一次数学综合实践活动课上,小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图10-1,已知AD是△ABC的角平分线,可证$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$. 小慧的证明思路是如图10-2,过点C作CE//AB,交AD的延长线于点E,构造相似三角形来证明.

(1)请参照小慧的思路,利用图10-2,证明:$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$;
(2)如图10-3,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是边BC上一点.连接AD,将△ACD沿AD所在直线折叠,点C恰好落在边AB上的E点处.若AC=1,AB=2,求DE的长;
(3)如图10-4,△ABC中,AB=6,AC=4,AD平分∠BAC,AD的中垂线EF交BC延长线于点F,当$BD=\frac{3}{2}$时,求AF的长.

1. 证明:过点C作$CE// AB$,交AD的延长线于点E $\because CE// AB$ $\therefore △ ADB∽ △ EDC$ $\therefore \frac{AB}{EC}=\frac{BD}{CD}$, $∠ BAD=∠ DEC$ $\because ∠ BAD=∠ DAC$ $\therefore ∠ DEC=∠ DAC$ $\therefore AC=EC$ $\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$
2. $\frac{\sqrt{5}}{3}$
3. 3

【分析】
(1) 要证明比例式，先按提示作平行线构造相似三角形，得到含$EC$的比例关系，再结合角平分线和平行线的性质推导$AC=EC$，等量代换即可得证；
(2) 由折叠性质可知$AD$是角平分线，且$DE=DC$，先利用(1)的结论求出$BD$与$DC$的比值，再用勾股定理求出$BC$的长度，即可得$DE$的长；
(3) 先由中垂线性质得$AF=DF$，再用(1)的角平分线结论求出$CD$的长度，通过角的推导证明$△ FAB∽△ FCA$，得到$AF^2=FC· BF$，设$AF$为$x$，列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：过点C作$CE// AB$，交AD的延长线于点E。
$\because CE// AB$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CED$，$∠ B=∠ ECD$，
$\therefore △ ADB ∽ △ EDC$，
$\therefore \frac{AB}{EC}=\frac{BD}{CD}$。
$\because AD$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ BAD=∠ DAC$，
$\therefore ∠ CED=∠ DAC$，
$\therefore AC=EC$，
代入比例式得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
(2) 解：$\because$将$△ ACD$沿AD折叠，点C落在AB上的E点，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$，$DE=DC$，$∠ AED=∠ C=90°$，$AC=AE=1$。
由(1)的结论得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{2}{1}$，即$BD=2DC$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AC=1$，$AB=2$，
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$\because BC=BD+DC=3DC$，
$\therefore DC=\frac{\sqrt{5}}{3}$，
$\therefore DE=DC=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
(3) 解：连接$DF$，
$\because EF$是AD的中垂线，
$\therefore AF=DF$，
$\therefore ∠ FAD=∠ FDA$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$，
$\because ∠ FDA=∠ B+∠ BAD$，$∠ FAD=∠ FAC+∠ CAD$，
$\therefore ∠ FAC=∠ B$，
又$\because ∠ F=∠ F$，
$\therefore △ FAB ∽ △ FCA$，
$\therefore \frac{AF}{CF}=\frac{BF}{AF}$，即$AF^2=CF· BF$。
由(1)的结论得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，代入$AB=6$，$AC=4$，$BD=\frac{3}{2}$，
得$\frac{6}{4}=\frac{\frac{3}{2}}{CD}$，解得$CD=1$。
设$AF=x$，则$DF=x$，
$\because DF=CD+CF$，
$\therefore CF=x-CD=x-1$，
$BF=BD+CD+CF=\frac{3}{2}+1+x-1=x+\frac{3}{2}$，
代入$AF^2=CF· BF$得：
$x^2=(x-1)(x+\frac{3}{2})$，
展开化简得$\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}$，
解得$x=3$，即$AF=3$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}}{3}}$；(3) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，角平分线定理，折叠与中垂线的性质
【点评】
本题为三角形综合题，从基础的角平分线定理证明出发，逐步拓展到折叠、中垂线和相似的结合应用，解题时可直接用已证结论简化后续计算，能很好地考查知识的综合运用能力和迁移能力。
【难度系数】
0.65