例2 通过配方,把下列函数化成 $y=a(x+m)^2+k$ 的形式,并求出函数的最大值或
最小值:
(1) $y=-\frac{1}{2}x^2+x$;
(2) $y=x^2+3x-1$.
解 (1) 因为 $y=-\frac{1}{2}x^2+x=-\frac{1}{2}(x^2-2x)$
$=-\frac{1}{2}(x^2-2x+1-1)=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}$,
所以当 $x=1$ 时,函数有最大值,最大值是 $\frac{1}{2}$.
(2) 因为 $y=x^2+3x-1=x^2+3x+(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2-1$

所以当 $x=-\frac{3}{2}$ 时,函数有最小值,最小值是 $-\frac{13}{4}$.

解：(1) $y=-\frac{1}{2}x^2+x$
$=-\frac{1}{2}(x^2-2x)$
$=-\frac{1}{2}(x^2-2x+1-1)$
$=-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{2}$
因为$a=-\frac{1}{2}＜0$，所以当$x=1$时，函数有最大值，最大值是$\frac{1}{2}$。
(2) $y=x^2+3x-1$
$=x^2+3x+(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2-1$
$=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}-1$
$=(x+\frac{3}{2})^2-\frac{13}{4}$
因为$a=1＞0$，所以当$x=-\frac{3}{2}$时，函数有最小值，最小值是$-\frac{13}{4}$。

(1)$x^2-6x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$,$x^2+\frac{3}{2}x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$,
$x^2-4x+5=(x-2)^2+\_\_\_\_\_\_$,$x^2+5x+7=(x+\_\_\_\_\_\_)^2+\_\_\_\_\_\_$;

解：
对于$x^2-6x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$，
根据完全平方公式，一次项系数$-6$的一半的平方为$(-\frac{6}{2})^2=9$，
故$x^2-6x+9=(x-3)^2$，依次填$\boldsymbol{9}$，$\boldsymbol{3}$；
对于$x^2+\frac{3}{2}x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$，
一次项系数$\frac{3}{2}$的一半的平方为$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，
故$x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=(x+\frac{3}{4})^2$，依次填$\boldsymbol{\frac{9}{16}}$，$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$；
对于$x^2-4x+5=(x-2)^2+\_\_\_\_\_\_$，
展开$(x-2)^2=x^2-4x+4$，
则$x^2-4x+5=(x^2-4x+4)+1=(x-2)^2+1$，故填$\boldsymbol{1}$；
对于$x^2+5x+7=(x+\_\_\_\_\_\_)^2+\_\_\_\_\_\_$，
对$x^2+5x$配方：$x^2+5x=(x+\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}$，
则$x^2+5x+7=(x+\frac{5}{2})^2-\frac{25}{4}+7=(x+\frac{5}{2})^2+\frac{3}{4}$，依次填$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$，$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$。

(2) 通过配方,把二次函数 $y=-x^2+2x+3$ 化成 $y=a(x+m)^2+k$ 的形式
为,图像开口向,顶点坐标是,对称轴是过点
且平行于轴的直线,函数的最值是.

解：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+3\\&=-(x^2-2x)+3\\&=-(x^2-2x+1-1)+3\\&=-[(x-1)^2-1]+3\\&=-(x-1)^2+1+3\\&=-(x-1)^2+4\end{aligned}$
因为$a=-1＜0$，所以图像开口向下，顶点坐标是$(1,4)$，对称轴是过点$(1,0)$且平行于$y$轴的直线，函数的最大值是$4$。
综上，答案依次为：$y=-(x-1)^2+4$；下；$(1,4)$；$(1,0)$；$y$；大；$4$。