8. 一个四位正整数$\overline{abcd}$可表示为$1000a + 100b + 10c + d$，若它的各位数字之和（即$a + b + c + d$）可以被$3$整除，则这个四位数可以被$3$整除。试说明理由。

8. 因为 $\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d = (999a + 99b + 9c) + (a + b + c + d)$，
显然 $(999a + 99b + 9c)$ 能被 $3$ 整除，
所以只要 $(a + b + c + d)$ 能被 $3$ 整除，
$(999a + 99b + 9c) + (a + b + c + d)$ 就能被 $3$ 整除，
则这个四位数 $\overline{abcd}$ 即可被 $3$ 整除。

因为$\overline{abcd}=1000a + 100b + 10c + d=(999a + 99b + 9c)+(a + b + c + d)$，其中$999a + 99b + 9c = 3(333a + 33b + 3c)$，所以$999a + 99b + 9c$能被$3$整除。若$a + b + c + d$能被$3$整除，则$(999a + 99b + 9c)+(a + b + c + d)$能被$3$整除，即这个四位数$\overline{abcd}$可以被$3$整除。

9. 观察下列式子：
$(x^{2}-1)÷(x - 1)=x + 1$；
$(x^{3}-1)÷(x - 1)=x^{2}+x + 1$；
$(x^{4}-1)÷(x - 1)=x^{3}+x^{2}+x + 1$；
$(x^{5}-1)÷(x - 1)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1$。
(1) 猜想：
$(x^{7}-1)÷(x - 1)=$；
$(3^{7}-1)÷(3 - 1)=$。
(2) 根据(1)的结论计算：$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}$。
(3) 求$2^{2001}+2^{2000}+…+2 + 1$的个位数字。

9. (1) $x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1;3^{6} + 3^{5} + 3^{4} + 3^{3} + 3^{2} + 3 + 1$。
(2) 原式 $= (2^{8} - 1)÷(2 - 1) = 255$。
(3) 原式 $= (2 - 1)(2^{2001} + 2^{2000} + ··· + 2 + 1) = 2^{2002} - 1$。
因为 $2^{1} = 2,2^{2} = 4,2^{3} = 8,2^{4} = 16,2^{5} = 32,2^{6} = 64,2^{7} = 128,2^{8} = 256,···$，
所以 $2^{n}$（$n$ 为自然数）的个位数字只能为 $2,4,8,6$，且每 $4$ 个数一循环。
又因为 $2002÷4 = 500······2$，所以 $2^{2002}$ 的个位数字为 $4$。
原式的个位数字为 $3$。