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1. 黄冈多地乡村推进乡村振兴项目，在农村院落新建户外光伏遮阳棚，施工人员为提升棚架牢固度，在遮阳棚原有支架结构间增设一根斜向支撑杆，使整体棚架抗形变能力更强、结构更加稳固.该设计主要运用的数学原理是 （
A.两点之间线段最短
B.三角形具有稳定性
C.垂线段最短
D.平行线间的距离处处相等
B
）A.两点之间线段最短
B.三角形具有稳定性
C.垂线段最短
D.平行线间的距离处处相等
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先抓住题干关键信息：增设斜向支撑杆后棚架抗形变能力更强、更稳固。首先思考结构变化：增设斜杆后，原本易变形的四边形支架被分割为多个三角形结构，再结合各选项对应的数学原理逐一排查：A对应路径最短问题，C对应点到直线的最短距离问题，D对应平行线性质，均和结构稳固无关，只有三角形的稳定性符合题意，即可得出答案。
【解析】
棚架原有支架多为四边形结构，四边形具有不稳定性，容易发生形变。增设斜向支撑杆后，支撑杆与原有支架的边共同构成三角形结构，而三角形具有稳定性，不易发生形变，因此可以提升棚架的牢固度。
对各选项分析如下：
A. 两点之间线段最短，一般用于解决最短路径类问题，与提升结构稳固性无关，不符合题意；
B. 三角形具有稳定性，符合该设计的原理，符合题意；
C. 垂线段最短，一般用于解决点到直线的最短距离类问题，不符合题意；
D. 平行线间的距离处处相等是平行线的性质，和本题应用场景无关，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合乡村振兴的实际生活场景考查几何性质的应用，体现了数学来源于生活、应用于生活的特点，要求同学们能够将所学的数学性质和实际应用对应起来，做到活学活用。
【难度系数】
0.9
解题时首先抓住题干关键信息：增设斜向支撑杆后棚架抗形变能力更强、更稳固。首先思考结构变化：增设斜杆后，原本易变形的四边形支架被分割为多个三角形结构，再结合各选项对应的数学原理逐一排查：A对应路径最短问题，C对应点到直线的最短距离问题，D对应平行线性质，均和结构稳固无关，只有三角形的稳定性符合题意，即可得出答案。
【解析】
棚架原有支架多为四边形结构，四边形具有不稳定性，容易发生形变。增设斜向支撑杆后，支撑杆与原有支架的边共同构成三角形结构，而三角形具有稳定性，不易发生形变，因此可以提升棚架的牢固度。
对各选项分析如下：
A. 两点之间线段最短，一般用于解决最短路径类问题，与提升结构稳固性无关，不符合题意；
B. 三角形具有稳定性，符合该设计的原理，符合题意；
C. 垂线段最短，一般用于解决点到直线的最短距离类问题，不符合题意；
D. 平行线间的距离处处相等是平行线的性质，和本题应用场景无关，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合乡村振兴的实际生活场景考查几何性质的应用，体现了数学来源于生活、应用于生活的特点，要求同学们能够将所学的数学性质和实际应用对应起来，做到活学活用。
【难度系数】
0.9
2. 如图，AB=AC，BD=CD，若∠B=70°，则∠DAC=（
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
第2小题图
第3小题图
第4小题图
第5小题图
B
）A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
第2小题图
第3小题图
第4小题图
第5小题图
答案
2. B
解析
【分析】
拿到题目先观察已知条件中的边相等关系：AB=AC、BD=CD，再结合两个三角形共有的边AD，可通过SSS判定定理证明△ABD和△ACD全等；接着利用全等三角形对应角相等得到∠C的度数，再结合等腰△ABC的内角和计算出顶角∠BAC的度数，最后由全等得到∠DAC是∠BAC的一半，即可算出结果。
【解析】
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AB=AC(\mathrm{已知}) \\BD=CD(\mathrm{已知}) \\AD=AD(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ C = ∠ B = 70°$，$∠ DAC = ∠ BAD$
$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 70° - 70° = 40°$
$\therefore ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 40° = 20°$
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础题，核心是利用公共边构造全等三角形，结合等腰三角形的性质计算角度，熟练掌握全等判定定理和等腰三角形特点是解题的关键。
【难度系数】
0.8
拿到题目先观察已知条件中的边相等关系：AB=AC、BD=CD，再结合两个三角形共有的边AD，可通过SSS判定定理证明△ABD和△ACD全等；接着利用全等三角形对应角相等得到∠C的度数，再结合等腰△ABC的内角和计算出顶角∠BAC的度数，最后由全等得到∠DAC是∠BAC的一半，即可算出结果。
【解析】
在$△ ABD$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AB=AC(\mathrm{已知}) \\BD=CD(\mathrm{已知}) \\AD=AD(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ C = ∠ B = 70°$，$∠ DAC = ∠ BAD$
$\because AB=AC$，$\therefore △ ABC$是等腰三角形
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 70° - 70° = 40°$
$\therefore ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 40° = 20°$
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础题，核心是利用公共边构造全等三角形，结合等腰三角形的性质计算角度，熟练掌握全等判定定理和等腰三角形特点是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$△ ACB ≌ △ A'CB'$，$∠ BCB' = 30°$，则$∠ ACA'$的度数为（
A.$20°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$
B
）A.$20°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$
答案
3. B
解析
【分析】
首先根据题目给出的两个三角形全等的条件，回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，可得∠ACB与∠A'CB'相等。观察图形可知，∠ACB和∠A'CB'有公共角∠A'CB，将两个相等的角同时减去这个公共角，剩余的角仍然相等，即可得到∠ACA'和已知的∠BCB'相等，进而求出∠ACA'的度数。
【解析】
解：
∵△ACB ≌ △A'CB'，
∴∠ACB = ∠A'CB'（全等三角形的对应角相等），
∴∠ACB - ∠A'CB = ∠A'CB' - ∠A'CB，
即∠ACA' = ∠BCB'，
∵∠BCB' = 30°，
∴∠ACA' = 30°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题考查全等三角形性质的简单应用，解题的关键是找准两个相等对应角的公共部分，通过角的和差关系建立所求角与已知角的联系，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先根据题目给出的两个三角形全等的条件，回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，可得∠ACB与∠A'CB'相等。观察图形可知，∠ACB和∠A'CB'有公共角∠A'CB，将两个相等的角同时减去这个公共角，剩余的角仍然相等，即可得到∠ACA'和已知的∠BCB'相等，进而求出∠ACA'的度数。
【解析】
解：
∵△ACB ≌ △A'CB'，
∴∠ACB = ∠A'CB'（全等三角形的对应角相等），
∴∠ACB - ∠A'CB = ∠A'CB' - ∠A'CB，
即∠ACA' = ∠BCB'，
∵∠BCB' = 30°，
∴∠ACA' = 30°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题考查全等三角形性质的简单应用，解题的关键是找准两个相等对应角的公共部分，通过角的和差关系建立所求角与已知角的联系，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是$∠ BAC$的平分线，$DE ⊥ AB$于点$E$，$S_{△ ABC}=24$，$DE=4$，$AB=7$，则$AC$的长是（
A.3
B.4
C.6
D.5
D
）A.3
B.4
C.6
D.5
答案
4. D
解析
【分析】
解题时先观察题干条件：出现角平分线和角一边上的垂线段，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作AC的垂线，即可得到AC边上的高等于DE的长度。其次△ABC的面积可拆分为△ABD和△ACD的面积之和，已知总面积、AB长度和高DE，先计算△ABD的面积，再求出△ACD的面积，最后利用三角形面积公式反推AC的长度即可。
【解析】
解：过点D作$DF ⊥ AC$于点F。
∵AD是$∠ BAC$的平分线，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴根据角平分线的性质可得$DF=DE=4$。
计算$△ ABD$的面积：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE=\frac{1}{2} ×7 ×4=14$。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=24$，
∴$S_{△ ACD}=24-14=10$。
又
∵$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF$，代入数据得：
$10=\frac{1}{2} × AC ×4$，
解得$AC=5$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用角平分线的性质得到未知边对应的高，再结合三角形面积的和差关系列式计算，拆分三角形面积的思路在几何面积类题目中十分常用。
【难度系数】
0.7
解题时先观察题干条件：出现角平分线和角一边上的垂线段，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作AC的垂线，即可得到AC边上的高等于DE的长度。其次△ABC的面积可拆分为△ABD和△ACD的面积之和，已知总面积、AB长度和高DE，先计算△ABD的面积，再求出△ACD的面积，最后利用三角形面积公式反推AC的长度即可。
【解析】
解：过点D作$DF ⊥ AC$于点F。
∵AD是$∠ BAC$的平分线，$DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
∴根据角平分线的性质可得$DF=DE=4$。
计算$△ ABD$的面积：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE=\frac{1}{2} ×7 ×4=14$。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=24$，
∴$S_{△ ACD}=24-14=10$。
又
∵$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF$，代入数据得：
$10=\frac{1}{2} × AC ×4$，
解得$AC=5$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用角平分线的性质得到未知边对应的高，再结合三角形面积的和差关系列式计算，拆分三角形面积的思路在几何面积类题目中十分常用。
【难度系数】
0.7
5. 如图，$AB// CD$，$BP$和$CP$分别平分$∠ ABC$和$∠ BCD$，$AD$过点$P$且与$AB$垂直。若$AD=8$，$BC=10$，则$△ BCP$的面积为（
A.16
B.20
C.40
D.80
B
）A.16
B.20
C.40
D.80
答案
5. B
解析
【分析】
解题时先结合已知的平行线与垂直条件，确定AD是平行线AB、CD之间的公垂线段；再根据角平分线的性质，通过作PE⊥BC的辅助线，得到PE的长度等于点P到AB、CD的距离，进而推出PE为AD长度的一半；最后代入三角形面积公式即可求出△BCP的面积。
【解析】
过点P作PE⊥BC于点E。
∵ AB//CD，AD⊥AB，
∴ AD⊥CD（两直线平行，若垂直于其中一条，则必垂直于另一条）。
∵ BP平分∠ABC，PE⊥BC，PA⊥AB，
∴ PA = PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，CP平分∠BCD，PE⊥BC，PD⊥CD，
∴ PD = PE。
∴ PE = PA = PD，
∵ PA + PD = AD = 8，
∴ 2PE = 8，解得PE = 4。
∴ △BCP的面积 = $\frac{1}{2}×BC×PE = \frac{1}{2}×10×4 = 20$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质应用的典型题型，解题的核心是通过作辅助线构造角平分线上的点到角两边的垂线段，将已知的AD长度转化为所求三角形的高，能较好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先结合已知的平行线与垂直条件，确定AD是平行线AB、CD之间的公垂线段；再根据角平分线的性质，通过作PE⊥BC的辅助线，得到PE的长度等于点P到AB、CD的距离，进而推出PE为AD长度的一半；最后代入三角形面积公式即可求出△BCP的面积。
【解析】
过点P作PE⊥BC于点E。
∵ AB//CD，AD⊥AB，
∴ AD⊥CD（两直线平行，若垂直于其中一条，则必垂直于另一条）。
∵ BP平分∠ABC，PE⊥BC，PA⊥AB，
∴ PA = PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，CP平分∠BCD，PE⊥BC，PD⊥CD，
∴ PD = PE。
∴ PE = PA = PD，
∵ PA + PD = AD = 8，
∴ 2PE = 8，解得PE = 4。
∴ △BCP的面积 = $\frac{1}{2}×BC×PE = \frac{1}{2}×10×4 = 20$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质应用的典型题型，解题的核心是通过作辅助线构造角平分线上的点到角两边的垂线段，将已知的AD长度转化为所求三角形的高，能较好地考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
6.如图，E为△ABC内一点，BE平分∠ABC，CD⊥BE，垂足为E，交AB于点D，∠A=∠ACD，CE=1，BC=3，则AB的长为（
A.4
B.4.5
C.5
D.5.5
C
）A.4
B.4.5
C.5
D.5.5
答案
6. C
解析
【分析】
解题时先结合已知条件“BE平分∠ABC、CD⊥BE”，可通过证明△BEC和△BED全等，得到等腰△BCD，推出BC=BD、CE=DE，算出CD的长度；再根据∠A=∠ACD，利用等角对等边得到AD=CD，最后将AD和BD相加即可得到AB的长度。
【解析】
1. 证明△BEC≌△BED：
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠CBE=∠DBE，
∵ CD⊥BE，
∴ ∠BEC=∠BED=90°，
在△BEC和△BED中：
$\{\begin{array}{l}∠CBE=∠DBE \\BE=BE \\∠BEC=∠BED\end{array} $
∴ △BEC≌△BED（ASA），
∴ BC=BD=3，CE=DE=1，
∴ CD=CE+DE=1+1=2。
2. 求AD的长度：
∵ ∠A=∠ACD，
∴ AD=CD=2（等角对等边）。
3. 计算AB：
AB=AD+BD=2+3=5。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定，等腰三角形的性质，等角对等边
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是通过角平分线和垂线的组合条件识别出等腰三角形，再结合等角对等边的性质求解线段长度，掌握全等三角形和等腰三角形的基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件“BE平分∠ABC、CD⊥BE”，可通过证明△BEC和△BED全等，得到等腰△BCD，推出BC=BD、CE=DE，算出CD的长度；再根据∠A=∠ACD，利用等角对等边得到AD=CD，最后将AD和BD相加即可得到AB的长度。
【解析】
1. 证明△BEC≌△BED：
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠CBE=∠DBE，
∵ CD⊥BE，
∴ ∠BEC=∠BED=90°，
在△BEC和△BED中：
$\{\begin{array}{l}∠CBE=∠DBE \\BE=BE \\∠BEC=∠BED\end{array} $
∴ △BEC≌△BED（ASA），
∴ BC=BD=3，CE=DE=1，
∴ CD=CE+DE=1+1=2。
2. 求AD的长度：
∵ ∠A=∠ACD，
∴ AD=CD=2（等角对等边）。
3. 计算AB：
AB=AD+BD=2+3=5。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定，等腰三角形的性质，等角对等边
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是通过角平分线和垂线的组合条件识别出等腰三角形，再结合等角对等边的性质求解线段长度，掌握全等三角形和等腰三角形的基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
7.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（
A.$DB=DE$
B.$AB=AE$
C.$∠ EDC=∠ BAC$
D.$∠ DAC=∠ C$
第7小题图
第8小题图
第9小题图
第10小题图
D
）A.$DB=DE$
B.$AB=AE$
C.$∠ EDC=∠ BAC$
D.$∠ DAC=∠ C$
第7小题图
第8小题图
第9小题图
第10小题图
答案
7. D
解析
【分析】
首先识别尺规作图的内容：本题作图痕迹是作∠BAC的角平分线AD，且过点D作DE⊥AC于E。解题思路为：①利用角平分线的性质判断线段相等关系；②证明三角形全等得到对应边相等；③利用直角三角形两锐角互余、同角的余角相等判断角的关系；④逐一验证选项，找出错误结论。
【解析】
解：由尺规作图痕迹可知，AD平分∠BAC，DE⊥AC。
∵∠ABC=90°，即DB⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DB=DE，故A选项结论正确，不符合题意；
在△ABD和△AED中：
$\{\begin{array}{l}∠ABD=∠AED=90° \\∠BAD=∠EAD \\AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△AED（AAS），
∴AB=AE，故B选项结论正确，不符合题意；
在Rt△EDC中，∠EDC + ∠C = 90°，
在Rt△ABC中，∠BAC + ∠C = 90°，
根据同角的余角相等，可得∠EDC=∠BAC，故C选项结论正确，不符合题意；
题中无相关条件能推出∠DAC=∠C，该结论不是普遍成立的，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查几何基础性质的应用，解题关键是先根据作图痕迹判断出所作的角平分线和垂线，再结合相关性质逐一验证选项即可。
【难度系数】
0.7
首先识别尺规作图的内容：本题作图痕迹是作∠BAC的角平分线AD，且过点D作DE⊥AC于E。解题思路为：①利用角平分线的性质判断线段相等关系；②证明三角形全等得到对应边相等；③利用直角三角形两锐角互余、同角的余角相等判断角的关系；④逐一验证选项，找出错误结论。
【解析】
解：由尺规作图痕迹可知，AD平分∠BAC，DE⊥AC。
∵∠ABC=90°，即DB⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DB=DE，故A选项结论正确，不符合题意；
在△ABD和△AED中：
$\{\begin{array}{l}∠ABD=∠AED=90° \\∠BAD=∠EAD \\AD=AD\end{array} $
∴△ABD≌△AED（AAS），
∴AB=AE，故B选项结论正确，不符合题意；
在Rt△EDC中，∠EDC + ∠C = 90°，
在Rt△ABC中，∠BAC + ∠C = 90°，
根据同角的余角相等，可得∠EDC=∠BAC，故C选项结论正确，不符合题意；
题中无相关条件能推出∠DAC=∠C，该结论不是普遍成立的，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查几何基础性质的应用，解题关键是先根据作图痕迹判断出所作的角平分线和垂线，再结合相关性质逐一验证选项即可。
【难度系数】
0.7
