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10. (教材变式)两个圆心相同但半径不同的圆组成一个圆环,已知两个圆的面积分别是$18π\ \mathrm{cm}^2$,$8π\ \mathrm{cm}^2$,则圆环的宽度为
$\sqrt{2}$
$\mathrm{cm}$.答案
10. $\sqrt{2}$
解析
设大圆半径为$R$，小圆半径为$r$。
由圆的面积公式$S = π R^2$，大圆面积为$18π\ \mathrm{cm}^2$，可得：$π R^2 = 18π$，解得$R^2 = 18$，$R = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
小圆面积为$8π\ \mathrm{cm}^2$，可得：$π r^2 = 8π$，解得$r^2 = 8$，$r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
圆环宽度为$R - r = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
$\sqrt{2}$
由圆的面积公式$S = π R^2$，大圆面积为$18π\ \mathrm{cm}^2$，可得：$π R^2 = 18π$，解得$R^2 = 18$，$R = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
小圆面积为$8π\ \mathrm{cm}^2$，可得：$π r^2 = 8π$，解得$r^2 = 8$，$r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
圆环宽度为$R - r = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
$\sqrt{2}$
11. 计算:
(1) $4\sqrt{5}+\sqrt{45}-\sqrt{32}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$;
(2) (2025·宿豫期末)$\sqrt{8}+3\sqrt{\dfrac{1}{3}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$;
(3) $2\sqrt{\dfrac{1}{8}}-\sqrt{12}-(\sqrt{\dfrac{1}{2}}-2\sqrt{\dfrac{1}{3}})$;
(4) $\sqrt{6}-(2\sqrt{\dfrac{3}{2}}-3\sqrt{\dfrac{2}{3}})-\dfrac{\sqrt{108}}{2}$;
(5) $\sqrt{2x}-\dfrac{5}{2x}\sqrt{8x^3}+2\sqrt{\dfrac{x}{8}}(x＞0)$.
(1) $4\sqrt{5}+\sqrt{45}-\sqrt{32}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$;
(2) (2025·宿豫期末)$\sqrt{8}+3\sqrt{\dfrac{1}{3}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$;
(3) $2\sqrt{\dfrac{1}{8}}-\sqrt{12}-(\sqrt{\dfrac{1}{2}}-2\sqrt{\dfrac{1}{3}})$;
(4) $\sqrt{6}-(2\sqrt{\dfrac{3}{2}}-3\sqrt{\dfrac{2}{3}})-\dfrac{\sqrt{108}}{2}$;
(5) $\sqrt{2x}-\dfrac{5}{2x}\sqrt{8x^3}+2\sqrt{\dfrac{x}{8}}(x＞0)$.
答案
11. (1) $7\sqrt{5}-\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$ (2) $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ (3) $-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ (4) $\sqrt{6}-3\sqrt{3}$ (5) $-\dfrac{7}{2}\sqrt{2x}$
解析
解：$\sqrt{2x} - \dfrac{5}{2x}\sqrt{8x^3} + 2\sqrt{\dfrac{x}{8}}$
$=\sqrt{2x} - \dfrac{5}{2x} · 2x\sqrt{2x} + 2 · \dfrac{\sqrt{2x}}{4}$
$=\sqrt{2x} - 5\sqrt{2x} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2x}$
$=-\dfrac{7}{2}\sqrt{2x}$
$=\sqrt{2x} - \dfrac{5}{2x} · 2x\sqrt{2x} + 2 · \dfrac{\sqrt{2x}}{4}$
$=\sqrt{2x} - 5\sqrt{2x} + \dfrac{1}{2}\sqrt{2x}$
$=-\dfrac{7}{2}\sqrt{2x}$
12. 已知$a$为正整数,且$\sqrt{2a + 1}$与$\sqrt{7}$能合并,试写出三个满足条件的$a$的值.
解:$\because\sqrt{2a + 1}$与$\sqrt{7}$能合并,$\therefore$设$\sqrt{2a + 1}=m\sqrt{7}$($m$为正整数).$\therefore2a + 1 = 7m^2$.$\therefore a=\dfrac{7m^2 - 1}{2}$.又$\because a$为正整数,$\therefore7m^2 - 1$为偶数.$\therefore m$为奇数.$\therefore$当$m = 1$时,$a = 3$;当$m = 3$时,$a = 31$;当$m = 5$时,$a = 87$.$\therefore$满足条件的$a$的值可以为$3$,$31$,$87$(也可取$m$为其他正奇数,得出不同的答案).
请根据上面的信息,解决问题:
已知$a$为正整数,且$\sqrt{2a + 3}$与$\sqrt{5}$能合并,试写出三个满足条件的$a$的值.
解:$\because\sqrt{2a + 1}$与$\sqrt{7}$能合并,$\therefore$设$\sqrt{2a + 1}=m\sqrt{7}$($m$为正整数).$\therefore2a + 1 = 7m^2$.$\therefore a=\dfrac{7m^2 - 1}{2}$.又$\because a$为正整数,$\therefore7m^2 - 1$为偶数.$\therefore m$为奇数.$\therefore$当$m = 1$时,$a = 3$;当$m = 3$时,$a = 31$;当$m = 5$时,$a = 87$.$\therefore$满足条件的$a$的值可以为$3$,$31$,$87$(也可取$m$为其他正奇数,得出不同的答案).
请根据上面的信息,解决问题:
已知$a$为正整数,且$\sqrt{2a + 3}$与$\sqrt{5}$能合并,试写出三个满足条件的$a$的值.
答案
12. $\because \sqrt{2a+3}$ 与 $\sqrt{5}$ 能合并,$\therefore$ 设 $\sqrt{2a+3}=m\sqrt{5}$ ($m$ 为正整数).$\therefore 2a+3=5m^{2}$.$\therefore a=\dfrac{5m^{2}-3}{2}$.又 $\because a$ 为正整数,$\therefore 5m^{2}-3$ 为偶数.$\therefore m$ 为奇数.$\therefore$ 当 $m=1$ 时,$a=1$;当 $m=3$ 时,$a=21$;当 $m=5$ 时,$a=61$.$\therefore$ 满足条件的 $a$ 的值为 $1,21,61$(也可取 $m$ 为其他正奇数,得出不同的答案)
