三、解答题
1. 如图8，在边长为3的正方形ABCD中，点E在边CD上，过点C作CF⊥BE于点F，求BF·BE的值.

1. 提示:$BF·BE=BC^2=3^2=9$

【分析】
要求BF·BE的值，可通过证明三角形相似将乘积式转化为比例式求解。首先结合正方形性质得∠BCE=90°，由CF⊥BE得∠BFC=90°，两个三角形有公共角∠FBC=∠CBE，可证△BFC与△BCE相似，再通过相似三角形对应边成比例推导乘积关系即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为3的正方形，
∴BC=3，∠BCE=90°，
∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
∴∠BFC=∠BCE，
又
∵∠FBC=∠CBE（公共角），
∴△BFC∽△BCE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BF}{BC}=\frac{BC}{BE}$，
交叉相乘得$BF·BE=BC^2$，
代入BC=3，得$BF·BE=3^2=9$。
【答案】
9
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题型，解题的关键是识别出共角的双直角相似模型，将线段乘积转化为已知边长的平方，降低计算难度。
【难度系数】
0.7

2. 如图9-1,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,点D在AC上,$DE⊥ AB$于点E.
(1)求证:$△ ADE ∽ △ ABC$;
(2)如图9-2,当点D与点C重合时.已知$AC=4$,$AB=5$,求AE的长.

(1) $\because AB⊥DE \quad \therefore ∠AED=∠C=90° , ∠A=∠A \quad \therefore △ADE∽△ABC$
(2)由(1)可知, $△ACE∽△ABC \quad \therefore \frac{AC}{AB} = \frac{AE}{AC} \quad \therefore AC^2 = AE·AB \quad \because AC = 4,AB = 5 \quad \therefore AE=\frac{16}{5}$

【分析】
(1)要证明两个三角形相似，可优先使用两角分别相等的相似判定定理。观察△ADE和△ABC，二者有公共角∠A，再结合DE⊥AB、∠C=90°的已知条件，可得到两组对应角相等，即可证明相似。
(2)当点D与点C重合时，沿用(1)的相似结论可得△ACE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例的性质列出比例式，代入已知AC、AB的长度，即可求解AE的长。
【解析】
(1)证明：
∵$DE⊥AB$，$∠C=90°$，
∴$∠AED=∠C=90°$，
又
∵$∠A=∠A$（公共角），
∴$△ADE ∽ △ ABC$。
(2)解：当点D与点C重合时，由(1)的结论可得$△ACE∽△ABC$，
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{AC}{AB} = \frac{AE}{AC}$，
即$AC^2 = AE·AB$，
将$AC = 4$，$AB = 5$代入上式，得：
$4^2=5·AE$，
解得$AE=\frac{16}{5}$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$AE=\frac{16}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，第一问侧重考查相似三角形的判定方法，利用公共角和直角即可快速判定；第二问考查相似三角形对应边成比例的性质，找准对应边列出比例式是解题核心，属于需要熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8