6. 点$A(m,-1)$、$B(1,2)$都在二次函数$y=3x^{2}+n$的图像上,对称轴为直线$l$.
(1) 求$m$的值;
(2) 求点$B$关于直线$l$的对称点$C$的坐标.

解：
(1) 将点$B(1,2)$代入$y=3x^{2}+n$，得
$2=3×1^{2}+n$
解得$n=-1$，
则二次函数的解析式为$y=3x^{2}-1$。
将点$A(m,-1)$代入$y=3x^{2}-1$，得
$-1=3m^{2}-1$
解得$m=0$。
(2) 二次函数$y=3x^{2}-1$的对称轴$l$为直线$x=0$，
设点$C$的坐标为$(x,2)$，
则$\frac{1+x}{2}=0$，解得$x=-1$，
所以点$C$的坐标为$(-1,2)$。

7. 试解决下列问题:
(1) 已知函数表达式$y=\frac{2}{x^{2}}$,你能说出它的图像具有的一些特征吗?画出它的图像.
(2) 试说明下列函数的图像与$y=\frac{2}{x^{2}}$的图像之间的位置关系,并在同一平面直角坐标系中画出它们的图像.
① $y=\frac{2}{x^{2}}-2$; ② $y=\frac{2}{(x-1)^{2}}$.

解：
(1) 函数$y=\frac{2}{x^{2}}$的图像特征：
① 定义域：$x≠0$；
② 值域：$y＞0$；
③ 对称性：关于$y$轴对称；
④ 单调性：当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；
⑤ 当$x$趋近于$0$时，$y$趋近于$+∞$；当$x$趋近于$±∞$时，$y$趋近于$0$。
画图：
列表：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $-0.5$ | $0.5$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|------|--------|-------|-----|-----|
| $y$ | $0.5$| $2$ | $8$ | $8$ | $2$ | $0.5$|
描点：在平面直角坐标系中描出上述各点；
连线：用平滑曲线连接各点，图像分为第一、二象限两部分，且不与坐标轴相交。
(2) ① $y=\frac{2}{x^{2}}-2$的图像是由$y=\frac{2}{x^{2}}$的图像向下平移2个单位得到的；
② $y=\frac{2}{(x-1)^{2}}$的图像是由$y=\frac{2}{x^{2}}$的图像向右平移1个单位得到的。
画图：
在同一平面直角坐标系中，先画出$y=\frac{2}{x^{2}}$的图像，再按平移规律：
将$y=\frac{2}{x^{2}}$的各点向下平移2个单位，描点连线得到$y=\frac{2}{x^{2}}-2$的图像；
将$y=\frac{2}{x^{2}}$的各点向右平移1个单位，描点连线得到$y=\frac{2}{(x-1)^{2}}$的图像。

二次函数 $y=(x-2)^2+3$ 的图像与二次函数 $y=x^2$ 的图像有什么关系? 二次函数
$y=(x-2)^2+3$ 的图像是轴对称图形吗? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?

解：
将二次函数$y=x^2$的图像向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，即可得到二次函数$y=(x-2)^2+3$的图像。
二次函数$y=(x-2)^2+3$的图像是轴对称图形。
该二次函数的二次项系数为1＞0，因此开口方向向上；
对称轴为直线$x=2$；
顶点坐标为$(2,3)$。

例1 在同一平面直角坐标系中,画出函数 $y=2x^2$ 的图像和函数 $y=2(x-1)^2-2$
的图像,并说明这两个图像之间的关系.
解 列表:

描点、连线,画出这两个函数的图像(图5-6).

二次函数 $y=2x^2$、$y=2(x-1)^2-2$ 的图像都是抛物线,并且形状相同,只是位置不
同.把二次函数 $y=2x^2$ 的图像向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,就得到
二次函数$y=2(x-1)^2-2$的图像.

解：
1. 列表：
| $x$ | $···$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $···$ |
|-----|----------|------|------|------|-----|-----|-----|-----|----------|
| $y=2x^2$ | $···$ | $18$ | $8$ | $2$ | $0$ | $2$ | $8$ | $18$ | $···$ |
| $y=2(x-1)^2-2$ | $···$ | $30$ | $16$ | $6$ | $0$ | $-2$ | $0$ | $6$ | $···$ |
2. 描点、连线，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像。
3. 图像关系：
二次函数$y=2x^2$、$y=2(x-1)^2-2$的图像都是抛物线，形状相同，仅位置不同。将$y=2x^2$的图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，即可得到$y=2(x-1)^2-2$的图像。