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一、选择题
1. 如图1，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$于点$D$，下列结论中错误的是（
A.$∠ BCD=∠ A$
B.$△ ACD∽△ ABC$
C.$BC^2=AD· AB$
D.$CD^2=AD· BD$
1. 如图1，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$于点$D$，下列结论中错误的是（
C
）A.$∠ BCD=∠ A$
B.$△ ACD∽△ ABC$
C.$BC^2=AD· AB$
D.$CD^2=AD· BD$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查直角三角形斜边上的高构成的“双垂直”相似模型，解题时可先根据直角三角形两锐角互余判断角的关系，再结合两角对应相等的相似判定定理推导图中的相似三角形，最后根据相似三角形对应边成比例变形得到边的乘积关系，逐个判断选项即可。
【解析】
已知在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$CD⊥AB$，逐一分析选项：
1. 对选项A：
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠A+∠B=90°$，
∵$CD⊥AB$，
∴$∠BCD+∠B=90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠BCD=∠A$，A选项结论正确，不符合题意。
2. 对选项B：
在$△ACD$和$△ABC$中，
$\{\begin{array}{l} ∠A=∠A（公共角）\\ ∠ADC=∠ACB=90°\end{array} $
根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$△ACD∽△ABC$，B选项结论正确，不符合题意。
3. 对选项C：
在$△BCD$和$△BAC$中，
$\{\begin{array}{l} ∠B=∠B（公共角）\\ ∠BDC=∠BCA=90°\end{array} $
∴$△BCD∽△BAC$，对应边成比例得：$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，
交叉相乘得$BC^2=BD·AB$，并非$BC^2=AD·AB$，C选项结论错误，符合题意。
4. 对选项D：
在$△ACD$和$△CBD$中，
$\{\begin{array}{l} ∠A=∠BCD（已证）\\ ∠ADC=∠CDB=90°\end{array} $
∴$△ACD∽△CBD$，对应边成比例得：$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，
交叉相乘得$CD^2=AD·BD$，D选项结论正确，不符合题意。
综上，本题选错误的结论，故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形基础应用题型，核心是“双垂直”模型的相似判定，解题时注意对应边不要混淆，就能快速判断边的乘积关系是否正确。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形斜边上的高构成的“双垂直”相似模型，解题时可先根据直角三角形两锐角互余判断角的关系，再结合两角对应相等的相似判定定理推导图中的相似三角形，最后根据相似三角形对应边成比例变形得到边的乘积关系，逐个判断选项即可。
【解析】
已知在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$CD⊥AB$，逐一分析选项：
1. 对选项A：
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠A+∠B=90°$，
∵$CD⊥AB$，
∴$∠BCD+∠B=90°$，
根据同角的余角相等，可得$∠BCD=∠A$，A选项结论正确，不符合题意。
2. 对选项B：
在$△ACD$和$△ABC$中，
$\{\begin{array}{l} ∠A=∠A（公共角）\\ ∠ADC=∠ACB=90°\end{array} $
根据两角对应相等的两个三角形相似，可得$△ACD∽△ABC$，B选项结论正确，不符合题意。
3. 对选项C：
在$△BCD$和$△BAC$中，
$\{\begin{array}{l} ∠B=∠B（公共角）\\ ∠BDC=∠BCA=90°\end{array} $
∴$△BCD∽△BAC$，对应边成比例得：$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，
交叉相乘得$BC^2=BD·AB$，并非$BC^2=AD·AB$，C选项结论错误，符合题意。
4. 对选项D：
在$△ACD$和$△CBD$中，
$\{\begin{array}{l} ∠A=∠BCD（已证）\\ ∠ADC=∠CDB=90°\end{array} $
∴$△ACD∽△CBD$，对应边成比例得：$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，
交叉相乘得$CD^2=AD·BD$，D选项结论正确，不符合题意。
综上，本题选错误的结论，故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形基础应用题型，核心是“双垂直”模型的相似判定，解题时注意对应边不要混淆，就能快速判断边的乘积关系是否正确。
【难度系数】
0.8
2. 如图2,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,AB=4,BD=3,则BC的长为(
A.$\frac{7}{3}$
B.4
C.5
D.$\frac{16}{3}$
D
)A.$\frac{7}{3}$
B.4
C.5
D.$\frac{16}{3}$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：Rt△ABC中∠BAC=90°，AD⊥BC，两个直角有公共角∠B，可根据两角对应相等判定两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出BC的长度。
【解析】
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
又
∵∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠BAC=90°，
在△ABD和△CBA中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ B\\ ∠ ADB=∠ BAC\end{array} $
∴△ABD∽△CBA（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
即$AB^2=BD· BC$，
将AB=4，BD=3代入得：$4^2=3· BC$，
解得$BC=\frac{16}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的常规题型，核心是识别“双垂直”结构中的相似三角形，利用相似的性质建立边的等量关系求解，熟练掌握常见的相似几何模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：Rt△ABC中∠BAC=90°，AD⊥BC，两个直角有公共角∠B，可根据两角对应相等判定两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出BC的长度。
【解析】
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
又
∵∠BAC=90°，
∴∠ADB=∠BAC=90°，
在△ABD和△CBA中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ B\\ ∠ ADB=∠ BAC\end{array} $
∴△ABD∽△CBA（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$，
即$AB^2=BD· BC$，
将AB=4，BD=3代入得：$4^2=3· BC$，
解得$BC=\frac{16}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的常规题型，核心是识别“双垂直”结构中的相似三角形，利用相似的性质建立边的等量关系求解，熟练掌握常见的相似几何模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
3. 如图3,点P是$△ ABC$的重心,$AB=8$,连接$AP$,$BP$并延长,分别交$BC$,$AC$于点$D$,$E$,连接$DE$,则$DE$的长为(
A.2
B.3
C.4
D.5
C
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先明确三角形重心的定义：重心是三角形三条中线的交点，因此可推出AD、BE是△ABC的中线，即D、E分别为BC、AC的中点，由此可判断DE是△ABC的中位线，再结合三角形中位线定理即可求出DE的长度。
【解析】
∵点P是△ABC的重心，
∴AD、BE是△ABC的中线，即D是BC的中点，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
可得$DE=\frac{1}{2}AB$，
又
∵AB=8，
∴$DE=\frac{1}{2}×8=4$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
三角形重心的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握三角形重心的性质和中位线定理，利用中位线与第三边的数量关系直接计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确三角形重心的定义：重心是三角形三条中线的交点，因此可推出AD、BE是△ABC的中线，即D、E分别为BC、AC的中点，由此可判断DE是△ABC的中位线，再结合三角形中位线定理即可求出DE的长度。
【解析】
∵点P是△ABC的重心，
∴AD、BE是△ABC的中线，即D是BC的中点，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
可得$DE=\frac{1}{2}AB$，
又
∵AB=8，
∴$DE=\frac{1}{2}×8=4$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
三角形重心的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握三角形重心的性质和中位线定理，利用中位线与第三边的数量关系直接计算即可。
【难度系数】
0.8
4. 如图4，点O是△ABC的重心，若△ABC的面积为16，那么阴影部分的面积之和为(
A.16
B.12
C.8
D.6
C
)A.16
B.12
C.8
D.6
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形重心的定义：重心是三角形三条中线的交点，因此图中AD、BE、CF均为△ABC的中线。接着利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，可得相邻的成对小三角形面积相等，观察阴影部分恰好是成对小三角形中的各一个，因此阴影部分总面积为△ABC面积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的重心，
∴AD、BE、CF是△ABC的三条中线，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点。
根据三角形中线的性质：等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ AOE}=S_{△ COE}$，$S_{△ BOF}=S_{△ AOF}$，$S_{△ COD}=S_{△ BOD}$，
∴阴影部分的面积之和等于△ABC面积的一半，即：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$
已知$S_{△ ABC}=16$，代入得：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}×16=8$
【答案】
C
【知识点】
三角形重心性质，三角形中线性质，等积变换
【点评】
本题是典型的三角形重心相关的面积计算题，解题核心是利用中线的等积性质进行转换，无需逐个计算小三角形的面积，熟练掌握重心和中线的性质即可快速求解，属于基础类的几何面积题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形重心的定义：重心是三角形三条中线的交点，因此图中AD、BE、CF均为△ABC的中线。接着利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，可得相邻的成对小三角形面积相等，观察阴影部分恰好是成对小三角形中的各一个，因此阴影部分总面积为△ABC面积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的重心，
∴AD、BE、CF是△ABC的三条中线，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点。
根据三角形中线的性质：等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ AOE}=S_{△ COE}$，$S_{△ BOF}=S_{△ AOF}$，$S_{△ COD}=S_{△ BOD}$，
∴阴影部分的面积之和等于△ABC面积的一半，即：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$
已知$S_{△ ABC}=16$，代入得：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}×16=8$
【答案】
C
【知识点】
三角形重心性质，三角形中线性质，等积变换
【点评】
本题是典型的三角形重心相关的面积计算题，解题核心是利用中线的等积性质进行转换，无需逐个计算小三角形的面积，熟练掌握重心和中线的性质即可快速求解，属于基础类的几何面积题。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 已知三角形的三条中位线分别为3,4,6,则这个三角形的周长为
1. 已知三角形的三条中位线分别为3,4,6,则这个三角形的周长为
26
。答案
1. 26
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。已知三条中位线的长度，我们可以先通过中位线长度求出对应三角形三边的长度，再将三边长度相加即可得到三角形的周长。也可以先计算三条中位线的长度和，再乘以2直接得到周长，因为三角形的周长等于三条中位线长度和的2倍。
【解析】
根据三角形中位线定理：三角形的中位线长度等于对应第三边长度的一半。
已知三角形的三条中位线长分别为3、4、6，则三角形的三条边长分别为：
$3×2=6$，$4×2=8$，$6×2=12$
因此该三角形的周长为：$6+8+12=26$
【答案】
26
【知识点】
1. 三角形中位线定理
2. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形中位线性质的应用，解题的关键是明确中位线与对应第三边的数量关系，计算时注意不要漏乘2即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。已知三条中位线的长度，我们可以先通过中位线长度求出对应三角形三边的长度，再将三边长度相加即可得到三角形的周长。也可以先计算三条中位线的长度和，再乘以2直接得到周长，因为三角形的周长等于三条中位线长度和的2倍。
【解析】
根据三角形中位线定理：三角形的中位线长度等于对应第三边长度的一半。
已知三角形的三条中位线长分别为3、4、6，则三角形的三条边长分别为：
$3×2=6$，$4×2=8$，$6×2=12$
因此该三角形的周长为：$6+8+12=26$
【答案】
26
【知识点】
1. 三角形中位线定理
2. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形中位线性质的应用，解题的关键是明确中位线与对应第三边的数量关系，计算时注意不要漏乘2即可。
【难度系数】
0.8
2. 如图5，△ABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的A'处，若点D为AB边的中点，BC=5，则DE=
2.5
。答案
2. 2.5
解析
【分析】
解题时先从折叠的性质入手，可得折叠后AD=A'D，结合D是AB中点的条件，可推出BD=A'D，进而得到角的等量关系，证明DE与BC平行，再根据中位线的判定得出DE是△ABC的中位线，最后利用中位线定理计算DE的长度。
【解析】
解：由折叠的性质可得，$AD = A'D$，$∠ ADE = ∠ A'DE$。
∵ 点D为AB边的中点，
∴ $AD = BD$，
∴ $BD = A'D$，
∴ $∠ B = ∠ DA'B$。
∵ $∠ ADA'$是$△ BDA'$的外角，
∴ $∠ ADA' = ∠ B + ∠ DA'B = 2∠ B$，
又
∵ $∠ ADA' = ∠ ADE + ∠ A'DE = 2∠ ADE$，
∴ $∠ ADE = ∠ B$，
∴ $DE// BC$（同位角相等，两直线平行）。
∵ D是AB中点，$DE// BC$，
∴ E为AC中点，即DE是$△ ABC$的中位线，
∴ $DE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 5 = 2.5$。
【答案】
2.5
【知识点】
折叠的性质；三角形中位线定理；平行线的判定
【点评】
本题是折叠变换与三角形性质结合的基础题，解题的核心是通过角的等量关系推出线的平行关系，进而利用中位线定理求解，考察了学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从折叠的性质入手，可得折叠后AD=A'D，结合D是AB中点的条件，可推出BD=A'D，进而得到角的等量关系，证明DE与BC平行，再根据中位线的判定得出DE是△ABC的中位线，最后利用中位线定理计算DE的长度。
【解析】
解：由折叠的性质可得，$AD = A'D$，$∠ ADE = ∠ A'DE$。
∵ 点D为AB边的中点，
∴ $AD = BD$，
∴ $BD = A'D$，
∴ $∠ B = ∠ DA'B$。
∵ $∠ ADA'$是$△ BDA'$的外角，
∴ $∠ ADA' = ∠ B + ∠ DA'B = 2∠ B$，
又
∵ $∠ ADA' = ∠ ADE + ∠ A'DE = 2∠ ADE$，
∴ $∠ ADE = ∠ B$，
∴ $DE// BC$（同位角相等，两直线平行）。
∵ D是AB中点，$DE// BC$，
∴ E为AC中点，即DE是$△ ABC$的中位线，
∴ $DE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 5 = 2.5$。
【答案】
2.5
【知识点】
折叠的性质；三角形中位线定理；平行线的判定
【点评】
本题是折叠变换与三角形性质结合的基础题，解题的核心是通过角的等量关系推出线的平行关系，进而利用中位线定理求解，考察了学生对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图6,在$△ ABC$中,中线$AD$,$BE$相交于点$O$,若$△ ABC$的面积等于30,则$△ BOD$的面积为
5
.答案
3. 5
解析
【分析】
解题思路：首先明确AD、BE是△ABC的中线，可推出DE是△ABC的中位线，利用中位线性质得到DE与AB的平行和长度关系，证明△AOB∽△DOE，得到AO与OD的比例；再根据中线的性质，中线将三角形分为面积相等的两部分，求出△ABD的面积；最后利用同高三角形的面积比等于底边长的比，即可求出△BOD的面积。
【解析】
解：
1.
∵AD、BE是△ABC的中线，
∴D是BC中点，E是AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// AB$，且$DE=\frac{1}{2}AB$，
∴$∠ OAB=∠ ODE$，$∠ OBA=∠ OED$，
∴$△ AOB∽△ DOE$，
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{AB}{DE}=2$，即$AO:OD=2:1$。
2.
∵AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×30=15$。
3. △ABO和△BOD以B为顶点，底边都在AD上，二者高相等，
∴面积比等于底的比，即$S_{△ ABO}:S_{△ BOD}=AO:OD=2:1$，
∴$S_{△ BOD}=\frac{1}{2+1}S_{△ ABD}=\frac{1}{3}×15=5$。
【答案】
5
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形中位线性质，三角形中线性质
【点评】
本题结合相似三角形的应用考察三角形相关线段的性质，解题关键是通过中位线构造相似三角形得到线段比例，再结合同高三角形面积与底的正比关系求解，是几何面积计算的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确AD、BE是△ABC的中线，可推出DE是△ABC的中位线，利用中位线性质得到DE与AB的平行和长度关系，证明△AOB∽△DOE，得到AO与OD的比例；再根据中线的性质，中线将三角形分为面积相等的两部分，求出△ABD的面积；最后利用同高三角形的面积比等于底边长的比，即可求出△BOD的面积。
【解析】
解：
1.
∵AD、BE是△ABC的中线，
∴D是BC中点，E是AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// AB$，且$DE=\frac{1}{2}AB$，
∴$∠ OAB=∠ ODE$，$∠ OBA=∠ OED$，
∴$△ AOB∽△ DOE$，
∴$\frac{AO}{OD}=\frac{AB}{DE}=2$，即$AO:OD=2:1$。
2.
∵AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×30=15$。
3. △ABO和△BOD以B为顶点，底边都在AD上，二者高相等，
∴面积比等于底的比，即$S_{△ ABO}:S_{△ BOD}=AO:OD=2:1$，
∴$S_{△ BOD}=\frac{1}{2+1}S_{△ ABD}=\frac{1}{3}×15=5$。
【答案】
5
【知识点】
相似三角形的判定与性质，三角形中位线性质，三角形中线性质
【点评】
本题结合相似三角形的应用考察三角形相关线段的性质，解题关键是通过中位线构造相似三角形得到线段比例，再结合同高三角形面积与底的正比关系求解，是几何面积计算的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图7,在$△ ABC$中,点D是边BC的中点,点G是$△ ABC$的重心,若DG=2,则AD=
6
.答案
4. 6
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：D是BC中点，故AD是△ABC的BC边上的中线，G是三角形的重心。我们需要利用三角形重心的核心性质求解：重心到顶点的距离是其到对边中点距离的2倍。已知DG=2，先根据比例求出AG的长度，再通过线段和的关系计算AD的总长即可。
【解析】
解：
∵点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的BC边上的中线，
又
∵G是△ABC的重心，
∴根据三角形重心的性质可得：AG:GD=2:1，
∵DG=2，
∴AG=2×DG=2×2=4，
∴AD=AG+DG=4+2=6。
【答案】
6
【知识点】
三角形重心的性质；线段的和差计算
【点评】
本题是三角形性质的基础考查题，核心是对重心比例性质的识记与应用，解题思路直接，计算量小，掌握重心的性质即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知条件：D是BC中点，故AD是△ABC的BC边上的中线，G是三角形的重心。我们需要利用三角形重心的核心性质求解：重心到顶点的距离是其到对边中点距离的2倍。已知DG=2，先根据比例求出AG的长度，再通过线段和的关系计算AD的总长即可。
【解析】
解：
∵点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的BC边上的中线，
又
∵G是△ABC的重心，
∴根据三角形重心的性质可得：AG:GD=2:1，
∵DG=2，
∴AG=2×DG=2×2=4，
∴AD=AG+DG=4+2=6。
【答案】
6
【知识点】
三角形重心的性质；线段的和差计算
【点评】
本题是三角形性质的基础考查题，核心是对重心比例性质的识记与应用，解题思路直接，计算量小，掌握重心的性质即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
