对称轴是直线(
A.$x=2$
B.$x=-3$
C.$x=1$
D.$x=-1$
D
)A.$x=2$
B.$x=-3$
C.$x=1$
D.$x=-1$
答案
2. D
解析
【分析】
拿到本题首先观察给出的抛物线解析式是交点式，我们可以有两种解题思路：一是利用二次函数交点式的性质，交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a≠0$）中，$x_1$、$x_2$是抛物线与x轴两个交点的横坐标，抛物线的对称轴是两个交点连线的垂直平分线，即对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$，代入数值即可快速求解；二是将交点式展开为一般式$y=ax^2+bx+c$，再代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，两种方法都符合所学知识，第一种方法计算更简便。
【解析】
方法一：利用交点式性质求解
已知抛物线解析式为$y=3(x+3)(x-1)$，属于交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，可得抛物线与x轴的两个交点横坐标分别为$x_1=-3$，$x_2=1$。
根据抛物线对称轴为两个交点横坐标的平均值，可得：
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-3+1}{2}=-1$
方法二：转化为一般式求解
先展开解析式：
$y=3(x+3)(x-1)=3(x^2+2x-3)=3x^2+6x-9$
其中$a=3$，$b=6$，代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$得：
$x=-\frac{6}{2×3}=-1$
综上，抛物线的对称轴是直线$x=-1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数交点式性质、二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数对称轴计算的基础题型，掌握不同解析式形式下对称轴的求解方法，可根据题目给出的解析式形式选择最简便的方法，提高解题速度和正确率。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先观察给出的抛物线解析式是交点式，我们可以有两种解题思路：一是利用二次函数交点式的性质，交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$a≠0$）中，$x_1$、$x_2$是抛物线与x轴两个交点的横坐标，抛物线的对称轴是两个交点连线的垂直平分线，即对称轴为直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$，代入数值即可快速求解；二是将交点式展开为一般式$y=ax^2+bx+c$，再代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，两种方法都符合所学知识，第一种方法计算更简便。
【解析】
方法一：利用交点式性质求解
已知抛物线解析式为$y=3(x+3)(x-1)$，属于交点式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$，可得抛物线与x轴的两个交点横坐标分别为$x_1=-3$，$x_2=1$。
根据抛物线对称轴为两个交点横坐标的平均值，可得：
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-3+1}{2}=-1$
方法二：转化为一般式求解
先展开解析式：
$y=3(x+3)(x-1)=3(x^2+2x-3)=3x^2+6x-9$
其中$a=3$，$b=6$，代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$得：
$x=-\frac{6}{2×3}=-1$
综上，抛物线的对称轴是直线$x=-1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数交点式性质、二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数对称轴计算的基础题型，掌握不同解析式形式下对称轴的求解方法，可根据题目给出的解析式形式选择最简便的方法，提高解题速度和正确率。
【难度系数】
0.8
3. 抛物线$y=x^2+x+k$与$x$轴有两个公共点,则$k$的取值范围为(
A.$k＞\frac{1}{4}$
B.$k＜\frac{1}{4}$
C.$k＞-\frac{1}{4}$
D.$k＜-\frac{1}{4}$
B
)A.$k＞\frac{1}{4}$
B.$k＜\frac{1}{4}$
C.$k＞-\frac{1}{4}$
D.$k＜-\frac{1}{4}$
答案
3. B
解析
【分析】
要确定k的取值范围，首先需明确二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的关系：抛物线与x轴有两个公共点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式Δ＞0。接下来找到方程中a、b、c的值代入判别式，列出关于k的不等式，求解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2+x+k$与$x$轴有两个公共点
∴ 一元二次方程$x^2+x+k=0$有两个不相等的实数根，判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$
在方程$x^2+x+k=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=k$，代入得：
$\Delta = 1^2 - 4×1× k ＞ 0$
即 $1 - 4k ＞ 0$
移项得：$-4k ＞ -1$
不等式两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：
$k ＜ \frac{1}{4}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与x轴交点判定，根的判别式应用，一元一次不等式求解
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的联系，解题的关键是掌握抛物线与x轴交点个数和根的判别式的对应关系，属于基础题型，计算量较小。
【难度系数】
0.8
要确定k的取值范围，首先需明确二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的关系：抛物线与x轴有两个公共点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式Δ＞0。接下来找到方程中a、b、c的值代入判别式，列出关于k的不等式，求解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2+x+k$与$x$轴有两个公共点
∴ 一元二次方程$x^2+x+k=0$有两个不相等的实数根，判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$
在方程$x^2+x+k=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=k$，代入得：
$\Delta = 1^2 - 4×1× k ＞ 0$
即 $1 - 4k ＞ 0$
移项得：$-4k ＞ -1$
不等式两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得：
$k ＜ \frac{1}{4}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与x轴交点判定，根的判别式应用，一元一次不等式求解
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的联系，解题的关键是掌握抛物线与x轴交点个数和根的判别式的对应关系，属于基础题型，计算量较小。
【难度系数】
0.8
4. 若二次函数$y=ax^2+bx+c$的$x$与$y$的部分对应值如下表：
则当$x=1$时，$y$的值为(
A.5
B.-3
C.-13
D.-27
则当$x=1$时，$y$的值为(
D
)A.5
B.-3
C.-13
D.-27
答案
4. D
解析
【分析】
本题可利用二次函数的对称性快速求解，也可通过待定系数法求解析式后代入计算。首先观察表格中y值相同的两组数据，根据二次函数图象的轴对称性，先确定抛物线的对称轴，再找到x=1关于对称轴的对称点，该对称点对应的y值就是x=1时的y值；若用待定系数法，选择三组x、y的对应值代入二次函数解析式，求出a、b、c的值，再代入x=1计算即可。
【解析】
方法一：利用二次函数对称性求解
二次函数的图象是轴对称图形，当两个点的纵坐标相等时，这两个点关于抛物线的对称轴对称。
观察表格可知：当x=-4和x=-2时，y的值均为3，因此抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-4+(-2)}{2}=-3$。
设x=1关于直线x=-3的对称点的横坐标为m，根据对称轴的性质可得：$\frac{1+m}{2}=-3$，解得$m=-7$。
由二次函数的对称性可知，x=1与x=-7对应的y值相等，查表得x=-7时y=-27，因此x=1时y=-27。
方法二：待定系数法求解析式
选取表格中三组值$\{\begin{array}{l}x=-3,y=5\\x=-4,y=3\\x=-2,y=3\end{array} $代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}9a-3b+c=5&①\\16a-4b+c=3&②\\4a-2b+c=3&③\end{cases}$
②-③得：$12a-2b=0$，化简得$b=6a$ ④
①-③得：$5a-b=2$ ⑤
将④代入⑤得：$5a-6a=2$，解得$a=-2$，
把$a=-2$代入④得$b=-12$，
把$a=-2,b=-12$代入③得：$4×(-2)-2×(-12)+c=3$，解得$c=-13$，
因此二次函数解析式为$y=-2x^2-12x-13$，
将$x=1$代入得：$y=-2×1^2-12×1-13=-27$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质
【点评】
本题解题的关键是发现二次函数的对称特征，利用对称性求解可大大减少计算量，同时也考查了待定系数法求函数解析式的基本方法。
【难度系数】
0.7
本题可利用二次函数的对称性快速求解，也可通过待定系数法求解析式后代入计算。首先观察表格中y值相同的两组数据，根据二次函数图象的轴对称性，先确定抛物线的对称轴，再找到x=1关于对称轴的对称点，该对称点对应的y值就是x=1时的y值；若用待定系数法，选择三组x、y的对应值代入二次函数解析式，求出a、b、c的值，再代入x=1计算即可。
【解析】
方法一：利用二次函数对称性求解
二次函数的图象是轴对称图形，当两个点的纵坐标相等时，这两个点关于抛物线的对称轴对称。
观察表格可知：当x=-4和x=-2时，y的值均为3，因此抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-4+(-2)}{2}=-3$。
设x=1关于直线x=-3的对称点的横坐标为m，根据对称轴的性质可得：$\frac{1+m}{2}=-3$，解得$m=-7$。
由二次函数的对称性可知，x=1与x=-7对应的y值相等，查表得x=-7时y=-27，因此x=1时y=-27。
方法二：待定系数法求解析式
选取表格中三组值$\{\begin{array}{l}x=-3,y=5\\x=-4,y=3\\x=-2,y=3\end{array} $代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}9a-3b+c=5&①\\16a-4b+c=3&②\\4a-2b+c=3&③\end{cases}$
②-③得：$12a-2b=0$，化简得$b=6a$ ④
①-③得：$5a-b=2$ ⑤
将④代入⑤得：$5a-6a=2$，解得$a=-2$，
把$a=-2$代入④得$b=-12$，
把$a=-2,b=-12$代入③得：$4×(-2)-2×(-12)+c=3$，解得$c=-13$，
因此二次函数解析式为$y=-2x^2-12x-13$，
将$x=1$代入得：$y=-2×1^2-12×1-13=-27$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质
【点评】
本题解题的关键是发现二次函数的对称特征，利用对称性求解可大大减少计算量，同时也考查了待定系数法求函数解析式的基本方法。
【难度系数】
0.7
5. 二次函数$y=x^2-2x-3$的图象如图1所示. 当$y＜0$时,自变量$x$的取值范围是(
A.$-1＜x＜3$
B.$x＜-1$
C.$x＞3$
D.$x＜-1$或$x＞3$
A
)A.$-1＜x＜3$
B.$x＜-1$
C.$x＞3$
D.$x＜-1$或$x＞3$
答案
5. A
解析
【分析】
要确定二次函数y＜0时自变量x的取值范围，可按以下思路推导：首先，y＜0对应二次函数图像在x轴下方的部分，因此需要先求出抛物线与x轴的交点（即y=0时x的取值）；其次，根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向；最后结合开口方向，确定x轴下方图像对应的x的区间即可。
【解析】
第一步，求抛物线与x轴的交点：令y=0，得方程$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，即抛物线与x轴交于点$(-1,0)$和$(3,0)$。
第二步，判断开口方向：二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上。
第三步，确定y＜0时的x范围：开口向上的抛物线，x轴下方的图像对应的x值在两个交点之间，即$-1＜x＜3$。
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数与一元二次方程；数形结合应用
【点评】
本题是二次函数与不等式结合的基础题型，解题核心是利用数形结合思想，通过抛物线与x轴的交点、开口方向快速判断函数值正负对应的自变量取值范围，熟练掌握该方法可为后续解决二次函数综合题打下基础。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数y＜0时自变量x的取值范围，可按以下思路推导：首先，y＜0对应二次函数图像在x轴下方的部分，因此需要先求出抛物线与x轴的交点（即y=0时x的取值）；其次，根据二次项系数的正负判断抛物线的开口方向；最后结合开口方向，确定x轴下方图像对应的x的区间即可。
【解析】
第一步，求抛物线与x轴的交点：令y=0，得方程$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$，即抛物线与x轴交于点$(-1,0)$和$(3,0)$。
第二步，判断开口方向：二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上。
第三步，确定y＜0时的x范围：开口向上的抛物线，x轴下方的图像对应的x值在两个交点之间，即$-1＜x＜3$。
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数与一元二次方程；数形结合应用
【点评】
本题是二次函数与不等式结合的基础题型，解题核心是利用数形结合思想，通过抛物线与x轴的交点、开口方向快速判断函数值正负对应的自变量取值范围，熟练掌握该方法可为后续解决二次函数综合题打下基础。
【难度系数】
0.8
1. 已知二次函数$y=(x+1)(x-2)$，则它的图象与$x$轴的交点坐标为
(-1,0),(2,0)
，与$y$轴的交点坐标为(0,-2)
。答案
1. (-1,0),(2,0);(0,-2)
解析
【分析】
要确定二次函数图象与坐标轴的交点坐标，需结合坐标轴上点的坐标特征求解：①x轴上所有点的纵坐标为0，因此令函数中y=0，解对应的一元二次方程，得到的解就是交点的横坐标，纵坐标为0；②y轴上所有点的横坐标为0，因此令函数中x=0，代入计算得到的结果就是交点的纵坐标，横坐标为0。
【解析】
1. 求图象与x轴的交点坐标：
令$y=0$，代入函数解析式得：$(x+1)(x-2)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=2$
所以与x轴的交点坐标为$(-1,0)$、$(2,0)$。
2. 求图象与y轴的交点坐标：
令$x=0$，代入函数解析式得：$y=(0+1)×(0-2)=-2$
所以与y轴的交点坐标为$(0,-2)$。
【答案】
$(-1,0),(2,0);(0,-2)$
【知识点】
坐标轴点的坐标特征；二次函数交点求法；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数与坐标轴交点的求解方法，牢记坐标轴上点的坐标特征即可快速解题，是学习二次函数图象相关知识的必备基础。
【难度系数】
0.9
要确定二次函数图象与坐标轴的交点坐标，需结合坐标轴上点的坐标特征求解：①x轴上所有点的纵坐标为0，因此令函数中y=0，解对应的一元二次方程，得到的解就是交点的横坐标，纵坐标为0；②y轴上所有点的横坐标为0，因此令函数中x=0，代入计算得到的结果就是交点的纵坐标，横坐标为0。
【解析】
1. 求图象与x轴的交点坐标：
令$y=0$，代入函数解析式得：$(x+1)(x-2)=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=2$
所以与x轴的交点坐标为$(-1,0)$、$(2,0)$。
2. 求图象与y轴的交点坐标：
令$x=0$，代入函数解析式得：$y=(0+1)×(0-2)=-2$
所以与y轴的交点坐标为$(0,-2)$。
【答案】
$(-1,0),(2,0);(0,-2)$
【知识点】
坐标轴点的坐标特征；二次函数交点求法；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数与坐标轴交点的求解方法，牢记坐标轴上点的坐标特征即可快速解题，是学习二次函数图象相关知识的必备基础。
【难度系数】
0.9
2. 若一元二次方程$x^2 - x - n = 0$没有实数根，则抛物线$y=x^2 - x - n$的顶点在第
一
象限.答案
2. 一
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先，根据一元二次方程没有实数根，得出对应抛物线与x轴无交点，再结合抛物线开口方向判断函数值的正负性；其次，求出抛物线顶点的横坐标，判断其正负；最后结合顶点纵坐标的正负，确定顶点所在象限。解题用到的核心依据：①一元二次方程$ax²+bx+c=0$无实根等价于抛物线$y=ax²+bx+c$与x轴无交点；②开口向上的抛物线与x轴无交点时，所有点的纵坐标都大于0；③二次函数顶点横坐标公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
【解析】
1. 判断抛物线开口方向：对于抛物线$y=x^2 - x - n$，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上。
2. 结合方程根的情况分析函数值：因为一元二次方程$x^2 - x - n = 0$没有实数根，说明抛物线$y=x^2 - x - n$与x轴没有交点，因此抛物线上所有点的纵坐标都大于0，顶点作为抛物线的最低点，纵坐标也大于0。
3. 求顶点横坐标：根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$，$b=-1$，得$x=\frac{1}{2×1}=\frac{1}{2}＞0$。
4. 判断象限：顶点的横坐标为正，纵坐标为正，因此顶点在第一象限。
【答案】
一
【知识点】
根的判别式；二次函数顶点坐标；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题，需要熟练掌握根的判别式的意义、二次函数的图像性质以及顶点坐标的求法，结合图像分析会更直观。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先，根据一元二次方程没有实数根，得出对应抛物线与x轴无交点，再结合抛物线开口方向判断函数值的正负性；其次，求出抛物线顶点的横坐标，判断其正负；最后结合顶点纵坐标的正负，确定顶点所在象限。解题用到的核心依据：①一元二次方程$ax²+bx+c=0$无实根等价于抛物线$y=ax²+bx+c$与x轴无交点；②开口向上的抛物线与x轴无交点时，所有点的纵坐标都大于0；③二次函数顶点横坐标公式为$x=-\frac{b}{2a}$。
【解析】
1. 判断抛物线开口方向：对于抛物线$y=x^2 - x - n$，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上。
2. 结合方程根的情况分析函数值：因为一元二次方程$x^2 - x - n = 0$没有实数根，说明抛物线$y=x^2 - x - n$与x轴没有交点，因此抛物线上所有点的纵坐标都大于0，顶点作为抛物线的最低点，纵坐标也大于0。
3. 求顶点横坐标：根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1$，$b=-1$，得$x=\frac{1}{2×1}=\frac{1}{2}＞0$。
4. 判断象限：顶点的横坐标为正，纵坐标为正，因此顶点在第一象限。
【答案】
一
【知识点】
根的判别式；二次函数顶点坐标；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题，需要熟练掌握根的判别式的意义、二次函数的图像性质以及顶点坐标的求法，结合图像分析会更直观。
【难度系数】
0.7
3. 下表是函数$y=2x^2-3x-6$的部分自变量与对应的函数值：
根据此表，可以判断方程$2x^2-3x-6=0$的一个解$x$可能的取值范围是
根据此表，可以判断方程$2x^2-3x-6=0$的一个解$x$可能的取值范围是
2.6＜x＜2.7
。答案
3. 2.6＜x＜2.7
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程与对应二次函数的关系：方程$2x^2-3x-6=0$的解就是二次函数$y=2x^2-3x-6$中函数值y=0时对应的自变量x的值。由于二次函数的图象是连续的曲线，当两个相邻自变量对应的函数值一正一负时，这两个自变量之间一定存在某个x使得y=0，即方程的解就在这个区间内。接下来我们只需观察表格中y值的符号变化，找到y由负变正对应的相邻x的取值即可。
【解析】
方程$2x^2-3x-6=0$的解对应函数$y=2x^2-3x-6$中y=0时x的取值。
观察表格中的函数值：
当$x=2.6$时，$y=-0.28＜0$；
当$x=2.7$时，$y=0.48＞0$。
因为二次函数图象是连续的，所以在$2.6＜x＜2.7$的范围内，必有一个x的值使得$y=2x^2-3x-6=0$，即方程的一个解的取值范围是$2.6＜x＜2.7$。
【答案】
$2.6＜x＜2.7$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 估算一元二次方程的近似解
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值判断对应一元二次方程解的范围，解题核心是理解连续函数在两个点处函数值异号时，两点之间必有函数值为0的点，属于基础题型，掌握二次函数与一元二次方程的对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一元二次方程与对应二次函数的关系：方程$2x^2-3x-6=0$的解就是二次函数$y=2x^2-3x-6$中函数值y=0时对应的自变量x的值。由于二次函数的图象是连续的曲线，当两个相邻自变量对应的函数值一正一负时，这两个自变量之间一定存在某个x使得y=0，即方程的解就在这个区间内。接下来我们只需观察表格中y值的符号变化，找到y由负变正对应的相邻x的取值即可。
【解析】
方程$2x^2-3x-6=0$的解对应函数$y=2x^2-3x-6$中y=0时x的取值。
观察表格中的函数值：
当$x=2.6$时，$y=-0.28＜0$；
当$x=2.7$时，$y=0.48＞0$。
因为二次函数图象是连续的，所以在$2.6＜x＜2.7$的范围内，必有一个x的值使得$y=2x^2-3x-6=0$，即方程的一个解的取值范围是$2.6＜x＜2.7$。
【答案】
$2.6＜x＜2.7$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 估算一元二次方程的近似解
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值判断对应一元二次方程解的范围，解题核心是理解连续函数在两个点处函数值异号时，两点之间必有函数值为0的点，属于基础题型，掌握二次函数与一元二次方程的对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.8
4. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图2所示，则方程$ax^2+bx+c=0$的根是
$x_1=-1,x_2=3$
.答案
4. $x_1=-1,x_2=3$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的实数根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标。所以解题时只需要从给定的二次函数图象中找到它与x轴两个交点的横坐标，就能直接得到方程的根。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+c=0$的根。
由题中给出的二次函数图象可知，该函数图象与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$，因此两个交点的横坐标-1和3就是对应方程的根。
【答案】
$x_1=-1,x_2=3$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数图象与x轴交点的意义
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查二次函数和一元二次方程的对应关系，熟练掌握二者的联系即可快速得出答案，解题时注意不要把交点横坐标的符号写错。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的实数根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标。所以解题时只需要从给定的二次函数图象中找到它与x轴两个交点的横坐标，就能直接得到方程的根。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+c=0$的根。
由题中给出的二次函数图象可知，该函数图象与x轴的交点坐标为$(-1,0)$和$(3,0)$，因此两个交点的横坐标-1和3就是对应方程的根。
【答案】
$x_1=-1,x_2=3$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数图象与x轴交点的意义
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查二次函数和一元二次方程的对应关系，熟练掌握二者的联系即可快速得出答案，解题时注意不要把交点横坐标的符号写错。
【难度系数】
0.8
5. 如图3是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象，若关于x的方程$ax^2+bx+c=m$总有一正一负两个实数根，则m的取值范围是
$m＞3$
.答案
5. $m＞3$
解析
【分析】
解题时运用转化思想，把一元二次方程根的问题转化为函数图象交点问题分析：
第一步，明确对应关系：方程$ax^2+bx+c=m$的实数根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象和直线$y=m$交点的横坐标；
第二步，分析图象特征：观察二次函数图象可知，抛物线开口向上，顶点在y轴上，纵坐标为3，即二次函数的最小值为3，且图象关于y轴对称；
第三步，分类讨论：①当$m＞3$时，直线$y=m$在抛物线顶点上方，与抛物线有两个不同交点，因图象关于y轴对称，两个交点的横坐标互为相反数，一正一负，符合题意；②当$m=3$时，直线与抛物线仅交于顶点，只有1个根$x=0$，不符合一正一负两个根的要求；③当$m＜3$时，直线$y=m$在抛物线顶点下方，与抛物线无交点，方程无实根，不符合要求。综上即可得到m的取值范围。
【解析】
将方程$ax^2+bx+c=m$的根转化为二次函数$y=ax^2+bx+c$与直线$y=m$的交点横坐标分析：
1. 由二次函数图象可得：抛物线开口向上，顶点在y轴上，纵坐标为3，即二次函数的最小值为3，图象关于y轴对称；
2. 当$m＞3$时，直线$y=m$与抛物线有2个不同的交点，因为图象关于y轴对称，两个交点的横坐标互为相反数，对应方程的两个根一正一负，满足题意；
3. 当$m=3$时，直线$y=m$与抛物线仅交于顶点，只有1个实数根$x=0$，不符合要求；
4. 当$m＜3$时，直线$y=m$在抛物线顶点下方，与抛物线无交点，方程无实数根，不符合要求。
因此，m的取值范围是$m＞3$。
【答案】
$m＞3$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，二次函数图象性质，数形结合思想
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的联系，解题的核心是将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，结合图象特征分析更直观，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题时运用转化思想，把一元二次方程根的问题转化为函数图象交点问题分析：
第一步，明确对应关系：方程$ax^2+bx+c=m$的实数根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象和直线$y=m$交点的横坐标；
第二步，分析图象特征：观察二次函数图象可知，抛物线开口向上，顶点在y轴上，纵坐标为3，即二次函数的最小值为3，且图象关于y轴对称；
第三步，分类讨论：①当$m＞3$时，直线$y=m$在抛物线顶点上方，与抛物线有两个不同交点，因图象关于y轴对称，两个交点的横坐标互为相反数，一正一负，符合题意；②当$m=3$时，直线与抛物线仅交于顶点，只有1个根$x=0$，不符合一正一负两个根的要求；③当$m＜3$时，直线$y=m$在抛物线顶点下方，与抛物线无交点，方程无实根，不符合要求。综上即可得到m的取值范围。
【解析】
将方程$ax^2+bx+c=m$的根转化为二次函数$y=ax^2+bx+c$与直线$y=m$的交点横坐标分析：
1. 由二次函数图象可得：抛物线开口向上，顶点在y轴上，纵坐标为3，即二次函数的最小值为3，图象关于y轴对称；
2. 当$m＞3$时，直线$y=m$与抛物线有2个不同的交点，因为图象关于y轴对称，两个交点的横坐标互为相反数，对应方程的两个根一正一负，满足题意；
3. 当$m=3$时，直线$y=m$与抛物线仅交于顶点，只有1个实数根$x=0$，不符合要求；
4. 当$m＜3$时，直线$y=m$在抛物线顶点下方，与抛物线无交点，方程无实数根，不符合要求。
因此，m的取值范围是$m＞3$。
【答案】
$m＞3$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，二次函数图象性质，数形结合思想
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的联系，解题的核心是将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，结合图象特征分析更直观，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
