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1. (2024·沭阳期末)下列二次根式化简后不能与$\sqrt{2}$合并的是(
A.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{18}$
C
)A.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{12}$
D.$\sqrt{18}$
答案
1. C
解析
A.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，能与$\sqrt{2}$合并；
B.$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，能与$\sqrt{2}$合并；
C.$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不能与$\sqrt{2}$合并；
D.$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，能与$\sqrt{2}$合并.
C
B.$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，能与$\sqrt{2}$合并；
C.$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不能与$\sqrt{2}$合并；
D.$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，能与$\sqrt{2}$合并.
C
2. 下列计算正确的是(
A.$\sqrt{12}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
C.$3\sqrt{5}-\sqrt{5}=3$
D.$3 + 2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$
A
)A.$\sqrt{12}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
C.$3\sqrt{5}-\sqrt{5}=3$
D.$3 + 2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$
答案
2. A
3. 有下列二次根式:①$\sqrt{5}$;②$\sqrt{45}$;③$\sqrt{9}$;④$\sqrt{\dfrac{1}{6}}$;⑤$\sqrt{18}$.其中,是同类二次根式的为
①②
(填序号).答案
3. ①②
4. (2025·宿豫期末)若最简二次根式$\sqrt{10 - 3m}$与$\sqrt{6}$是同类二次根式,则实数$m =$
$\dfrac{4}{3}$
.答案
4. $\dfrac{4}{3}$
解析
因为最简二次根式$\sqrt{10 - 3m}$与$\sqrt{6}$是同类二次根式，所以被开方数相等，即$10 - 3m = 6$，解得$m = \dfrac{4}{3}$。
$\dfrac{4}{3}$
$\dfrac{4}{3}$
5. 计算:
(1) $\sqrt{63}-7\sqrt{\dfrac{1}{7}}$;
(2) $\dfrac{1}{2}\sqrt{24x}-\sqrt{54x}(x≥0)$;
(3) $\sqrt{\dfrac{9}{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{18}$;
(4) (2025·宿城期末)$2\sqrt{20}+3\sqrt{45}-\sqrt{80}$.
(1) $\sqrt{63}-7\sqrt{\dfrac{1}{7}}$;
(2) $\dfrac{1}{2}\sqrt{24x}-\sqrt{54x}(x≥0)$;
(3) $\sqrt{\dfrac{9}{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{18}$;
(4) (2025·宿城期末)$2\sqrt{20}+3\sqrt{45}-\sqrt{80}$.
答案
5. (1) $2\sqrt{7}$ (2) $-2\sqrt{6x}$ (3) $4\sqrt{2}$ (4) $9\sqrt{5}$
解析
(1) $\sqrt{63}-7\sqrt{\dfrac{1}{7}}=3\sqrt{7}-7×\dfrac{\sqrt{7}}{7}=3\sqrt{7}-\sqrt{7}=2\sqrt{7}$；
(2) $\dfrac{1}{2}\sqrt{24x}-\sqrt{54x}=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{6x}-3\sqrt{6x}=\sqrt{6x}-3\sqrt{6x}=-2\sqrt{6x}$；
(3) $\sqrt{\dfrac{9}{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{18}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$；
(4) $2\sqrt{20}+3\sqrt{45}-\sqrt{80}=2×2\sqrt{5}+3×3\sqrt{5}-4\sqrt{5}=4\sqrt{5}+9\sqrt{5}-4\sqrt{5}=9\sqrt{5}$
(2) $\dfrac{1}{2}\sqrt{24x}-\sqrt{54x}=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{6x}-3\sqrt{6x}=\sqrt{6x}-3\sqrt{6x}=-2\sqrt{6x}$；
(3) $\sqrt{\dfrac{9}{2}}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{18}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$；
(4) $2\sqrt{20}+3\sqrt{45}-\sqrt{80}=2×2\sqrt{5}+3×3\sqrt{5}-4\sqrt{5}=4\sqrt{5}+9\sqrt{5}-4\sqrt{5}=9\sqrt{5}$
6. 估计$5\sqrt{6}-\sqrt{24}$的值应在(
A.5 和 6 之间
B.6 和 7 之间
C.7 和 8 之间
D.8 和 9 之间
C
)A.5 和 6 之间
B.6 和 7 之间
C.7 和 8 之间
D.8 和 9 之间
答案
6. C
解析
$5\sqrt{6} - \sqrt{24} = 5\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$
$\sqrt{36} ＜ \sqrt{54} ＜ \sqrt{49}$，即$6 ＜ \sqrt{54} ＜ 7$，所以$7 ＜ 3\sqrt{6} ＜ 8$
C
$\sqrt{36} ＜ \sqrt{54} ＜ \sqrt{49}$，即$6 ＜ \sqrt{54} ＜ 7$，所以$7 ＜ 3\sqrt{6} ＜ 8$
C
7. 若实数$x$满足$\sqrt{18x}+2\sqrt{\dfrac{x}{2}}+x\sqrt{\dfrac{2}{x}} = 10$,则$x$的值为(
A.4
B.6
C.2
D.8
C
)A.4
B.6
C.2
D.8
答案
7. C
解析
解：$\sqrt{18x} + 2\sqrt{\dfrac{x}{2}} + x\sqrt{\dfrac{2}{x}}$
$=3\sqrt{2x} + 2×\dfrac{\sqrt{2x}}{2} + x×\dfrac{\sqrt{2x}}{x}$
$=3\sqrt{2x} + \sqrt{2x} + \sqrt{2x}$
$=5\sqrt{2x}$
由题意得$5\sqrt{2x}=10$，则$\sqrt{2x}=2$，两边平方得$2x=4$，解得$x=2$。
C
$=3\sqrt{2x} + 2×\dfrac{\sqrt{2x}}{2} + x×\dfrac{\sqrt{2x}}{x}$
$=3\sqrt{2x} + \sqrt{2x} + \sqrt{2x}$
$=5\sqrt{2x}$
由题意得$5\sqrt{2x}=10$，则$\sqrt{2x}=2$，两边平方得$2x=4$，解得$x=2$。
C
8. 如果等腰三角形的一边长为$2\sqrt{3}$,周长为$4\sqrt{3}+7$,那么这个等腰三角形的腰长为(
A.$\dfrac{7}{2}+\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.7
D.$\dfrac{7}{2}$
A
)A.$\dfrac{7}{2}+\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.7
D.$\dfrac{7}{2}$
答案
8. A 解析:当 $2\sqrt{3}$ 为等腰三角形的腰长时,底边长为 $4\sqrt{3}+7-2\sqrt{3}× 2=7$,注意到 $2\sqrt{3}+2\sqrt{3}＜7$,即不能构成三角形;当 $2\sqrt{3}$ 为等腰三角形的底边长时,腰长为 $\dfrac{1}{2}× (4\sqrt{3}+7-2\sqrt{3})=\dfrac{7}{2}+\sqrt{3}$,此时满足三角形的三边关系.因此这个等腰三角形的腰长为 $\dfrac{7}{2}+\sqrt{3}$.
9. 若一个矩形的长、宽分别为$\sqrt{48}\ \mathrm{cm}$,$\sqrt{12}\ \mathrm{cm}$,则它的周长为
$12\sqrt{3}$
$\mathrm{cm}$.答案
9. $12\sqrt{3}$
解析
矩形的周长为 $2×(\sqrt{48}+\sqrt{12})$，化简得 $2×(4\sqrt{3}+2\sqrt{3})=2×6\sqrt{3}=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
