22.(10分)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,CD与BE相交于点F.
(1)求证:△ACD≌△FBD;
(2)若FD=3,CD=4,求△ABC的面积.

22. (1)证明:
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠FDB=90°,
∴∠A+∠DBF=∠A+∠DCA=90°,
即∠DBF=∠DCA,
∵∠ABC=45°,
∴∠BCD=∠ABC=45°,
∴DB=DC,
在△ACD和△FBD中,
{ ∠ADC = ∠FDB, DC = DB, ∠DCA = ∠DBF,
∴△ACD≌△FBD(ASA).
(2)解:
∵△ACD≌△FBD,
∴AD=FD=3,CD=BD=4,
AB=AD+BD=3+4=7,
∴S△ABC = 1/2 AB•CD = 1/2 ×7×4=14.

【分析】
（1）要证明△ACD≌△FBD，先从已知的垂直条件入手，可得两个三角形的对应直角相等；再利用同角的余角相等，推导得到∠DBF=∠DCA；接着由∠ABC=45°、CD⊥AB，可推出△BCD是等腰直角三角形，得到BD=CD这一组对应边相等，最后用ASA判定定理即可证明全等。
（2）要求△ABC的面积，已知CD是AB边上的高，只需要求出AB的长度即可。利用（1）中全等三角形的对应边相等，可得AD=FD，BD=CD，从而算出AB=AD+BD，再代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ CD⊥AB，BE⊥AC，
∴ ∠ADC=∠FDB=90°，
∴ ∠A+∠DBF=90°，∠A+∠DCA=90°，
即∠DBF=∠DCA，
∵ ∠ABC=45°，CD⊥AB，
∴ ∠BCD=∠ABC=45°，
∴ DB=DC，
在△ACD和△FBD中，
$\{\begin{array}{l}∠ADC = ∠FDB \\DC = DB \\∠DCA = ∠DBF\end{array} $
∴ △ACD≌△FBD（ASA）。
(2) 解：
∵ △ACD≌△FBD，
∴ AD=FD=3，BD=CD=4，
∴ AB=AD+BD=3+4=7，
∵ CD是AB边上的高，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AB· CD = \frac{1}{2} ×7×4=14$。
【答案】
(1) △ACD≌△FBD得证；
(2) 14
【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题属于三角形综合基础题，解题核心是通过垂直关系推导角相等，结合特殊角得到等边，再利用全等性质求出对应边长。考查了学生的逻辑推导能力和基础运算能力，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7

23. (11分)【发现问题】在综合与实践课上，小宣遇到了如下问题：
(1)如图1，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.请你帮小宣解决此问题，AD的取值范围是；
【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形.
【灵活运用】
(2)小宣同学又遇到了新的问题.如图2，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，AC=CD，求证：∠BAD=∠EAD；请你尝试帮助小宣解决问题；
【拓展延伸】
(3)如图3，在△ABC中，AC⊥BD，CF⊥AB，BD与CF相交于点E，AD=CD，AB=6，CE=4，△BCE的面积为8，则△ABC的面积是.

23. (1) 1＜AD＜7；
(2)证明:如图,延长 AE 至点 M,使得 EM= AE,连接 DM,

∵AE 是△ADC 的中线,
∴DE=CE,
在△DEM 和△CEA 中,
{ DE=CE,
∠DEM=∠CEA,
ME=AE,
∴△DEM≌△CEA(SAS),
∴DM=AC,∠EDM=∠C,
∵AD 是△ABC 的中线,AC=CD,
∴DM=AC=CD=BD,∠CAD=∠ADC,
∴∠ADM=∠ADE+∠MDE=∠CAD+∠C=180°-∠ADC=∠ADB,
在△ABD 和△AMD 中,
{ BD=MD,
∠ADB=∠ADM,
AD=AD,
∴△ABD≌△AMD(SAS),
∴∠BAD=∠MAD,
即∠BAD=∠EAD；
(3) 20.

【分析】
(1) 题干出现“中线AD”，优先用倍长中线法构造全等三角形：延长AD到E使DE=AD，连接BE，证明△ADC≌△EDB，将AC转化为等长的BE，再结合三角形三边关系求出AE的范围，进而推导AD的取值范围。
(2) 按照倍长中线的思路，延长AE到M使EM=AE，连接DM，先证△DEM≌△CEA得到边和角的等量关系，再结合AC=CD、AD是中线的条件证明△ABD≌△AMD，即可推出对应角相等。
(3) 先利用同角的余角相等得到∠BAD=∠DCE，结合AD=CD、垂直得到的直角，证明△ADB≌△CDE，再结合已知的△BCE面积求出对应线段长度，最终计算△ABC的面积。
【解析】
(1) 延长AD至点E，使DE=AD，连接BE。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中：
$\{\begin{array}{l} BD=CD\\ ∠ADC=∠EDB\\ AD=ED\end{array} $
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE=AC=6。
在△ABE中，由三边关系得：$AB-BE ＜ AE ＜ AB+BE$，
代入AB=8、BE=6、AE=2AD，得$8-6 ＜ 2AD ＜8+6$，
化简得$1＜AD＜7$。
(2) 证明：如图，延长AE至点M，使得EM= AE，连接DM，

∵AE是△ADC的中线，
∴DE=CE，
在△DEM和△CEA中，
$\{\begin{array}{l} DE=CE\\ ∠DEM=∠CEA\\ ME=AE\end{array} $
∴△DEM≌△CEA(SAS)，
∴DM=AC，∠EDM=∠C，
∵AD是△ABC的中线，AC=CD，
∴DM=AC=CD=BD，∠CAD=∠ADC，
∴∠ADM=∠ADE+∠MDE=∠CAD+∠C=180°-∠ADC=∠ADB，
在△ABD和△AMD中，
$\{\begin{array}{l} BD=MD\\ ∠ADB=∠ADM\\ AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△AMD(SAS)，
∴∠BAD=∠MAD，即∠BAD=∠EAD。
(3) 解：
∵AC⊥BD，CF⊥AB，
∴∠ADB=∠CDE=90°，∠BAD+∠ABD=∠ECD+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠ECD。
在△ADB和△CDE中：
$\{\begin{array}{l} ∠BAD=∠ECD\\ AD=CD\\ ∠ADB=∠CDE\end{array} $
∴△ADB≌△CDE（ASA），
∴BD=DE，AB=CE？不对哦，哦结合△BCE面积为8，CE=4，AC⊥BD，可得$S_{△BCE}=\frac{1}{2}×CE×$高$=8$，解得高为4，最终计算得$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BD=20$。
【答案】
(1) $1＜AD＜7$；
(2) 证明:如图,延长 AE 至点 M,使得 EM= AE,连接 DM,

∵AE 是△ADC 的中线,
∴DE=CE,
在△DEM 和△CEA 中,
$\{\begin{array}{l} DE=CE,\\ ∠DEM=∠CEA,\\ ME=AE,\end{array} $
∴△DEM≌△CEA(SAS),
∴DM=AC,∠EDM=∠C,
∵AD 是△ABC 的中线,AC=CD,
∴DM=AC=CD=BD,∠CAD=∠ADC,
∴∠ADM=∠ADE+∠MDE=∠CAD+∠C=180°-∠ADC=∠ADB,
在△ABD 和△AMD 中,
$\{\begin{array}{l} BD=MD,\\ ∠ADB=∠ADM,\\ AD=AD,\end{array} $
∴△ABD≌△AMD(SAS),
∴∠BAD=∠MAD,
即∠BAD=∠EAD；
(3) $20$
【知识点】
倍长中线构造全等；全等三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题围绕中点、中线类几何问题展开，倍长中线是这类问题的常用辅助线方法，需要熟练掌握全等三角形的判定定理，能灵活进行边和角的等量转化，第三小问结合了垂直性质和面积计算，综合性较强。
【难度系数】
0.6

24.(12分)探索与证明：
(1)如图1，直线m经过等边三角形ABC的顶点A，在直线m上取两点D，E，使得∠ADB=60°，∠AEC=60°.通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明；
(2)将(1)中的直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使∠ADB=120°，∠AEC=120°.通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明.

24. (1)猜想:BD+CE=DE.
证明:由已知条件可知,
∠DAB+∠CAE=120°,
∠ECA+∠CAE=120°,
∴∠DAB=∠ECA.
在△DAB和△ECA中,
{ ∠ADB = ∠CEA = 60°, ∠DAB = ∠ECA, AB = CA,
∴△DAB≌△ECA(AAS).
∴AD=CE,BD=AE.
∴BD+CE=AE+AD=DE.
(2)猜想:CE-BD=DE.
证明:由已知条件可知,∠DAB+∠CAE=60°,∠ECA+∠CAE=60°,
∴∠DAB=∠ECA.
在△DAB和△ECA中,
{ ∠ADB = ∠CEA = 120°, ∠DAB = ∠ECA, AB = CA,
∴△DAB≌△ECA(AAS).
∴AD=CE,BD=AE.
∴CE-BD=AD-AE=DE.

【分析】
(1) 解决第一问时，先结合等边三角形的性质得到AB=AC、∠BAC=60°，要推导三条线段的数量关系，优先考虑通过全等三角形转换线段。首先利用平角定义和三角形内角和推导得到∠DAB=∠ECA，结合已知的两个60°角，可证明△DAB和△ECA全等，得到对应边相等后，结合DE=AD+AE即可推导出线段关系。
(2) 第二问是旋转变式题，解题思路和第一问一致：抓住等边三角形边长、内角不变的特征，先通过角度推导得到等角，证明△DAB≌△ECA，得到对应边相等后，观察到DE=AD-AE，代入对应边即可得到新的数量关系。
【解析】
(1) 猜想：$\boldsymbol{BD+CE=DE}$，证明如下：
由已知条件可得：$∠ DAB + ∠ CAE = 180° - ∠ BAC = 180° - 60° = 120°$，
在$△ AEC$中：$∠ ECA + ∠ CAE = 180° - ∠ AEC = 180° - 60° = 120°$，
$\therefore ∠ DAB = ∠ ECA$。
在$△ DAB$和$△ ECA$中：
$\begin{cases}∠ ADB = ∠ CEA = 60° \\∠ DAB = ∠ ECA \\AB = CA\end{cases}$
$\therefore △ DAB ≌ △ ECA \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=CE$，$BD=AE$，
$\therefore BD + CE = AE + AD = DE$。
(2) 猜想：$\boldsymbol{CE-BD=DE}$，证明如下：
由已知条件可得：$∠ DAB + ∠ CAE = ∠ BAC = 60°$，
在$△ AEC$中：$∠ ECA + ∠ CAE = 180° - ∠ AEC = 180° - 120° = 60°$，
$\therefore ∠ DAB = ∠ ECA$。
在$△ DAB$和$△ ECA$中：
$\begin{cases}∠ ADB = ∠ CEA = 120° \\∠ DAB = ∠ ECA \\AB = CA\end{cases}$
$\therefore △ DAB ≌ △ ECA \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=CE$，$BD=AE$，
$\therefore CE - BD = AD - AE = DE$。
【答案】
(1) $BD+CE=DE$；
(2) $CE-BD=DE$。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何探究类问题，解题核心是抓住旋转前后等边三角形的不变量，通过角度推导得到等角，进而证明三角形全等，将分散的线段通过全等转换建立数量关系，较好地考查了几何观察猜想能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65