(1) 下列图像中,二次函数 $y=x^2-x+2$ 的图像是().

解：
对于二次函数$y=x^2 - x + 2$：
1. 二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，排除选项A；
2. 当$x=0$时，$y=0^2 - 0 + 2=2$，即抛物线与$y$轴交于点$(0,2)$，排除选项C、D；
3. 计算判别式$\Delta=(-1)^2 - 4×1×2=1-8=-7＜0$，抛物线与$x$轴无交点，选项B符合该特征。
综上，答案为$\boldsymbol{B}$。

(2) 二次函数的部分图像如图所示,该图像与x轴的另一个交点的坐标是().

A.$(5,0)$
B.$(6,0)$
C.$(7,0)$
D.$(8,0)$

C

观察图像可知二次函数图像的对称轴为直线$ x=4 $，已知图像与x轴的一个交点为$ (1,0) $。设另一个交点为$ (x,0) $，根据二次函数图像的对称性，对称轴是两个交点横坐标的中点，可得$ \frac{1+x}{2}=4 $，解得$ x=7 $，即另一个交点坐标为$ (7,0) $。

3. 通过配方,把下列函数化成 $y=a(x+m)^2+k$ 的形式,并求出函数的最大值或最小值.
(1) $y=x^2-x-2$;
(2) $y=-2x^2+4x-1$;
(3) $y=\frac{1}{2}x^2+3x$;
(4) $y=3x^2-2x-1$.

解：
(1) $y=x^2-x-2$
$=x^2 - x + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 - 2$
$=(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}$
因为$a=1＞0$，所以函数有最小值，最小值为$-\frac{9}{4}$，无最大值。
(2) $y=-2x^2+4x-1$
$=-2(x^2 - 2x) - 1$
$=-2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1$
$=-2[(x - 1)^2 - 1] - 1$
$=-2(x - 1)^2 + 1$
因为$a=-2＜0$，所以函数有最大值，最大值为$1$，无最小值。
(3) $y=\frac{1}{2}x^2+3x$
$=\frac{1}{2}(x^2 + 6x)$
$=\frac{1}{2}(x^2 + 6x + 9 - 9)$
$=\frac{1}{2}[(x + 3)^2 - 9]$
$=\frac{1}{2}(x + 3)^2 - \frac{9}{2}$
因为$a=\frac{1}{2}＞0$，所以函数有最小值，最小值为$-\frac{9}{2}$，无最大值。
(4) $y=3x^2-2x-1$
$=3(x^2 - \frac{2}{3}x) - 1$
$=3(x^2 - \frac{2}{3}x + (\frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{3})^2) - 1$
$=3[(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9}] - 1$
$=3(x - \frac{1}{3})^2 - \frac{4}{3}$
因为$a=3＞0$，所以函数有最小值，最小值为$-\frac{4}{3}$，无最大值。

4. 已知二次函数的表达式为 $y=x^2+4x+1$.
(1) 求这个二次函数的图像的顶点坐标;
(2) 当x的取值范围是时,y随x的增大而减小.

解：
(1) 对二次函数表达式配方：
$y=x^2+4x+1$
$=x^2+4x+4-4+1$
$=(x+2)^2-3$
所以这个二次函数图像的顶点坐标为$(-2,-3)$。
(2) 因为二次函数$y=x^2+4x+1$中，$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$，
所以当$x≤ -2$时，y随x的增大而减小。

5. 二次函数 $y=2x^2+bx+1$ 的图像的对称轴是y轴,求b的值.

解：
对于二次函数 $ y=ax^2+bx+c $，其对称轴为直线 $ x=-\frac{b}{2a} $。
在二次函数 $ y=2x^2+bx+1 $ 中，$ a=2 $，
因为图像的对称轴是y轴（即直线 $ x=0 $），所以：
$ -\frac{b}{2×2}=0 $
解得 $ b=0 $。