6. 已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$,函数y与自变量x的部分对应值如下表:

求这个二次函数的表达式.

解：
由表格可知，该二次函数的顶点坐标为$(1,0)$，设其表达式为$y=a(x-1)^2$。
将$x=0$，$y=1$代入上式，得：
$1=a(0-1)^2$
解得$a=1$。
因此，这个二次函数的表达式为$y=(x-1)^2$，即$y=x^2-2x+1$。

7. 如图,利用二次函数的图像回答下列问题:

(1) x取什么值时,函数值大于0?
(2) x取什么值时,函数值小于0?
(3) 二次函数的最小值是多少?
(4) 函数值随x的增大是怎样变化的?

解：
(1) 由图像可知，当$x ＜ -1$或$x ＞ 3$时，函数值大于0；
(2) 由图像可知，当$-1 ＜ x ＜ 3$时，函数值小于0；
(3) 由图像顶点坐标可知，二次函数的最小值是$-4$；
(4) 由图像可知，当$x ＜ 1$时，函数值随$x$的增大而减小；当$x ＞ 1$时，函数值随$x$的增大而增大。

8. 把二次函数 $y=x^2+bx+c$ 的图像向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,
得到二次函数 $y=x^2-8x+10$ 的图像.求b、c的值.

解：
先将$y=x^2-8x+10$配方化为顶点式：
$y=x^2-8x+10=(x^2-8x+16)-16+10=(x-4)^2-6$
将$y=(x-4)^2-6$的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到原二次函数的图像：
向右平移2个单位长度：$y=(x-4-2)^2-6=(x-6)^2-6$
向下平移3个单位长度：$y=(x-6)^2-6-3=(x-6)^2-9$
展开得：
$y=x^2-12x+36-9=x^2-12x+27$
因为原二次函数为$y=x^2+bx+c$，对比系数得：
$b=-12$，$c=27$

有一道题目:"已知二次函数 $y=ax^{2}+bx+c$ 的图像经过点$A(0,a)$、$B(1,-2)$、
$\boldsymbol{□}$,求证:这个二次函数图像的对称轴是过点$(2,0)$且平行于$y$轴的直线."题目中的
矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.
根据现有信息,你能否求出题目中这个二次函数的表达式? 若能,写出求解过程;若
不能,请说明理由.

解：
因为二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像对称轴是过点$(2,0)$且平行于$y$轴的直线，
所以对称轴为$x=2$，根据对称轴公式得：$-\frac{b}{2a}=2$，即$b=-4a$。
将点$A(0,a)$代入$y=ax^2+bx+c$，得：$c=a$。
将点$B(1,-2)$代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$a + b + c = -2$。
把$b=-4a$，$c=a$代入上式：
$a + (-4a) + a = -2$，
$-2a = -2$，
解得$a=1$。
则$b=-4×1=-4$，$c=1$。
所以这个二次函数的表达式为$y=x^2-4x+1$。