4. 将三角形纸片(△ABC)按如图7所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B',折痕为EF. 已知AB=AC=3,BC=4,若以点B',F,C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度是.

4. 2或$\frac{12}{7}$

【分析】
首先利用折叠的性质可得BF=B'F，设BF的长度为x，则FC=4-x。由于题目未明确△B'FC与△ABC的对应顶点，需分两种相似情况讨论，根据相似三角形对应边成比例列方程求解，最后验证解的合理性即可。
【解析】
设BF=x，由折叠的性质可知B'F=BF=x，因此FC=BC-BF=4-x。
已知AB=AC=3，BC=4，△ABC为等腰三角形，∠B=∠C，分两种情况讨论：
1. 当△B'FC∽△ABC时，对应边成比例：$\frac{B'F}{AB}=\frac{FC}{BC}$
代入数值：$\frac{x}{3}=\frac{4-x}{4}$
交叉相乘得：$4x=3(4-x)$
解得：$7x=12$，即$x=\frac{12}{7}$，符合题意。
2. 当△FB'C∽△ABC时，对应边成比例：$\frac{B'F}{AB}=\frac{FC}{AC}$
因为AB=AC=3，代入得：$\frac{x}{3}=\frac{4-x}{3}$
化简得：$x=4-x$
解得：$x=2$，符合题意。
综上，BF的长度为2或$\frac{12}{7}$。
【答案】
2或$\frac{12}{7}$
【知识点】
折叠的性质；相似三角形的判定与性质；分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形与折叠变换结合的典型题，解题关键是明确折叠前后对应边相等，同时注意相似三角形对应关系不唯一时需分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6

三、解答题
1. 小明在海南三亚度假时，用下面的方法来测量楼AB的高度：如图8，他在地面上放一面镜子E（镜子高度忽略不计），刚好能从镜子中看到楼的顶端A. 他的眼睛C距地面1.50米. 如果小明与镜子的距离DE是1米，镜子与楼的距离BE是8米，那么楼AB高为多少米？

1. 过E作$EF⊥ BD$ $\because ∠ AEF=∠ CEF$ $\therefore ∠ AEB=∠ CED$ 又$\because ∠ ABE=∠ CDE=90°$ $\therefore △ ABE ∽ △ CDE$ $\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE}$ $\therefore AB=\frac{BE× CD}{DE}=\frac{8× 1.50}{1}=12$(米)

【分析】
遇到利用镜子测量物体高度的问题时，首先结合光的反射定律，可得到反射角等于入射角，进而推出两个三角形的一组对应角相等；再结合楼高、人眼高度都垂直于地面，可得到一组直角相等，即可判定两个三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长就能求出楼的高度。
【解析】
过点E作$EF ⊥ BD$，根据光的反射定律可得$∠ AEF = ∠ CEF$，
$\therefore 90° - ∠ AEF = 90° - ∠ CEF$，即$∠ AEB = ∠ CED$。
又$\because AB ⊥ BD$，$CD ⊥ BD$，$\therefore ∠ ABE = ∠ CDE = 90°$，
$\therefore △ ABE ∽ △ CDE$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DE}$。
将$CD=1.50\mathrm{m}$，$BE=8\mathrm{m}$，$DE=1\mathrm{m}$代入比例式，
得$AB=\frac{BE × CD}{DE}=\frac{8 × 1.50}{1}=12$（米）。
【答案】
12米
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，解题关键是借助光的反射规律得到相等的角，进而构造相似三角形，将实际问题转化为数学中的相似求解问题，能有效锻炼数学建模能力。
【难度系数】
0.8

2. 如图9,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.
(1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求$\frac{AF}{AG}$的值.

(1)略 (2)$\frac{3}{5}$

【分析】
(1) 要证明△ADE∽△ABC，已知两三角形有公共角∠EAD=∠CAB，只需再证一组对应角相等即可。结合已知的两个垂直条件可得两个直角，利用直角三角形两锐角互余，结合∠EAF=∠GAC，可推出∠AED=∠C，即可通过两角对应相等判定两三角形相似。
(2) 要求$\frac{AF}{AG}$的值，观察可知AF是△ADE中DE边上的高，AG是△ABC中BC边上的高，根据相似三角形对应高的比等于相似比，结合已知的AD、AB长度即可求出比值。
【解析】
(1) 证明：
∵ AG⊥BC，AF⊥DE
∴ ∠AFE=∠AGC=90°
∴ 在Rt△AEF中，∠AEF + ∠EAF = 90°
在Rt△AGC中，∠C + ∠GAC = 90°
又
∵ ∠EAF = ∠GAC
∴ ∠AEF = ∠C
又
∵ ∠EAD = ∠CAB（公共角）
∴ △ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
(2) 解：
由(1)知△ADE∽△ABC，AF、AG分别是△ADE和△ABC对应边上的高
∴ $\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AB}$（相似三角形对应高的比等于相似比）
∵ AD=3，AB=5
∴ $\frac{AF}{AG}=\frac{3}{5}$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{3}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定与性质的综合应用，解题的突破口是利用等角的余角相等得到一组对应角相等，进而证明三角形相似，再结合相似三角形的性质求解线段比值，属于基础常考题型，熟练掌握相似的相关定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7