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7.如图,两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置,AB=10,DP=4,平移距离为6,则阴影部分面积为 （
A.40
B.42
C.45
D.48
D
）A.40
B.42
C.45
D.48
答案
7. D
解析
【分析】
解题时首先运用平移的性质：平移前后的图形全等，对应边长度相等，对应点的连线长度等于平移距离。由于△ABC和△DEF全等，二者面积相等，且它们有公共部分△OEC，因此阴影部分的面积可转化为梯形ABEO的面积，避免直接计算不规则阴影面积的麻烦。接下来分别确定梯形的上底、下底和高：下底AB已知为10，上底OE等于DE减去DP（DE与AB相等，DP已知为4），高即为平移距离6，最后代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
由平移的性质可知：△ABC≌△DEF，DE=AB=10，平移距离BE=6，且$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$。
∵ $DP=4$，
∴ $OE=DE-DP=10-4=6$。
∵ $S_{阴影}=S_{△ DEF}-S_{△ OEC}$，$S_{梯形ABEO}=S_{△ ABC}-S_{△ OEC}$
∴ $S_{阴影}=S_{梯形ABEO}$
根据梯形面积公式：
$S_{梯形ABEO}=\frac{(AB+OE)× BE}{2}=\frac{(10+6)×6}{2}=48$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平移的性质，全等三角形的性质，梯形面积计算
【点评】
本题核心是利用平移的性质实现面积转化，将不规则的阴影面积转换为规则梯形的面积求解，很好地考查了转化思想的应用，解题的关键是找到两个全等三角形的公共部分，推导出阴影面积和梯形面积相等。
【难度系数】
0.7
解题时首先运用平移的性质：平移前后的图形全等，对应边长度相等，对应点的连线长度等于平移距离。由于△ABC和△DEF全等，二者面积相等，且它们有公共部分△OEC，因此阴影部分的面积可转化为梯形ABEO的面积，避免直接计算不规则阴影面积的麻烦。接下来分别确定梯形的上底、下底和高：下底AB已知为10，上底OE等于DE减去DP（DE与AB相等，DP已知为4），高即为平移距离6，最后代入梯形面积公式计算即可。
【解析】
由平移的性质可知：△ABC≌△DEF，DE=AB=10，平移距离BE=6，且$S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$。
∵ $DP=4$，
∴ $OE=DE-DP=10-4=6$。
∵ $S_{阴影}=S_{△ DEF}-S_{△ OEC}$，$S_{梯形ABEO}=S_{△ ABC}-S_{△ OEC}$
∴ $S_{阴影}=S_{梯形ABEO}$
根据梯形面积公式：
$S_{梯形ABEO}=\frac{(AB+OE)× BE}{2}=\frac{(10+6)×6}{2}=48$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平移的性质，全等三角形的性质，梯形面积计算
【点评】
本题核心是利用平移的性质实现面积转化，将不规则的阴影面积转换为规则梯形的面积求解，很好地考查了转化思想的应用，解题的关键是找到两个全等三角形的公共部分，推导出阴影面积和梯形面积相等。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在四边形ABCD中，AD=CD，BD平分∠ABC，DE⊥BC，垂足为E，△ABD的面积为38，△BCD的面积为50，则△CDE的面积为（
A.24
B.12
C.6
D.3
C
）A.24
B.12
C.6
D.3
答案
8. C
解析
【分析】
遇到角平分线和两边垂线的条件，优先使用角平分线的性质解题，即角平分线上的点到角两边的距离相等。本题可通过构造辅助线推导面积关系：第一步，过D作BA的垂线，交BA延长线于F，由角平分线性质得DF=DE；第二步，利用HL证明Rt△ADF≌Rt△CDE、Rt△BDF≌Rt△BDE，得到对应三角形面积相等；第三步，结合已知的两个三角形面积建立等式，求出△CDE的面积。
【解析】
解：过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F。
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DF=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中：
$\begin{cases} AD=CD \\ DF=DE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ CDE$（HL），则$S_{△ ADF}=S_{△ CDE}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$和$\mathrm{Rt}△ BDE$中：
$\begin{cases} BD=BD \\ DF=DE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ BDF≌\mathrm{Rt}△ BDE$（HL），则$S_{△ BDF}=S_{△ BDE}$。
由图形可知：$S_{△ BDF}=S_{△ ABD}+S_{△ ADF}$，$S_{△ BDE}=S_{△ BCD}-S_{△ CDE}$，
代入面积相等关系和已知面积得：
$38 + S_{△ CDE} = 50 - S_{△ CDE}$
整理得$2S_{△ CDE}=12$，解得$S_{△ CDE}=6$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形结合的典型题型，核心解题思路是通过构造辅助线建立面积的等量关系，能有效考查学生的几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线和两边垂线的条件，优先使用角平分线的性质解题，即角平分线上的点到角两边的距离相等。本题可通过构造辅助线推导面积关系：第一步，过D作BA的垂线，交BA延长线于F，由角平分线性质得DF=DE；第二步，利用HL证明Rt△ADF≌Rt△CDE、Rt△BDF≌Rt△BDE，得到对应三角形面积相等；第三步，结合已知的两个三角形面积建立等式，求出△CDE的面积。
【解析】
解：过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F。
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DF=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中：
$\begin{cases} AD=CD \\ DF=DE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ CDE$（HL），则$S_{△ ADF}=S_{△ CDE}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$和$\mathrm{Rt}△ BDE$中：
$\begin{cases} BD=BD \\ DF=DE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ BDF≌\mathrm{Rt}△ BDE$（HL），则$S_{△ BDF}=S_{△ BDE}$。
由图形可知：$S_{△ BDF}=S_{△ ABD}+S_{△ ADF}$，$S_{△ BDE}=S_{△ BCD}-S_{△ CDE}$，
代入面积相等关系和已知面积得：
$38 + S_{△ CDE} = 50 - S_{△ CDE}$
整理得$2S_{△ CDE}=12$，解得$S_{△ CDE}=6$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形结合的典型题型，核心解题思路是通过构造辅助线建立面积的等量关系，能有效考查学生的几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
9.如图,点P是∠BAC平分线AD上的一点,AC=9,AB=5,PB=3,则PC的长可能是 (
A.6
B.7
C.8
D.9
A
)A.6
B.7
C.8
D.9
答案
9. A
解析
【分析】
遇到角平分线相关的线段求值问题，可通过截长补短法构造全等三角形，将已知线段转移到同一个三角形中，再利用三角形三边关系确定未知线段的取值范围。具体步骤：首先在AC上截取与AB等长的线段，结合角平分线和公共边构造全等三角形，得到PB的等长线段，再计算剩余线段长度，最后用三角形三边关系求出PC的取值范围，匹配选项即可。
【解析】
在AC上截取AE=AB=5，连接PE。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAP=∠EAP。
在△ABP和△AEP中：
$\{\begin{array}{l} AB=AE\\ ∠ BAP=∠ EAP\\ AP=AP\end{array} $
∴△ABP≌△AEP（SAS），
∴PE=PB=3。
∵AC=9，AE=5，
∴EC=AC-AE=9-5=4。
在△PEC中，根据三角形三边关系可得：$EC-PE ＜ PC ＜ EC+PE$，
代入数值得：$4-3 ＜ PC ＜ 4+3$，即$1 ＜ PC ＜7$。
观察选项，只有6满足该取值范围，故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题是角平分线类问题的典型考法，核心是通过截长补短构造全等三角形转移已知线段，再结合三角形三边关系确定未知线段的范围，解题的关键是掌握角平分线背景下全等三角形的构造方法。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线相关的线段求值问题，可通过截长补短法构造全等三角形，将已知线段转移到同一个三角形中，再利用三角形三边关系确定未知线段的取值范围。具体步骤：首先在AC上截取与AB等长的线段，结合角平分线和公共边构造全等三角形，得到PB的等长线段，再计算剩余线段长度，最后用三角形三边关系求出PC的取值范围，匹配选项即可。
【解析】
在AC上截取AE=AB=5，连接PE。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAP=∠EAP。
在△ABP和△AEP中：
$\{\begin{array}{l} AB=AE\\ ∠ BAP=∠ EAP\\ AP=AP\end{array} $
∴△ABP≌△AEP（SAS），
∴PE=PB=3。
∵AC=9，AE=5，
∴EC=AC-AE=9-5=4。
在△PEC中，根据三角形三边关系可得：$EC-PE ＜ PC ＜ EC+PE$，
代入数值得：$4-3 ＜ PC ＜ 4+3$，即$1 ＜ PC ＜7$。
观察选项，只有6满足该取值范围，故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题是角平分线类问题的典型考法，核心是通过截长补短构造全等三角形转移已知线段，再结合三角形三边关系确定未知线段的范围，解题的关键是掌握角平分线背景下全等三角形的构造方法。
【难度系数】
0.7
10. 如图，已知线段$AB=20\ \mathrm{m}$，$MA⊥ AB$于点$A$，$MA=6\ \mathrm{m}$，射线$BD⊥ AB$于点$B$，点$P$从点$B$向点$A$运动，每秒走$1\ \mathrm{m}$，点$Q$从点$B$向点$D$运动，每秒走$3\ \mathrm{m}$。若$P$，$Q$同时从$B$出发，则出发$x$秒后，在线段$MA$上有一点$C$，使$△ CAP$与$△ PBQ$全等，则$x$的值为（
）
A.$5$
B.$5$或$10$
C.$10$
D.$6$或$10$
）A.$5$
B.$5$或$10$
C.$10$
D.$6$或$10$
答案
A
解析
【分析】
首先明确运动x秒后各相关线段的长度：$BP=x\ \mathrm{m}$，$BQ=3x\ \mathrm{m}$，$AP=AB-BP=(20-x)\ \mathrm{m}$，已知$∠ A=∠ B=90°$，要使$\mathrm{Rt}△ CAP$与$\mathrm{Rt}△ PBQ$全等，需分两种对应情况讨论，计算出x的值后，还要验证C在线段MA上的限制条件（即$AC≤6\ \mathrm{m}$），排除不符合的情况即可得到正确结果。
【解析】
出发x秒后，$BP=x\ \mathrm{m}$，$BQ=3x\ \mathrm{m}$，$AP=AB-BP=(20-x)\ \mathrm{m}$，$∠ A=∠ B=90°$，分两种全等情况讨论：
1. 当$△ CAP≌△ PBQ$时，对应边满足：$AP=BQ$，$AC=BP$
列方程：$20 - x = 3x$
解得：$x=5$
此时$AC=BP=5\ \mathrm{m}$，$5\ \mathrm{m}＜6\ \mathrm{m}$，符合C在线段MA上的条件，成立。
2. 当$△ CAP≌△ QBP$时，对应边满足：$AP=BP$，$AC=BQ$
列方程：$20 - x = x$
解得：$x=10$
此时$AC=BQ=3×10=30\ \mathrm{m}$，$30\ \mathrm{m}＞6\ \mathrm{m}$，C无法在线段MA上，该情况舍去。
综上，$x$的值为5。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的性质；动点问题；分类讨论思想
【点评】
本题是动点与全等三角形结合的典型题型，解题关键是对全等的对应关系进行分类讨论，同时不要忽略题目中隐含的线段长度限制条件，避免出现多余的错误解。
【难度系数】
0.6
首先明确运动x秒后各相关线段的长度：$BP=x\ \mathrm{m}$，$BQ=3x\ \mathrm{m}$，$AP=AB-BP=(20-x)\ \mathrm{m}$，已知$∠ A=∠ B=90°$，要使$\mathrm{Rt}△ CAP$与$\mathrm{Rt}△ PBQ$全等，需分两种对应情况讨论，计算出x的值后，还要验证C在线段MA上的限制条件（即$AC≤6\ \mathrm{m}$），排除不符合的情况即可得到正确结果。
【解析】
出发x秒后，$BP=x\ \mathrm{m}$，$BQ=3x\ \mathrm{m}$，$AP=AB-BP=(20-x)\ \mathrm{m}$，$∠ A=∠ B=90°$，分两种全等情况讨论：
1. 当$△ CAP≌△ PBQ$时，对应边满足：$AP=BQ$，$AC=BP$
列方程：$20 - x = 3x$
解得：$x=5$
此时$AC=BP=5\ \mathrm{m}$，$5\ \mathrm{m}＜6\ \mathrm{m}$，符合C在线段MA上的条件，成立。
2. 当$△ CAP≌△ QBP$时，对应边满足：$AP=BP$，$AC=BQ$
列方程：$20 - x = x$
解得：$x=10$
此时$AC=BQ=3×10=30\ \mathrm{m}$，$30\ \mathrm{m}＞6\ \mathrm{m}$，C无法在线段MA上，该情况舍去。
综上，$x$的值为5。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的性质；动点问题；分类讨论思想
【点评】
本题是动点与全等三角形结合的典型题型，解题关键是对全等的对应关系进行分类讨论，同时不要忽略题目中隐含的线段长度限制条件，避免出现多余的错误解。
【难度系数】
0.6
11. 如图，$△ ABC ≌ △ ADE$，点D在BC上，$∠ E=35°$，$∠ DAC=30°$，则$∠ BDA=$
第11小题图
第12小题图
第13小题图
第14小题图
65°
。第11小题图
第12小题图
第13小题图
第14小题图
答案
11. 65°
解析
【分析】
解题时首先利用全等三角形的对应角相等的性质，找到∠E的对应角为∠C，得出∠C的度数；再观察∠BDA的位置，它是△ADC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，将已知的∠C和∠DAC的度数代入即可求出结果。
【解析】
∵△ABC ≌ △ADE，∠E与∠C是对应角
∴∠C = ∠E = 35°
∵∠BDA是△ADC的外角
∴∠BDA = ∠C + ∠DAC
又
∵∠DAC = 30°
∴∠BDA = 35° + 30° = 65°
【答案】
65°
【知识点】
全等三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是准确识别全等三角形的对应角，再结合三角形外角的性质即可快速求解，计算量小，思路比较直接。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用全等三角形的对应角相等的性质，找到∠E的对应角为∠C，得出∠C的度数；再观察∠BDA的位置，它是△ADC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，将已知的∠C和∠DAC的度数代入即可求出结果。
【解析】
∵△ABC ≌ △ADE，∠E与∠C是对应角
∴∠C = ∠E = 35°
∵∠BDA是△ADC的外角
∴∠BDA = ∠C + ∠DAC
又
∵∠DAC = 30°
∴∠BDA = 35° + 30° = 65°
【答案】
65°
【知识点】
全等三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的核心是准确识别全等三角形的对应角，再结合三角形外角的性质即可快速求解，计算量小，思路比较直接。
【难度系数】
0.8
12.如图，$∠ B=∠ C=90°$，$M$是$BC$的中点，$DM$平分$∠ ADC$，且$∠ ADC=110°$，则$∠ MAB=$
35°
.答案
12. 35°
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件中∠B和∠C都是直角，可推出AB与CD平行，利用平行线同旁内角互补先求出∠DAB的度数；再结合角平分线DM和M是BC中点的条件，想到运用角平分线的性质，过M作AD的垂线，得到M到CD和AD的距离相等，结合中点可推出M到AB和AD的距离相等，进而判定AM是∠DAB的角平分线，最后求出∠MAB的度数即可。
【解析】
解：过点M作MN⊥AD于点N。
1.
∵∠B=∠C=90°，
∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠ADC + ∠DAB = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
已知∠ADC=110°，
∴∠DAB=180° - 110°=70°。
2.
∵DM平分∠ADC，∠C=90°（即MC⊥CD），MN⊥AD，
∴MC=MN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
3.
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB。
4. 又
∵∠B=90°（即MB⊥AB），MN⊥AD，
∴AM平分∠DAB（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∴∠MAB=½∠DAB=½×70°=35°。
【答案】
35°
【知识点】
角平分线的性质与判定；平行线的性质；中点的定义
【点评】
本题核心是角平分线性质和判定的综合应用，通过作垂直于AD的辅助线搭建已知条件和待求角度的关联，是几何角度计算类的典型题型，熟练掌握角平分线的相关定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件中∠B和∠C都是直角，可推出AB与CD平行，利用平行线同旁内角互补先求出∠DAB的度数；再结合角平分线DM和M是BC中点的条件，想到运用角平分线的性质，过M作AD的垂线，得到M到CD和AD的距离相等，结合中点可推出M到AB和AD的距离相等，进而判定AM是∠DAB的角平分线，最后求出∠MAB的度数即可。
【解析】
解：过点M作MN⊥AD于点N。
1.
∵∠B=∠C=90°，
∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠ADC + ∠DAB = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
已知∠ADC=110°，
∴∠DAB=180° - 110°=70°。
2.
∵DM平分∠ADC，∠C=90°（即MC⊥CD），MN⊥AD，
∴MC=MN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
3.
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB。
4. 又
∵∠B=90°（即MB⊥AB），MN⊥AD，
∴AM平分∠DAB（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∴∠MAB=½∠DAB=½×70°=35°。
【答案】
35°
【知识点】
角平分线的性质与判定；平行线的性质；中点的定义
【点评】
本题核心是角平分线性质和判定的综合应用，通过作垂直于AD的辅助线搭建已知条件和待求角度的关联，是几何角度计算类的典型题型，熟练掌握角平分线的相关定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
13. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，$CD⊥ AB$，在$AC$上取一点$E$，使$EC=4\ \mathrm{cm}$，过点$E$作$FE⊥ AC$交$CD$的延长线于点$F$。若$AE=1\ \mathrm{cm}$，则$EF=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$。
答案
13. 5
解析
【分析】
解题时先利用直角的互余关系推导相等的角，再结合已知的等边和直角证明三角形全等，最后通过全等三角形对应边相等计算EF长度：第一步，由CD⊥AB和∠ACB=90°，可得∠A和∠F都是∠ACD的余角，根据同角的余角相等推出∠A=∠F；第二步，结合已知BC=EC，以及∠ACB=∠FEC=90°，可通过AAS证明△ABC和△FCE全等；第三步，由全等得EF=AC，计算AC的长度即可得到EF的长度。
【解析】
解：$\because ∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$
$\therefore ∠ A + ∠ ACD = 90°$，$∠ F + ∠ ACD = 90°$
$\therefore ∠ A = ∠ F$（同角的余角相等）
又$\because FE⊥ AC$，$\therefore ∠ FEC = ∠ ACB = 90°$
在$△ ABC$和$△ FCE$中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ F \\∠ ACB = ∠ FEC \\BC = EC\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ FCE \ (\mathrm{AAS})$
$\therefore EF = AC$
$\because AC = AE + EC = 1 + 4 = 5\ \mathrm{cm}$
$\therefore EF = 5\ \mathrm{cm}$
【答案】
5
【知识点】
同角的余角相等，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何应用类题目，核心考查全等三角形的判定和性质，解题的突破口是利用直角的互余关系找到相等的对应角，只要熟练掌握全等三角形的判定定理，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用直角的互余关系推导相等的角，再结合已知的等边和直角证明三角形全等，最后通过全等三角形对应边相等计算EF长度：第一步，由CD⊥AB和∠ACB=90°，可得∠A和∠F都是∠ACD的余角，根据同角的余角相等推出∠A=∠F；第二步，结合已知BC=EC，以及∠ACB=∠FEC=90°，可通过AAS证明△ABC和△FCE全等；第三步，由全等得EF=AC，计算AC的长度即可得到EF的长度。
【解析】
解：$\because ∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$
$\therefore ∠ A + ∠ ACD = 90°$，$∠ F + ∠ ACD = 90°$
$\therefore ∠ A = ∠ F$（同角的余角相等）
又$\because FE⊥ AC$，$\therefore ∠ FEC = ∠ ACB = 90°$
在$△ ABC$和$△ FCE$中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ F \\∠ ACB = ∠ FEC \\BC = EC\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ FCE \ (\mathrm{AAS})$
$\therefore EF = AC$
$\because AC = AE + EC = 1 + 4 = 5\ \mathrm{cm}$
$\therefore EF = 5\ \mathrm{cm}$
【答案】
5
【知识点】
同角的余角相等，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何应用类题目，核心考查全等三角形的判定和性质，解题的突破口是利用直角的互余关系找到相等的对应角，只要熟练掌握全等三角形的判定定理，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
14.如图，AB//CD，∠BAC，∠ACD的平分线相交于点O，OE⊥AC于点E，若OE=1，则AB与CD间的距离为
2
。答案
14. 2
解析
【分析】
要求AB与CD之间的距离，首先明确平行线间的距离是夹在两平行线间公垂线段的长度。结合已知的角平分线、OE⊥AC的条件，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。因此过点O作AB的垂线，延伸后必然垂直CD，得到公垂线段，再分别利用两条角平分线的性质求出O到AB、O到CD的距离，相加即可得到两平行线的距离。
【解析】
过点O作OM⊥AB，垂足为M，延长MO交CD于点N。
∵AB//CD，OM⊥AB，
∴ON⊥CD，线段MN的长度就是AB与CD之间的距离。
∵AO平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB，根据角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴OM=OE=1。
同理，CO平分∠ACD，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON=OE=1。
∴MN=OM+ON=1+1=2，即AB与CD间的距离为2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质，平行线间的距离
【点评】
本题解题的核心是合理构造辅助线，将平行线间的距离转化为两段可求的垂线段长度之和，结合角平分线的性质即可快速求解，是角平分线性质和平行线性质结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要求AB与CD之间的距离，首先明确平行线间的距离是夹在两平行线间公垂线段的长度。结合已知的角平分线、OE⊥AC的条件，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。因此过点O作AB的垂线，延伸后必然垂直CD，得到公垂线段，再分别利用两条角平分线的性质求出O到AB、O到CD的距离，相加即可得到两平行线的距离。
【解析】
过点O作OM⊥AB，垂足为M，延长MO交CD于点N。
∵AB//CD，OM⊥AB，
∴ON⊥CD，线段MN的长度就是AB与CD之间的距离。
∵AO平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB，根据角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴OM=OE=1。
同理，CO平分∠ACD，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON=OE=1。
∴MN=OM+ON=1+1=2，即AB与CD间的距离为2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质，平行线间的距离
【点评】
本题解题的核心是合理构造辅助线，将平行线间的距离转化为两段可求的垂线段长度之和，结合角平分线的性质即可快速求解，是角平分线性质和平行线性质结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
15. 如图，$AE ⊥ AB$且$AE=AB$，$BC ⊥ CD$且$BC=CD$，按照图中所标注的数据计算，图中实线所围成的图形的面积$S$是________。
答案
15. 50
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，题目给出垂直且相等的边，优先考虑证明三角形全等得到对应边长度，再采用“整体减空白”的思路计算实线围成部分的面积：第一步先证明$△ EFA≌△ AGB$、$△ BGC≌△ CHD$，得到各水平线段的长度；第二步计算大梯形$EFHD$的面积，再减去4个空白直角三角形的面积，利用全等三角形面积相等可以简化计算。
【解析】
1. 证明$△ EFA≌△ AGB$：
$\because AE⊥ AB$，$\therefore ∠ EAF+∠ BAG=90°$
$\because EF⊥ FH$，$\therefore ∠ AEF+∠ EAF=90°$
$\therefore ∠ AEF=∠ BAG$
又$\because ∠ EFA=∠ AGB=90°$，$AE=AB$
$\therefore △ EFA≌△ AGB(\mathrm{AAS})$
得$AF=BG=3$，$EF=AG=6$
2. 证明$△ BGC≌△ CHD$：
$\because BC⊥ CD$，$\therefore ∠ BCG+∠ DCH=90°$
$\because BG⊥ FH$，$\therefore ∠ BCG+∠ GBC=90°$
$\therefore ∠ GBC=∠ DCH$
又$\because ∠ BGC=∠ CHD=90°$，$BC=CD$
$\therefore △ BGC≌△ CHD(\mathrm{AAS})$
得$GC=DH=4$，$BG=CH=3$
3. 计算面积：
大梯形$EFHD$的高$FH=AF+AG+GC+CH=3+6+4+3=16$
$S_{\mathrm{梯形}EFHD}=\frac{(6+4)×16}{2}=80$
空白部分总面积：$2S_{△ EFA}+2S_{△ BGC}=2×\frac{3×6}{2}+2×\frac{3×4}{2}=18+12=30$
$\therefore$实线围成的面积$S=80-30=50$
【答案】
$\boxed{50}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，梯形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是全等三角形与面积计算的综合题，解题核心是通过全等三角形转化线段长度，再用割补法把不规则图形的面积转化为规则图形面积的差求解。
【难度系数】
0.6
解题时先观察图形特征，题目给出垂直且相等的边，优先考虑证明三角形全等得到对应边长度，再采用“整体减空白”的思路计算实线围成部分的面积：第一步先证明$△ EFA≌△ AGB$、$△ BGC≌△ CHD$，得到各水平线段的长度；第二步计算大梯形$EFHD$的面积，再减去4个空白直角三角形的面积，利用全等三角形面积相等可以简化计算。
【解析】
1. 证明$△ EFA≌△ AGB$：
$\because AE⊥ AB$，$\therefore ∠ EAF+∠ BAG=90°$
$\because EF⊥ FH$，$\therefore ∠ AEF+∠ EAF=90°$
$\therefore ∠ AEF=∠ BAG$
又$\because ∠ EFA=∠ AGB=90°$，$AE=AB$
$\therefore △ EFA≌△ AGB(\mathrm{AAS})$
得$AF=BG=3$，$EF=AG=6$
2. 证明$△ BGC≌△ CHD$：
$\because BC⊥ CD$，$\therefore ∠ BCG+∠ DCH=90°$
$\because BG⊥ FH$，$\therefore ∠ BCG+∠ GBC=90°$
$\therefore ∠ GBC=∠ DCH$
又$\because ∠ BGC=∠ CHD=90°$，$BC=CD$
$\therefore △ BGC≌△ CHD(\mathrm{AAS})$
得$GC=DH=4$，$BG=CH=3$
3. 计算面积：
大梯形$EFHD$的高$FH=AF+AG+GC+CH=3+6+4+3=16$
$S_{\mathrm{梯形}EFHD}=\frac{(6+4)×16}{2}=80$
空白部分总面积：$2S_{△ EFA}+2S_{△ BGC}=2×\frac{3×6}{2}+2×\frac{3×4}{2}=18+12=30$
$\therefore$实线围成的面积$S=80-30=50$
【答案】
$\boxed{50}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，梯形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是全等三角形与面积计算的综合题，解题核心是通过全等三角形转化线段长度，再用割补法把不规则图形的面积转化为规则图形面积的差求解。
【难度系数】
0.6
