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三、解答题(共9小题,共75分)
16.(6分)如图,在$△ ABC$中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,$∠ BAC=50°$,$∠ C=70°$.
(1)求$∠ DAC$,$∠ AOB$;
(2)直接写出$∠ AOB$与$∠ C$的关系.
16.(6分)如图,在$△ ABC$中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,$∠ BAC=50°$,$∠ C=70°$.
(1)求$∠ DAC$,$∠ AOB$;
(2)直接写出$∠ AOB$与$∠ C$的关系.
答案
16. 解:(1)
∵在△ABC中,AD是高,∠C=70°,
∴∠DAC=90°-∠C=20°,
∵在△ABC中,∠BAC=50°,∠C=70°,
∴∠ABC=180°-50°-70°=60°,
∵AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线,
∴∠OAB= 1/2 ∠BAC=25°,
∠OBA= 1/2 ∠ABC=30°,
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=125°.
(2)
∵在△ABC中,∠C=70°,
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠C,
∵AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的角平分线,
∴∠OAB= 1/2 ∠BAC,∠OBA= 1/2 ∠ABC,
∴∠OAB+∠OBA= 1/2 ∠BAC+ 1/2 ∠ABC= 1/2 (∠BAC+∠ABC)=90°- 1/2 ∠C,
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA
=180°-(90° - 1/2 ∠C)=90°+ 1/2 ∠C.
∵在△ABC中,AD是高,∠C=70°,
∴∠DAC=90°-∠C=20°,
∵在△ABC中,∠BAC=50°,∠C=70°,
∴∠ABC=180°-50°-70°=60°,
∵AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线,
∴∠OAB= 1/2 ∠BAC=25°,
∠OBA= 1/2 ∠ABC=30°,
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=125°.
(2)
∵在△ABC中,∠C=70°,
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠C,
∵AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的角平分线,
∴∠OAB= 1/2 ∠BAC,∠OBA= 1/2 ∠ABC,
∴∠OAB+∠OBA= 1/2 ∠BAC+ 1/2 ∠ABC= 1/2 (∠BAC+∠ABC)=90°- 1/2 ∠C,
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA
=180°-(90° - 1/2 ∠C)=90°+ 1/2 ∠C.
解析
【分析】
(1)求解∠DAC：已知AD是△ABC的高，可得∠ADC=90°，在Rt△ADC中利用直角三角形两锐角互余，结合已知∠C的度数即可计算∠DAC；求解∠AOB：先利用三角形内角和为180°求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义得到∠OAB、∠OBA的度数，最后在△AOB中利用三角形内角和即可算出∠AOB的度数。
(2)推导∠AOB和∠C的关系：先由三角形内角和得到∠BAC+∠ABC=180°-∠C，再结合角平分线的性质表示出∠OAB+∠OBA，最后在△AOB中用内角和公式化简即可得到二者的数量关系。
【解析】
(1)
∵在△ABC中，AD是高，∠C=70°，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°，
∵在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=70°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-50°-70°=60°，
∵AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×50°=25°，
∠OBA=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-25°-30°=125°。
(2)在△ABC中，由三角形内角和定理得∠BAC+∠ABC=180°-∠C，
∵AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OBA=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ABC)=$\frac{1}{2}$(180°-∠C)=90°-$\frac{1}{2}$∠C，
在△AOB中，∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-(90° - $\frac{1}{2}$∠C)=90°+$\frac{1}{2}$∠C。
【答案】
(1)$∠DAC=20°$，$∠AOB=125°$；
(2)$\boldsymbol{∠AOB=90°+\frac{1}{2}∠C}$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，综合考查了三角形的高、角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用，解题关键是熟练掌握相关基础性质，理清角度之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
(1)求解∠DAC：已知AD是△ABC的高，可得∠ADC=90°，在Rt△ADC中利用直角三角形两锐角互余，结合已知∠C的度数即可计算∠DAC；求解∠AOB：先利用三角形内角和为180°求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义得到∠OAB、∠OBA的度数，最后在△AOB中利用三角形内角和即可算出∠AOB的度数。
(2)推导∠AOB和∠C的关系：先由三角形内角和得到∠BAC+∠ABC=180°-∠C，再结合角平分线的性质表示出∠OAB+∠OBA，最后在△AOB中用内角和公式化简即可得到二者的数量关系。
【解析】
(1)
∵在△ABC中，AD是高，∠C=70°，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-∠C=90°-70°=20°，
∵在△ABC中，∠BAC=50°，∠C=70°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-50°-70°=60°，
∵AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×50°=25°，
∠OBA=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-25°-30°=125°。
(2)在△ABC中，由三角形内角和定理得∠BAC+∠ABC=180°-∠C，
∵AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OBA=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ABC)=$\frac{1}{2}$(180°-∠C)=90°-$\frac{1}{2}$∠C，
在△AOB中，∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-(90° - $\frac{1}{2}$∠C)=90°+$\frac{1}{2}$∠C。
【答案】
(1)$∠DAC=20°$，$∠AOB=125°$；
(2)$\boldsymbol{∠AOB=90°+\frac{1}{2}∠C}$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，综合考查了三角形的高、角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用，解题关键是熟练掌握相关基础性质，理清角度之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
17.(6分)如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是28 cm²,AB=20 cm,AC=8 cm,求DE的长. 
答案
DE=2cm
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB、DF⊥AC，可联想到角平分线的性质，得到DE=DF，这是本题的突破口；其次△ABC的面积可拆分为△ABD和△ACD的面积之和，两个三角形的底分别为AB、AC，高分别为DE、DF，将已知的面积、AB、AC的数值代入面积和的表达式，结合DE=DF的等量关系，即可列出关于DE的一元一次方程，求解就能得到DE的长度。
【解析】
解：
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$，
且$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DF$，
已知$S_{△ ABC}=28\mathrm{cm}^2$，AB=20cm，AC=8cm，
∴$28=\frac{1}{2}×20× DE+\frac{1}{2}×8× DF$，
又
∵DE=DF，代入得：
$28=10DE+4DE$，
即$14DE=28$，
解得$DE=2\mathrm{cm}$。
【答案】
DE=2cm
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积公式；和差法求面积
【点评】
本题属于基础常考题，将角平分线的性质与三角形面积计算结合考查，解题的关键是利用角平分线的性质实现两条高的等量转化，再通过面积和的关系建立等式求解，需要熟练掌握相关性质及面积和差的计算思路。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题干条件：AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB、DF⊥AC，可联想到角平分线的性质，得到DE=DF，这是本题的突破口；其次△ABC的面积可拆分为△ABD和△ACD的面积之和，两个三角形的底分别为AB、AC，高分别为DE、DF，将已知的面积、AB、AC的数值代入面积和的表达式，结合DE=DF的等量关系，即可列出关于DE的一元一次方程，求解就能得到DE的长度。
【解析】
解：
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$，
且$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AC· DF$，
已知$S_{△ ABC}=28\mathrm{cm}^2$，AB=20cm，AC=8cm，
∴$28=\frac{1}{2}×20× DE+\frac{1}{2}×8× DF$，
又
∵DE=DF，代入得：
$28=10DE+4DE$，
即$14DE=28$，
解得$DE=2\mathrm{cm}$。
【答案】
DE=2cm
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积公式；和差法求面积
【点评】
本题属于基础常考题，将角平分线的性质与三角形面积计算结合考查，解题的关键是利用角平分线的性质实现两条高的等量转化，再通过面积和的关系建立等式求解，需要熟练掌握相关性质及面积和差的计算思路。
【难度系数】
0.7
18.(6分)如图,在四边形ABCD中,BC＞BA,AD=CD,BD平分∠ABC.
求证:∠A+∠C=180°.
求证:∠A+∠C=180°.
答案
18. 提示:过点D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,求证△ADE≌△CDF.
解析
【分析】
要证明∠A+∠C=180°，可尝试将两个角转化为同一个平角的组成部分。已知BD平分∠ABC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以过点D向∠ABC的两条边作垂线，得到两条相等的垂线段，再结合已知AD=CD的条件，证明两个直角三角形全等，利用全等三角形对应角相等的性质，即可将∠C转化为∠A的邻补角，最终推导出两个角的和为180°。
【解析】
证明：过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F。
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中：
$\begin{cases}AD=CD\\DE=DF\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ CDF$（HL）。
∴∠EAD=∠C。
∵∠EAD+∠BAD=180°，
∴∠BAD+∠C=180°，即$∠ A+∠ C=180°$。
【答案】
$∠ A+∠ C=180°$，得证。
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题重点考查角平分线性质与全等三角形的综合应用，构造垂线段得到全等三角形是解题的突破口，体现了几何证明中转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
要证明∠A+∠C=180°，可尝试将两个角转化为同一个平角的组成部分。已知BD平分∠ABC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以过点D向∠ABC的两条边作垂线，得到两条相等的垂线段，再结合已知AD=CD的条件，证明两个直角三角形全等，利用全等三角形对应角相等的性质，即可将∠C转化为∠A的邻补角，最终推导出两个角的和为180°。
【解析】
证明：过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F。
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中：
$\begin{cases}AD=CD\\DE=DF\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ CDF$（HL）。
∴∠EAD=∠C。
∵∠EAD+∠BAD=180°，
∴∠BAD+∠C=180°，即$∠ A+∠ C=180°$。
【答案】
$∠ A+∠ C=180°$，得证。
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题重点考查角平分线性质与全等三角形的综合应用，构造垂线段得到全等三角形是解题的突破口，体现了几何证明中转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
19.(8分)两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，点B,C,E在同一条直线上，连接DC.
(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);
(2)求证:DC⊥BE.
(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母);
(2)求证:DC⊥BE.
答案
19. (1)△BAE≌△CAD.
证明:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,
即∠BAE=∠CAD,
又
∵BA=CA,EA=DA,
∴△BAE≌△CAD.
(2)证明:
∵△BAE≌△CAD,
∴∠ACD=∠B.
∵∠ACB+∠B=90°,
∴∠ACD+∠ACB=90°,
∴DC⊥BE.
证明:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,
即∠BAE=∠CAD,
又
∵BA=CA,EA=DA,
∴△BAE≌△CAD.
(2)证明:
∵△BAE≌△CAD,
∴∠ACD=∠B.
∵∠ACB+∠B=90°,
∴∠ACD+∠ACB=90°,
∴DC⊥BE.
解析
【分析】
(1)要找全等三角形，先结合等腰直角三角板的特征分析：等腰直角三角形两条直角边相等，顶角为90°，可得AB=AC、AD=AE两组相等的边；再看夹角，∠BAC和∠DAE都是90°，同时加上公共角∠CAE即可得到相等的夹角∠BAE=∠CAD，满足SAS全等判定条件，即可证得全等。
(2)要证DC⊥BE，只需证明DC和BE的夹角为90°，利用第一问全等的结论可得对应角相等，结合等腰直角三角形两锐角互余的性质，等量代换即可推出∠BCD=90°，得到垂直结论。
【解析】
(1) 全等三角形为$△ BAE ≌ △ CAD$，证明如下：
$\because △ ABC$和$△ ADE$都是等腰直角三角形
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE=90°$，$BA=CA$，$EA=DA$
$\therefore ∠ BAC + ∠ CAE = ∠ DAE + ∠ CAE$，即$∠ BAE=∠ CAD$
在$△ BAE$和$△ CAD$中：
$\begin{cases}BA=CA \\∠ BAE=∠ CAD \\EA=DA\end{cases}$
$\therefore △ BAE ≌ △ CAD(\mathrm{SAS})$
(2) 证明$DC ⊥ BE$：
$\because △ BAE ≌ △ CAD$
$\therefore ∠ ACD=∠ B$
$\because △ ABC$是等腰直角三角形
$\therefore ∠ B + ∠ ACB=90°$
$\therefore ∠ ACD + ∠ ACB=90°$，即$∠ BCD=90°$
$\therefore DC ⊥ BE$
【答案】
(1) $△ BAE ≌ △ CAD$。
证明：
$\because ∠ BAC=∠ DAE=90°$，
$\therefore ∠ BAC+∠ CAE=∠ DAE+∠ CAE$，
即$∠ BAE=∠ CAD$，
又$\because BA=CA,EA=DA$，
$\therefore △ BAE ≌ △ CAD$。
(2)证明：
$\because △ BAE ≌ △ CAD$，
$\therefore ∠ ACD=∠ B$。
$\because ∠ ACB+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ ACB=90°$，
$\therefore DC ⊥ BE$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，垂直的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是利用等腰直角三角形的边、角性质找到全等判定的条件，再通过全等三角形的对应角相等推导角度关系，考查学生对基础几何定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要找全等三角形，先结合等腰直角三角板的特征分析：等腰直角三角形两条直角边相等，顶角为90°，可得AB=AC、AD=AE两组相等的边；再看夹角，∠BAC和∠DAE都是90°，同时加上公共角∠CAE即可得到相等的夹角∠BAE=∠CAD，满足SAS全等判定条件，即可证得全等。
(2)要证DC⊥BE，只需证明DC和BE的夹角为90°，利用第一问全等的结论可得对应角相等，结合等腰直角三角形两锐角互余的性质，等量代换即可推出∠BCD=90°，得到垂直结论。
【解析】
(1) 全等三角形为$△ BAE ≌ △ CAD$，证明如下：
$\because △ ABC$和$△ ADE$都是等腰直角三角形
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE=90°$，$BA=CA$，$EA=DA$
$\therefore ∠ BAC + ∠ CAE = ∠ DAE + ∠ CAE$，即$∠ BAE=∠ CAD$
在$△ BAE$和$△ CAD$中：
$\begin{cases}BA=CA \\∠ BAE=∠ CAD \\EA=DA\end{cases}$
$\therefore △ BAE ≌ △ CAD(\mathrm{SAS})$
(2) 证明$DC ⊥ BE$：
$\because △ BAE ≌ △ CAD$
$\therefore ∠ ACD=∠ B$
$\because △ ABC$是等腰直角三角形
$\therefore ∠ B + ∠ ACB=90°$
$\therefore ∠ ACD + ∠ ACB=90°$，即$∠ BCD=90°$
$\therefore DC ⊥ BE$
【答案】
(1) $△ BAE ≌ △ CAD$。
证明：
$\because ∠ BAC=∠ DAE=90°$，
$\therefore ∠ BAC+∠ CAE=∠ DAE+∠ CAE$，
即$∠ BAE=∠ CAD$，
又$\because BA=CA,EA=DA$，
$\therefore △ BAE ≌ △ CAD$。
(2)证明：
$\because △ BAE ≌ △ CAD$，
$\therefore ∠ ACD=∠ B$。
$\because ∠ ACB+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ ACB=90°$，
$\therefore DC ⊥ BE$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，垂直的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是利用等腰直角三角形的边、角性质找到全等判定的条件，再通过全等三角形的对应角相等推导角度关系，考查学生对基础几何定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
20.(8分)如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CB=CE，∠B=∠E，延长EF与线段AC交于点D.
(1)求证:CA=CF；
(2)若ED⊥AC，AB//CE，求∠A的度数.
(1)求证:CA=CF；
(2)若ED⊥AC，AB//CE，求∠A的度数.
答案
20. (1)证明:
∵CB为∠ACE的平分线,
∴∠ACB=∠FCE,
在△ACB和△FCE中,
{ ∠B = ∠E, CB = CE, ∠ACB = ∠FCE,
∴△ACB≌△FCE(ASA),
∴CA=CF.
(2)解:
∵AB//CE,
∴∠FCE=∠B.
∵∠B=∠E,
∴∠FCE=∠E=∠ACB,
又
∵ED⊥AC,
∴∠EDC=90°.
在△EDC中,∠ACB+∠FCE+∠E+∠EDC=180°,
∴∠ACB=∠B=30°,
∴∠A=180°-30°-30°=120°.
∵CB为∠ACE的平分线,
∴∠ACB=∠FCE,
在△ACB和△FCE中,
{ ∠B = ∠E, CB = CE, ∠ACB = ∠FCE,
∴△ACB≌△FCE(ASA),
∴CA=CF.
(2)解:
∵AB//CE,
∴∠FCE=∠B.
∵∠B=∠E,
∴∠FCE=∠E=∠ACB,
又
∵ED⊥AC,
∴∠EDC=90°.
在△EDC中,∠ACB+∠FCE+∠E+∠EDC=180°,
∴∠ACB=∠B=30°,
∴∠A=180°-30°-30°=120°.
解析
【分析】
(1) 要证明CA=CF，可通过证明两条边所在的三角形全等来实现。首先根据角平分线的定义得到∠ACB=∠FCE，结合题目已知的∠B=∠E、CB=CE，可利用ASA判定△ACB≌△FCE，根据全等三角形对应边相等即可得证。
(2) 首先根据平行线的性质可得∠B=∠FCE，结合已知∠B=∠E，以及角平分线的性质可得∠ACB=∠FCE=∠E；再由ED⊥AC得到△EDC是直角三角形，利用三角形内角和为180°可求出∠ACB和∠B的度数，最后在△ABC中利用内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
(1) 证明:
∵CB为∠ACE的平分线,
∴∠ACB=∠FCE,
在△ACB和△FCE中,
$\{\begin{array}{l}∠ B = ∠ E,\\CB = CE,\\∠ ACB = ∠ FCE,\end{array} $
∴△ACB≌△FCE(ASA),
∴CA=CF.
(2) 解:
∵AB//CE,
∴∠FCE=∠B.
∵∠B=∠E,
∴∠FCE=∠E=∠ACB,
∵ED⊥AC,
∴∠EDC=90°.
在△EDC中，$∠ ACB+∠ FCE+∠ E+∠ EDC=180°$,
代入得$3∠ ACB + 90°=180°$，解得$∠ ACB=∠ B=30°$,
∴$∠ A=180°-∠ B-∠ ACB=180°-30°-30°=120°$.
【答案】
(1) CA=CF得证；(2) $\boldsymbol{120°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形基础综合题，解题核心是先通过角平分线、边角相等的条件证明三角形全等，再结合平行线性质和三角形内角和定理推导角度，解题时需注意角之间等量关系的转换，整体考查的都是基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明CA=CF，可通过证明两条边所在的三角形全等来实现。首先根据角平分线的定义得到∠ACB=∠FCE，结合题目已知的∠B=∠E、CB=CE，可利用ASA判定△ACB≌△FCE，根据全等三角形对应边相等即可得证。
(2) 首先根据平行线的性质可得∠B=∠FCE，结合已知∠B=∠E，以及角平分线的性质可得∠ACB=∠FCE=∠E；再由ED⊥AC得到△EDC是直角三角形，利用三角形内角和为180°可求出∠ACB和∠B的度数，最后在△ABC中利用内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
(1) 证明:
∵CB为∠ACE的平分线,
∴∠ACB=∠FCE,
在△ACB和△FCE中,
$\{\begin{array}{l}∠ B = ∠ E,\\CB = CE,\\∠ ACB = ∠ FCE,\end{array} $
∴△ACB≌△FCE(ASA),
∴CA=CF.
(2) 解:
∵AB//CE,
∴∠FCE=∠B.
∵∠B=∠E,
∴∠FCE=∠E=∠ACB,
∵ED⊥AC,
∴∠EDC=90°.
在△EDC中，$∠ ACB+∠ FCE+∠ E+∠ EDC=180°$,
代入得$3∠ ACB + 90°=180°$，解得$∠ ACB=∠ B=30°$,
∴$∠ A=180°-∠ B-∠ ACB=180°-30°-30°=120°$.
【答案】
(1) CA=CF得证；(2) $\boldsymbol{120°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形基础综合题，解题核心是先通过角平分线、边角相等的条件证明三角形全等，再结合平行线性质和三角形内角和定理推导角度，解题时需注意角之间等量关系的转换，整体考查的都是基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7
21.(8分)如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C=∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F.
(1)求证：∠AEF=∠AFE；
(2)G为BC上一点且FE平分∠AFG.求证：AB=GB.
(1)求证：∠AEF=∠AFE；
(2)G为BC上一点且FE平分∠AFG.求证：AB=GB.
答案
21. 证明:(1)
∵BE是△ABC的角平分线,
∴∠ABE=∠CBE,
∵∠AEF,∠AFE分别是△BCE,△ABF的外角,
∴∠AEF=∠CBE+∠C,∠AFE=∠ABE+∠BAD,
又
∵∠C=∠BAD,
∴∠AEF=∠AFE;
(2)
∵FE平分∠AFG,
∴∠AFE=∠GFE,
∵∠AFB+∠AFE=180°,∠GFB+∠GFE=180°,
∴∠AFB=∠GFB,
在△ABF和△GBF中,
{ ∠AFB = ∠GFB, BF = BF, ∠ABF = ∠GBF,
∴△ABF≌△GBF(ASA),
∴AB=GB.
∵BE是△ABC的角平分线,
∴∠ABE=∠CBE,
∵∠AEF,∠AFE分别是△BCE,△ABF的外角,
∴∠AEF=∠CBE+∠C,∠AFE=∠ABE+∠BAD,
又
∵∠C=∠BAD,
∴∠AEF=∠AFE;
(2)
∵FE平分∠AFG,
∴∠AFE=∠GFE,
∵∠AFB+∠AFE=180°,∠GFB+∠GFE=180°,
∴∠AFB=∠GFB,
在△ABF和△GBF中,
{ ∠AFB = ∠GFB, BF = BF, ∠ABF = ∠GBF,
∴△ABF≌△GBF(ASA),
∴AB=GB.
解析
【分析】
(1)要证明∠AEF=∠AFE，首先根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，再结合三角形外角的性质，分别把∠AEF、∠AFE表示为两个角的和，最后代入已知条件∠C=∠BAD，即可完成推导。
(2)要证明AB=GB，可通过证明△ABF和△GBF全等得到结论。首先根据FE平分∠AFG得到∠AFE=∠GFE，再通过等角的补角相等推出∠AFB=∠GFB，结合公共边BF、BE是角平分线得到的∠ABF=∠GBF，用ASA判定两个三角形全等，即可得到对应边相等。
【解析】
(1)
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠AEF是△BCE的外角，∠AFE是△ABF的外角，
∴∠AEF=∠CBE+∠C，∠AFE=∠ABE+∠BAD，
又
∵∠C=∠BAD，
∴∠AEF=∠AFE；
(2)
∵FE平分∠AFG，
∴∠AFE=∠GFE，
∵∠AFB+∠AFE=180°，∠GFB+∠GFE=180°，
∴∠AFB=∠GFB，
在△ABF和△GBF中，
$\{\begin{array}{l}∠AFB = ∠GFB, \\BF = BF, \\∠ABF = ∠GBF,\end{array} $
∴△ABF≌△GBF(ASA)，
∴AB=GB。
【答案】
证明见解析
【知识点】
三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练掌握角平分线定义、三角形外角性质和全等三角形的判定定理，角的等量转化是解决本题的突破口。
【难度系数】
0.7
(1)要证明∠AEF=∠AFE，首先根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，再结合三角形外角的性质，分别把∠AEF、∠AFE表示为两个角的和，最后代入已知条件∠C=∠BAD，即可完成推导。
(2)要证明AB=GB，可通过证明△ABF和△GBF全等得到结论。首先根据FE平分∠AFG得到∠AFE=∠GFE，再通过等角的补角相等推出∠AFB=∠GFB，结合公共边BF、BE是角平分线得到的∠ABF=∠GBF，用ASA判定两个三角形全等，即可得到对应边相等。
【解析】
(1)
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠AEF是△BCE的外角，∠AFE是△ABF的外角，
∴∠AEF=∠CBE+∠C，∠AFE=∠ABE+∠BAD，
又
∵∠C=∠BAD，
∴∠AEF=∠AFE；
(2)
∵FE平分∠AFG，
∴∠AFE=∠GFE，
∵∠AFB+∠AFE=180°，∠GFB+∠GFE=180°，
∴∠AFB=∠GFB，
在△ABF和△GBF中，
$\{\begin{array}{l}∠AFB = ∠GFB, \\BF = BF, \\∠ABF = ∠GBF,\end{array} $
∴△ABF≌△GBF(ASA)，
∴AB=GB。
【答案】
证明见解析
【知识点】
三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练掌握角平分线定义、三角形外角性质和全等三角形的判定定理，角的等量转化是解决本题的突破口。
【难度系数】
0.7
